题目

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle

思路

题目要求每一步只能移动到下一行中相邻的节点上。比如3只能移动到6或5；4只能移动到5或7。

我们先来思考下能否递归的解决，它内部是否有递归的结构。

我们自顶向下的思考问题，先考虑最上面的那一层(第0层,用(0,0)表示)，然后向下移动一步，只能是3(1,0)或4(1,1)。假设我们已经知道3或4哪个是最小的。
那么直接用当前路径(2)加上经过3或4中路径最小的即可。

这里用(level,index)表示这颗树上的某个节点，比如顶层(第0层)就是(0,0)；第1层就是(1,0)和(1,1)。

我们这里简单的画一下递归树，可以看到只画了三层就已经存在重叠子问题了。我们先用递归算法写出来，然后用记忆化搜索来优化，最后改成动态规划。

代码

递归

class Solution(object):def minimum(self,triangle,i,level,last_level):if level == last_level:return triangle[level][i]#如果是最底层，返回本身#否则返回当前节点值加下层中最小值return triangle[level][i] + min(self.minimum(triangle,i,level+1,last_level),self.minimum(triangle,i+1,level+1,last_level))def minimumTotal(self, triangle):""":type triangle: List[List[int]]:rtype: int"""last_level = len(triangle) - 1 # 保存了最后一层的值return self.minimum(triangle,0,0,last_level) #从(0,0)开始

整个递归思路是没问题的，虽然耗时较长导致超时，但是我们可以基于此思路改写成记忆化搜索的方式(参阅LeetCode刷题之动态规划思想)。

记忆化搜索

class Solution(object):def minimum(self,triangle,i,level,last_level,dp):if level == last_level:return triangle[level][i]# 通过dp保存了(level,i)的计算值，防止重复计算if (level,i) not in dp:dp[(level,i)] =  triangle[level][i] + min(self.minimum(triangle,i,level+1,last_level,dp),self.minimum(triangle,i+1,level+1,last_level,dp)) #否则返回当前节点值加下层return dp[(level,i)]def minimumTotal(self, triangle):""":type triangle: List[List[int]]:rtype: int"""dp = {}last_level = len(triangle) - 1return self.minimum(triangle,0,0,last_level,dp)

改写的方式就比较直观，这里把dp作为参数进行递归传递。

很好，改成记忆化搜索的方式就可以通过了。
但是我们的最终目标是改成动态规划的形式。

动态规划

class Solution(object):def minimumTotal(self, triangle):""":type triangle: List[List[int]]:rtype: int"""        last_level = len(triangle) - 1for level in range(last_level-1,-1,-1):#由底向上，从倒数第2层到第0层for i in range(0,level+1):#归纳法，第level层，最多有level+1个节点triangle[level][i] = triangle[level][i] + min(triangle[level+1][i],triangle[level+1][i+1])return triangle[0][0]

这里我们通过改写原列表，可以省去了dp这个字典结构。从倒数第二层开始更新最小路径值，直到第0层，最终输出(0,0)的值即可。

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