数形结合拉普拉斯变换【直观解释】—复变函数与积分变换学习笔记

本文用于学习中的记录，会在复习的过程中不断修订。

What is 拉普拉斯变换？
先放一张Matlab绘制的很有立体感的图，我们后面会了解。

初学时我可看不大明白，因为得先明白什么是傅里叶变换，再放图

傅里叶变换的真理就是任何一个原始的周期性（非周期性可以由周期函数在T趋于∞\infty∞时变成非周期）函数，可以由多个正余弦波叠加来近似。它实质是是频域函数和时域函数的转换

一.
引入拉氏变换的实际背景：
傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中，许多以时间t为自变量的函数在时间t<0时是无意义的。通常在信号与系统中用到的就是这种单边拉普拉斯变换（有时也将t=0_考虑进去），也就是因果系统（含有输入信号和输出信号的信号系统）的拉氏变换。

1.1定义
傅里叶正变换：

F(ω)F(ω)F(ω) = F[f(t)]\mathscr{F}[f(t)]F[f(t)] = ∫−∞+∞f(t)e−jωtdt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt∫−∞+∞f(t)e−jωtdt

在傅氏变换的基础上，去掉t<0时的实轴范围，并对于复参数s=β+jω,
则有积分：

F(S)F(S)F(S) = L[f(t)]\mathscr{L}[f(t)]L[f(t)] = ∫0+∞f(t)e−stdt\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt∫0+∞f(t)e−stdt

我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换
反之f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换

例：

我们引入一个单位阶跃函数 u(t)u(t)u(t)（初学复变时做题经常不认识了的函数），来求它的拉氏变换。

得

L[u(t)]=∫0+∞u(t)e−stdt=1s(Res>0)\mathscr{L}[u(t)]=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}\qquad(Re s > 0)L[u(t)]=∫0+∞u(t)e−stdt=s1(Res>0)

用数形结合来表示：

图中彩色螺旋即e−ste^{-st}e−st，现在令f(t)=u(t)f(t)=u(t)f(t)=u(t)，用阶跃函数来乘e−ste^{-st}e−st
得出来的结果如图

这时再取积分就得到了如下图中白色箭头所指的值1s\frac{1}{s}s1，也就是特定值s的拉普拉斯变换值。

但如果这个积分的结果是无限，那么我们就认为该特定值为s时，函数的波形不存在拉普拉斯变换，因为当s的实部为一个趋于无穷小的负数，则会出现这样的情况

积分结果将会是无穷大，所以去掉s < 0的区域，这样一来一开始的那张图就变成了

这就是为什么积分下限换成从0到无穷大。

1.2与傅氏变换的关系

通过刚才引入的阶跃函数u(t)u(t)u(t)我们就能将积分上下限换为负无穷到正无穷，并找到拉氏变换和傅氏变换的关系了。
即
F(S)F(S)F(S) === L[f(t)]\mathscr{L}[f(t)]L[f(t)] === ∫0+∞f(t)e−stdt\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt∫0+∞f(t)e−stdt = ∫−∞+∞f(t)u(t)e−βt⋅e−jωtdt\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-βt}·e^{-jωt}dt∫−∞+∞f(t)u(t)e−βt⋅e−jωtdt\qquad (1)

\,\,\,\,\,\,\,\,\quad=== F(β+jω)F(β+jω)F(β+jω) === L[f(t)u(t)e−βt]\mathscr{L}[f(t)u(t)e^{-βt}]L[f(t)u(t)e−βt] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

傅里叶逆变换：

f(t)f(t)f(t) === 12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdω\frac{1} {2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jωt}dω2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω

将式1代入傅氏逆变换有

f(t)u(t)e−βt=12π∫−∞+∞F(β+jω)ejωtdωf(t)u(t)e^{-βt}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(β+jω)e^{jωt}dωf(t)u(t)e−βt=2π1∫−∞+∞F(β+jω)ejωtdω

两边同乘ejωte^{jωt}ejωt，并令s=β+jω
则有

f(t)u(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estdsf(t)u(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}dsf(t)u(t)=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds

阶跃函数u(t)也就是t>0式为1，去掉

即拉普拉斯变换的反演积分公式 f(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estdsf(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}dsf(t)=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds(t>0)\qquad(t>0)(t>0)

二.
总结一些重要性质（其实大部分也就是微积分）

2.1 线性性质

L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)\mathscr{L}[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)

L−1[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)\mathscr{L}^{-1}[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)L−1[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)

应用：可以快速求解cos⁡ωt\cosωtcosωt和sin⁡ωt\sinωtsinωt的拉氏变换

2.2 相似性质

L[f(αt)]=1αF(sα)\mathscr{L}[f(αt)]=\frac{1}{α}F(\frac{s}{α})L[f(αt)]=α1F(αs)

2.3 微分性质

导数的像函数：

L[f′(t)]=sF(s)−f(0)\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)L[f′(t)]=sF(s)−f(0)

L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋅⋅⋅−f(n−1)(0)\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\,···\,-f^{(n-1)}(0)L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋅⋅⋅−f(n−1)(0)

应用：求解微分方程组的初值问题；求解幂函数f(t)=tmf(t)=t^mf(t)=tm之类的拉氏变换

像函数的导函数：

F′(s)=−L[tf(t)]F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]F′(s)=−L[tf(t)]

F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\,\mathscr{L}[t^nf(t)]F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]

应用：求tsin⁡ωtt\sinωttsinωt、t2cos2tt^2cos^2tt2cos2t之类的拉氏变换

2.4 积分性质

积分的像函数：

L[∫0tf(t)dt]=1sF(s)\mathscr{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)

L∫0tdt∫0tdt⋅⋅⋅[∫0tf(t)dt]=1snF(s)\mathscr{L}{\int_0^tdt}{\int_0^tdt\,···\,}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)L∫0tdt∫0tdt⋅⋅⋅[∫0tf(t)dt]=sn1F(s)

应用：求函数f(t)=sinttf(t)=\frac{sint}{t}f(t)=tsint之类的拉氏变换，当式中s取一些确定的数，可以用来求一些函数的反常积分（广义积分（也就高数上考的最多的积分））

像函数的积分：

∫s∞F(s)ds=L[f(t)t]\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}]∫s∞F(s)ds=L[tf(t)]

∫s∞ds∫s∞ds⋅⋅⋅∫s∞F(s)ds=L[f(t)tn]\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\,···\,\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]∫s∞ds∫s∞ds⋅⋅⋅∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]

应用：s取一些特殊值时，拉氏变换也可以用来求一些函数的反常积分。

例：求积分∫0+∞sin⁡ttdt\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t} dt∫0+∞tsintdt

即求s = 0时，函数f(t)=sinttf(t)=\frac{sint}{t}f(t)=tsint的拉氏变换

已知 sin⁡t的像函数为\sin t的像函数为sint的像函数为 F[s]=L[sint]=11+s2F[s]=\mathscr{L}[sint]=\frac{1}{1+s^2}F[s]=L[sint]=1+s21

由像函数的积分得

L[sintt]=∫s+∞11+s2ds=arccot⁡s\mathscr{L}[\frac{sint}{t}]=\int_s^{+\infty}\frac{1}{1+s^2}ds= arc\cot sL[tsint]=∫s+∞1+s21ds=arccots

2.5 延迟性质与位移性质

L[f(t−τ)]=e−sτF(s)\mathscr{L}[f(t-τ)]=e^{-sτ}F(s)L[f(t−τ)]=e−sτF(s)

L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)

应用：顾名思义延迟性质可以用来求sin⁡(t−π2)\sin(t-\frac{\pi}{2})sin(t−2π)之类的拉氏变换，解出来就是辣个答案

三.
基本的数学概念了解了后，再接触一点拉氏变换的物理意义。
我们已经知道傅氏变换将信号分成时域和频域两个方面，而拉氏变换将频率ω变成复频率s,从而不仅能刻画函数的振荡频率，而且还能描述振荡频率的增长（或衰减）速度，这也是拉氏变换和傅氏变换的区别。

s的虚部越大，振荡频率增长得越快。

s的实部越大，波形振荡幅度越大。

拉氏变换扩大了傅氏变换的适用范围，在数字领域，拉氏变换演变为用于处理离散时间函数或者数字信号的z变换。

附：常见拉普拉斯变换表

References:
[1]复变函数与积分变换（第五版）
[2]直观解释-拉普拉斯变换 https://www.bilibili.com/video/av26328393?from=search&seid=14296184891945561564

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