MIT_18.03_微分方程_Laplace_Transform_拉普拉斯变换_Notes
Laplace Transform
引
对于幂级数 power series
∑0∞anxn=A(x)\sum_{0}^{\infty}{a_{n}x^n} = A(x) 0∑∞anxn=A(x)
左边看成关于n的函数 n从0，1，2…取到∞\infty∞
那么当n的取值从离散变为连续 时，会发生什么？
…t从0连续取到∞\infty∞，再求和…
∫0∞a(t)xtdt=A(x)\int_{0}^{\infty}a(t)x^tdt = A(x) ∫0∞a(t)xtdt=A(x)
为了方便 将xtx^txt写成(elnx)t,0<x<1(e^{lnx})^t ,0<x<1(elnx)t,0<x<1以使积分收敛
再将lnxlnxlnx替换为−s,s>0-s,s>0−s,s>0，即得到了a(t)a(t)a(t)的拉普拉斯变换 Laplace Transform
以更正式的形式写出
∫0∞f(t)e−stdt=F(s)\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}}dt = F(s) ∫0∞f(t)e−stdt=F(s)
Notion：
L(f(t))=F(s)orf(t)⇝F(s)\mathcal{L}(f(t)) = F(s) \ \ or \ \ f(t)\leadsto F(s) L(f(t))=F(s) or f(t)⇝F(s)
另一种理解：
e−ste^{-st}e−st是一个衰减因子，使得一些对于不满足迪利克雷条件的函数f(t)f(t)f(t)乘上其之和变得可积，进而可以“傅立叶变换”，即拉普拉斯变换为加强版的傅立叶变换
文章目录
- Laplace Transform
- 引
- @[toc]
- 变换 & 算子
- 性质
- 线性 Linearity
- 指数位移法则 exponential-shifting law
- 存在性 Existence
- 指数阶
- 分段连续
- 存在条件
- 导数的拉普拉斯变换 t-derivative rule
- 拉普拉斯变换的导数 s-derivative rule
- 积分的拉普拉斯变换 t-integration rule
- 拉普拉斯变换的积分 s-integration rule
- 常用公式
- 拉普拉斯逆变换
- 待定系数法
- Heaviside Cover-up Method
- 拉普拉斯变换解线性微分方程
- 处理跳跃间断点 Jump Discontinuity
- 跃阶函数 Step Function
- 单位跃阶 Unit Step
- a处跃阶
- 单位方框函数 Unit Box Function
- 唯一化
- t轴平移公式 t axis translation formula
- 不连续函数拉氏变换的逆变换
- 不连续函数拉氏变换的逆变换
变换 & 算子
变换变量改变
f(t)⟶transform⟶F(s)f(t)\stackrel{}{\longrightarrow}\boxed{transform}\stackrel{}{\longrightarrow}F(s) f(t)⟶transform⟶F(s)
算子变量不变
f(t)⟶operator⟶g(t)f(t)\stackrel{}{\longrightarrow}\boxed{operator}\stackrel{}{\longrightarrow}g(t) f(t)⟶operator⟶g(t)
性质
线性 Linearity
L(f+g)=L(f)+L(g)L(cf)=cL(f)\mathcal{L}(f + g) = \mathcal{L}(f) + \mathcal{L}(g)\\ \mathcal{L}(cf) = c\mathcal{L}(f) L(f+g)=L(f)+L(g)L(cf)=cL(f)
指数位移法则 exponential-shifting law
eatf(t)⇝F(s−a)e^{at}f(t) \leadsto F(s-a) eatf(t)⇝F(s−a)
PROOF
∫0∞eatf(t)e−stdt=∫0∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)\int_{0}^{\infty}{e^{at}f(t)e^{-st}dt} = \int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-(s-a)t}dt} = F(s-a) ∫0∞eatf(t)e−stdt=∫0∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)
存在性 Existence
指数阶
f(t)f(t)f(t)是指数形式 exponential type/ of exponential order
对于∀t>0,∃C>0,k>0\forall t>0,\exists C>0,k>0∀t>0,∃C>0,k>0 这是视频上的定义
s.t.∣f(t)∣⩽Cekts.t.\left|f(t)\right|\leqslant Ce^{kt} s.t.∣f(t)∣⩽Cekt
事实上应该是
∃M,C,α,∀t>M,\exist M,C,\alpha,\forall t>M,∃M,C,α,∀t>M,
s.t.∣f(t)∣⩽Ceαts.t.|f(t)|\leqslant Ce^{\alpha t} s.t.∣f(t)∣⩽Ceαt
f(t)f(t)f(t) of exponential order α\alphaα f(t)f(t)f(t)是α\alphaα指数阶函数
其实就是f(t)∈O(eαt)f(t) \in O(e^{\alpha t})f(t)∈O(eαt)
代表f(t)f(t)f(t)最后能被e−ste^{-st}e−st“拉”回来
分段连续
存在有限个跳跃间断点 其余地方连续
存在条件
如果f(t)f(t)f(t)是分段连续的α\alphaα指数阶函数 则L(f)(s)\mathcal{L}(f)(s)L(f)(s)对于所有Re(s)>αRe(s)>\alphaRe(s)>α收敛
PROOF
suppose Re(s)>aRe(s) > aRe(s)>a and ∣f(t)∣<Meat|f(t)|<Me^{at}∣f(t)∣<Meat， we write s=(a+α)+ibs = (a+\alpha)+ibs=(a+α)+ib, where α>0\alpha > 0α>0
then, since ∣e−bit∣=1|e^{-bit}| = 1∣e−bit∣=1
∣f(t)e−st∣=∣f(t)e−(a+α)te−bit∣=∣f(t)e−(a+α)t∣<Me−αt|f(t)e^{-st}| = |f(t)e^{-(a+\alpha)t}e^{-bit}| = |f(t)e^{-(a+\alpha)t}|<Me^{-\alpha t} ∣f(t)e−st∣=∣f(t)e−(a+α)te−bit∣=∣f(t)e−(a+α)t∣<Me−αt
since ∫0∞Me−αtdt\int_0^\infty Me^{-\alpha t}dt∫0∞Me−αtdt converges for α>0\alpha > 0α>0 所以拉普拉斯变换收敛其实就是绝对值审敛法
导数的拉普拉斯变换 t-derivative rule
L(f′(t))=sF(s)−f(0)L(f′′(t))=s2F(s)−sf(0)−f′(0)...L(f(n)(t))=snF(s)−sn−1f(0)−...−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)\mathcal{L}(f'(t)) = sF(s) -f(0)\\ \mathcal{L}(f''(t)) = s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\\ ...\\ \mathcal{L}(f^{(n)}(t)) = s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-...-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) L(f′(t))=sF(s)−f(0)L(f′′(t))=s2F(s)−sf(0)−f′(0)...L(f(n)(t))=snF(s)−sn−1f(0)−...−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
PROOF
L(f′(t))=∫0∞f′(t)e−stdt=e−stf(t)∣0∞−(−s)∫0∞f(t)e−stdt=−f(0)+sF(s)\mathcal{L}(f'(t)) = \int_{0}^{\infty}{f'(t)e^{-st}}dt \\ = e^{-st}f(t)\Big|_0^\infty -(-s)\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}}dt\\ =-f(0) + sF(s)\\ L(f′(t))=∫0∞f′(t)e−stdt=e−stf(t)∣∣∣0∞−(−s)∫0∞f(t)e−stdt=−f(0)+sF(s)L(f′′(t))=sL(f′(t))−f(0)=s[sF(s)−f(0)]−f′(0)=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}(f''(t)) = s\mathcal{L}(f'(t)) -f(0)\\ = s[sF(s) -f(0)] - f'(0)\\ = s^2F(s)-sf(0)-f'(0) L(f′′(t))=sL(f′(t))−f(0)=s[sF(s)−f(0)]−f′(0)=s2F(s)−sf(0)−f′(0)
拉普拉斯变换的导数 s-derivative rule
L(tf)(s)=−F′(s)L(tnf)(s)=(−1)nF(n)(s)\mathcal{L}(tf)(s) = -F'(s)\\ \mathcal{L}(t^nf)(s) = (-1)^nF^{(n)}(s) L(tf)(s)=−F′(s)L(tnf)(s)=(−1)nF(n)(s)
PROOF
F(s)=L(f)=∫0∞f(t)e−stdtF′(s)=dds∫0∞f(t)e−stdt=∫0∞−tf(t)e−stdt=−L(tf(t))F(s) = \mathcal{L}(f) = \int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}}dt\\ F'(s) = \frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}}dt\\ =\int_{0}^{\infty}{-tf(t)e^{-st}}dt\\ =-\mathcal{L}(tf(t)) F(s)=L(f)=∫0∞f(t)e−stdtF′(s)=dsd∫0∞f(t)e−stdt=∫0∞−tf(t)e−stdt=−L(tf(t))
积分的拉普拉斯变换 t-integration rule
L(∫0tf(u)du)=F(s)s\mathcal{L}(\int_0^tf(u)du) = \frac{F(s)}{s} L(∫0tf(u)du)=sF(s)
PROOF
L(∫0tf(u)du)=L(f(t)∗1)=L(f)L(1)=F(s)s\mathcal{L}(\int_0^tf(u)du) = \mathcal{L}(f(t)*1) = \mathcal{L}(f)\mathcal{L}(1) = \frac{F(s)}{s} L(∫0tf(u)du)=L(f(t)∗1)=L(f)L(1)=sF(s)
拉普拉斯变换的积分 s-integration rule
L(f(t)t)=∫s∞F(u)du\mathcal{L}(\frac{f(t)}{t}) = \int_s^\infty F(u)du L(tf(t))=∫s∞F(u)du
PROOF
∫s∞F(u)du=∫s∞∫0∞f(t)e−utdtdu=∫0∞(∫s∞f(t)e−utdu)dt=∫0∞f(t)te−stdt=L(f(t)t)\int_s^\infty F(u)du = \int_s^\infty\int_0^\infty f(t)e^{-ut}dt du\\ =\int_0^\infty(\int_s^\infty f(t)e^{-ut}du)dt = \int_0^\infty \frac{f(t)}{t}e^{-st}dt\\ = \mathcal{L}(\frac{f(t)}{t}) ∫s∞F(u)du=∫s∞∫0∞f(t)e−utdtdu=∫0∞(∫s∞f(t)e−utdu)dt=∫0∞tf(t)e−stdt=L(tf(t))
高度对称！
常用公式
1⇝1seat⇝1s−atn⇝n!sn+1cos(at)⇝ss2+a2sin(at)⇝as2+a2(s>0)1\leadsto \frac{1}{s}\\ e^{at}\leadsto\frac{1}{s-a}\\ t^n\leadsto \frac{n!}{s^{n+1}}\\ cos(at)\leadsto \frac{s}{s^2+a^2}\\ sin(at)\leadsto \frac{a}{s^2+a^2}\\ (s>0) 1⇝s1eat⇝s−a1tn⇝sn+1n!cos(at)⇝s2+a2ssin(at)⇝s2+a2a(s>0)
部分公式推导
eat⇝1s−ae^{at}\leadsto\frac{1}{s-a}eat⇝s−a1: 根据指数位移法则 eat⋅1⇝F(s−a)=1s−ae^{at}\cdot 1 \leadsto F(s-a) = \frac{1}{s-a}eat⋅1⇝F(s−a)=s−a1
tn⇝n!sn+1t^n\leadsto \frac{n!}{s^{n+1}}tn⇝sn+1n!:
∫0∞tne−stdt=tnest−s∣0∞+ns∫0∞tn−1e−stdtL(tn)=nsL(tn−1)=nsn−1sL(tn−2)=n!snL(t0)=n!snL(1)=n!sn+1\int_{0}^{\infty}{t^ne^{-st}dt} = t^n\frac{e^{st}}{-s}\Big|_0^\infty + \frac{n}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-st}dt\\ \mathcal{L}(t^n) = \frac{n}{s}\mathcal{L}(t^{n-1}) = \frac{n}{s}\frac{n-1}{s}\mathcal{L}(t^{n-2}) = \\\frac{n!}{s^n}\mathcal{L}(t^0) = \frac{n!}{s^n}\mathcal{L}(1) = \frac{n!}{s^{n+1}} ∫0∞tne−stdt=tn−sest∣∣∣0∞+sn∫0∞tn−1e−stdtL(tn)=snL(tn−1)=snsn−1L(tn−2)=snn!L(t0)=snn!L(1)=sn+1n!
cos(at)⇝ss2+a2cos(at)\leadsto \frac{s}{s^2+a^2}cos(at)⇝s2+a2s: 复指数变换取实部或用逆向欧拉公式
L(cos(at))=L(eiat+e−iat2)=12(1s−ia+1s+ia)=ss2+a2\mathcal{L}(cos(at)) = \mathcal{L}(\frac{e^{iat}+e^{-iat}}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{s+ia})\\=\frac{s}{s^2+a^2} L(cos(at))=L(2eiat+e−iat)=21(s−ia1+s+ia1)=s2+a2s
拉普拉斯逆变换
一般碰到有理式 裂项 再查表得到逆变换结果
e.g.
1s(s+3)=13(1s−1s+3)L−1(1s(s+3))=13(1−e−3t)\frac{1}{s(s+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+3})\\ \mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s(s+3)}) = \frac{1}{3}(1-e^{-3t}) s(s+3)1=31(s1−s+31)L−1(s(s+3)1)=31(1−e−3t)
待定系数法
注意的点：1(s−a)n=a1s−a+a2(s−a)2+⋯+an(s−a)n\frac{1}{(s-a)^n} = \frac{a_1}{s-a}+\frac{a_2}{(s-a)^2}+\cdots+\frac{a_n}{(s-a)^n}(s−a)n1=s−aa1+(s−a)2a2+⋯+(s−a)nan
可以写成复数项再取实部虚部
Heaviside Cover-up Method
https://zhuanlan.zhihu.com/p/94237840
注：对于无实数解的项其实也可以用cover-up带入复数解 再取实数项
拉普拉斯变换解线性微分方程
拉普拉斯变换必须有一个初值问题IVP，y(0)=y0,y′(0)=y0′y(0) = y_0, y'(0) = y'_0y(0)=y0,y′(0)=y0′
y′′+Ay′+By=h(t),y(0)=y0,y′(0)=y0′⟶traditionalwayy=y(t)↓L↑L−1algebric equation of Y(s) and s. ⟶Y=p(s)q(s)\boxed{y'' + Ay' + By = h(t),y(0) = y_0, y'(0) = y'_0}\stackrel{traditional \ way}{\longrightarrow}\boxed{y = y(t)}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\downarrow\mathcal{L}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\uparrow\mathcal{L}^{-1}\\ \qquad\quad\boxed{\text{algebric equation of Y(s) and s. }}\qquad\longrightarrow\qquad\boxed{Y = \frac{p(s)}{q(s)}} y′′+Ay′+By=h(t),y(0)=y0,y′(0)=y0′⟶traditional wayy=y(t)↓L↑L−1algebric equation of Y(s) and s. ⟶Y=q(s)p(s)
e.g. y′′−y=e−t,y(0)=1,y′(0)=0y'' - y = e^{-t},y(0) = 1,y'(0) = 0y′′−y=e−t,y(0)=1,y′(0)=0
- 两边进行拉普拉斯变换（依据是拉氏变换的线性）
s2Y−s−Y=1s+1s^2Y-s-Y = \frac{1}{s+1} s2Y−s−Y=s+11
整理得
Y=s2+s+1(s+1)2(s−1)Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} Y=(s+1)2(s−1)s2+s+1
分式分解（用cover-up method 18.01里有讲）
Y=−12(s+1)2+14s+1+34s−1Y = \frac{-\frac{1}{2}}{(s+1)^2} + \frac{\frac{1}{4}}{s+1} + \frac{\frac{3}{4}}{s-1} Y=(s+1)2−21+s+141+s−143逆变换
L−1(Y)=−12te−t+14e−t+34et\mathcal{L}^{-1}(Y) = -\frac{1}{2}te^{-t} + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t L−1(Y)=−21te−t+41e−t+43et
其中第一项为常规解法的ypy_pyp，后两项为ycy_cyc注：
1(s+1)2\frac{1}{(s+1)^2}(s+1)21的逆变换由L(t)=1s2\mathcal{L}(t) = \frac{1}{s^2}L(t)=s21和指数位移法则得
处理跳跃间断点 Jump Discontinuity
跃阶函数 Step Function
单位跃阶 Unit Step
记为u(t)u(t)u(t) 又称为赫维赛德函数 Heaviside function
在神经网络中可以作为激活函数 activation function 来用（但是是蛮烂的那种 通常只在单层感知器上有用）
a处跃阶
记为ua(t)=u(t−a)u_a(t) = u(t-a)ua(t)=u(t−a)
单位方框函数 Unit Box Function
记为uab(t)=ua(t)−ub(t)=u(t−a)−u(t−b)u_{ab}(t) = u_a(t) - u_b(t) = u(t-a)-u(t-b)uab(t)=ua(t)−ub(t)=u(t−a)−u(t−b)
ps: characteristic function of [a,b][a,b][a,b] : χ[a,b](x)\chi_{[a,b]}(x)χ[a,b](x)
显然 跃阶函数乘以一个函数能截出这个函数的某一段
以上三类函数可用于用单个式子表示分段函数
唯一化
拉普拉斯变换不关心t<0的情况（因为积分从0到 ∞\infty∞ ），因此无论t<0的值为何，只要t>0时相等 拉普拉斯变换都一样
为了让拉普拉斯逆变换唯一，我们强制让所有小于t的函数值等于0,即
L−1(F(S))=u(t)f(t)\mathcal{L}^{-1}(F(S)) = u(t)f(t) L−1(F(S))=u(t)f(t)
t轴平移公式 t axis translation formula
得到平移函数的拉普拉斯变换
u(t−a)f(t−a)⇝e−asF(s)(a>0)u(t-a)f(t-a)\leadsto e^{-as}F(s)\tag{a>0} u(t−a)f(t−a)⇝e−asF(s)(a>0)
u(t−a)f(t)⇝e−asL(f(t+a))(a>0)u(t-a)f(t)\leadsto e^{-as}\mathcal{L}(f(t+a))\tag{a>0} u(t−a)f(t)⇝e−asL(f(t+a))(a>0)
和指数位移法则对比：ESL是在s轴上平移
当a小于0时不成立 因为拉普拉斯变换会丢掉小于零的信息
PROOF
∫0∞e−stu(t−a)f(t−a)dt=∫−a∞e−s(x+a)u(x)f(x)dx=e−as∫−a∞e−sxu(x)f(x)dx=e−as∫0∞e−sxf(x)dx=e−asF(s)(let x = t - a)\int_0^\infty{e^{-st}u(t-a)f(t-a)}dt\tag{let x = t - a}\\ =\int_{-a}^\infty{e^{-s(x+a)}u(x)f(x)}dx\\ =e^{-as}\int_{-a}^\infty{e^{-sx}u(x)f(x)}dx\\ =e^{-as}\int_0^\infty{e^{-sx}f(x)}dx\\ =e^{-as}F(s) ∫0∞e−stu(t−a)f(t−a)dt=∫−a∞e−s(x+a)u(x)f(x)dx=e−as∫−a∞e−sxu(x)f(x)dx=e−as∫0∞e−sxf(x)dx=e−asF(s)(let x = t - a)∫0∞e−stu(t−a)f(t−a+a)dt=∫−a∞e−s(x+a)u(x)f(x+a)dx=e−as∫0∞e−sxu(x)f(x+a)dx=e−asL(f(t+a))(let x = t - a)\int_0^\infty{e^{-st}u(t-a)f(t-a+a)}dt\tag{let x = t - a}\\ =\int_{-a}^\infty{e^{-s(x+a)}u(x)f(x+a)}dx\\ =e^{-as}\int_0^\infty{e^{-sx}u(x)f(x+a)}dx\\ =e^{-as}\mathcal{L}(f(t+a)) ∫0∞e−stu(t−a)f(t−a+a)dt=∫−a∞e−s(x+a)u(x)f(x+a)dx=e−as∫0∞e−sxu(x)f(x+a)dx=e−asL(f(t+a))(let x = t - a)
e.g.
u(t)⇝1s(s>0)u(t)\leadsto \frac{1}{s} (s>0)u(t)⇝s1(s>0)
uab(t)=u(t−a)−u(t−b)⇝e−as−e−bssu_{ab}(t) = u(t-a)-u(t-b) \leadsto \frac{e^{-as}-e^{-bs}}{s}uab(t)=u(t−a)−u(t−b)⇝se−as−e−bs
u(t−1)t2⇝e−sL((t+1)2)=e−sL(t2+2t+1)=e−s(2s3+2s2+1s)u(t-1)t^2 \leadsto e^{-s}\mathcal{L}((t+1)^2) = e^{-s}\mathcal{L}(t^2+2t+1) = e^{-s}(\frac{2}{s^3} + \frac{2}{s^2} + \frac{1}{s})u(t−1)t2⇝e−sL((t+1)2)=e−sL(t2+2t+1)=e−s(s32+s22+s1)
e−ase^{-as}e−as的aaa告诉你在哪里间断
不连续函数拉氏变换的逆变换
1+e−πss2+1=1s2+1+e−πss2+11s2+1⇝u(t)sin(t)e−πss2+1⇝u(t−π)sin(t−π)∴1+e−πss2+1⇝{sin(t),x∈[0,π]0,x∉[0,π]\frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1} = \frac{1}{s^2+1} + \frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\\ \frac{1}{s^2+1}\leadsto u(t)sin(t)\\ \frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\leadsto u(t-\pi)sin(t-\pi)\\ \therefore \frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1}\leadsto \left\{\begin{matrix} sin(t),x\in [0,\pi]\\ 0,x\notin [0,\pi] \end{matrix}\right. s2+11+e−πs=s2+11+s2+1e−πss2+11⇝u(t)sin(t)s2+1e−πs⇝u(t−π)sin(t−π)∴s2+11+e−πs⇝{sin(t),x∈[0,π]0,x∈/[0,π]
e−ase^{-as}e−as的aaa告诉你在哪里间断
不连续函数拉氏变换的逆变换
1+e−πss2+1=1s2+1+e−πss2+11s2+1⇝u(t)sin(t)e−πss2+1⇝u(t−π)sin(t−π)∴1+e−πss2+1⇝{sin(t),x∈[0,π]0,x∉[0,π]\frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1} = \frac{1}{s^2+1} + \frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\\ \frac{1}{s^2+1}\leadsto u(t)sin(t)\\ \frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\leadsto u(t-\pi)sin(t-\pi)\\ \therefore \frac{1+e^{-\pi s}}{s^2+1}\leadsto \left\{\begin{matrix} sin(t),x\in [0,\pi]\\ 0,x\notin [0,\pi] \end{matrix}\right. s2+11+e−πs=s2+11+s2+1e−πss2+11⇝u(t)sin(t)s2+1e−πs⇝u(t−π)sin(t−π)∴s2+11+e−πs⇝{sin(t),x∈[0,π]0,x∈/[0,π]
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原文:https://zhidao.baidu.com/question/2140860086243217068.html 早期的数学以微积分为主.微分方程的计算过程通常都是非常复杂的.有时很难求解. ...
- 深入探讨傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系与应用
1.前言 一个信号,通常用一个时间的函数来表示,这样简单直观,因为它的函数图像可以看做信号的波形,比如声波和水波等等.很多时候,对信号的处理是很特殊的,比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后,输出仍然 ...
- 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间 篇二
三大变换的意义? 傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分 ...
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