120. 三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

来源：力扣（LeetCode）
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三角形如下图

1 自顶向下方法

分析
加入一个棋子一开始在最顶层，他只能走向下一个或者斜下方的那格，每个格子都有权重，找出从最顶层向下走到最底层的最小权重和的路径。

括号内表示从顶层走到这个格子，有几条路径

1. 1二维矩阵的方法

构建一个相同的三角形S，S的第一个元素与给定矩阵的相同。
下面一个元素可以通过上面两条路径走下来，它的正上方的和左上方的。比如第三行的元素5（坐标(2，1)），可以从元素3（坐标（ 1，0 ））或者4 （坐标（ 1，1））走过来。如果保证，每次走下来的路径是上一层中，路径较小的那一条，那么到最后一层的时候，就是最小权重和的路径。在S中元素记录的是从顶层走到该处最小的路径权重。S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i−1][j],s[i−1][j−1])S[i][j] = triangle[i][j]+ min(s[i - 1][j], s[i - 1][j - 1])S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i−1][j],s[i−1][j−1])
还需要考虑边界条件:

最左边的元素，只能从正上方的元素哪里走下来
S[i][0]=triangle[i][0]+s[i−1][0]S[i][0] = triangle[i][0]+ s[i - 1][0]S[i][0]=triangle[i][0]+s[i−1][0]
最右方的元素，只能从斜上方的元素走过来
S[i][i]=triangle[i][i]+s[i−1][i−1]S[i][i] = triangle[i][i]+ s[i - 1][i - 1]S[i][i]=triangle[i][i]+s[i−1][i−1]

构建完S矩阵后，返回最后一行最小的元素即可

class Solution:def minimumTotal(self, triangle) -> int:# triangle = [[2], [3, 4], [6, 5, 7], [4, 1, 8, 3]]# triangle = [[-1],[3,2],[1,-2,-1]]s = triangle.copy()# print(triangle)# print(s)l = len(triangle)if l < 1:returnelif l == 1:return s[0][0]else:s[0][0] = triangle[0][0]# s[1][0] = s[0][0] + triangle[1][0]# s[1][1] = s[0][0] + triangle[1][1]# print('after 1 epoch', s)for i in range(1, l):for j in range(i):if j == 0:s[i][0] = triangle[i][0] + s[i - 1][0]else:s[i][j] = triangle[i][j] + min(s[i - 1][j], s[i - 1][j - 1])s[i][i] = triangle[i][i] + s[i - 1][i - 1]# print(s)return min(s[l-1])

1.2一维数组

二维数组方法求解时，最重要的一步是
S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i−1][j],s[i−1][j−1])S[i][j] = triangle[i][j]+ min(s[i - 1][j], s[i - 1][j - 1])S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i−1][j],s[i−1][j−1])
可以看上，下一行的路径和只与上一层有关系，与上上层、上上上层…没有关系。所以可以构建一个以为数组，保存上一层路径的结果。另外新建一个以为数组，保存该层的结果就可以了。

class Solution:def minimumTotal(self, triangle):# triangle = [[2], [3, 4], [6, 5, 7], [4, 1, 8, 3]]# triangle = [[-1],[3,2],[1,-2,-1]]# s = triangle.copy()# print(triangle)# print(s)l = len(triangle)if l < 1:returnelif l == 1:return triangle[0][0]else:s = triangle[0]# s[1][0] = s[0][0] + triangle[1][0]# s[1][1] = s[0][0] + triangle[1][1]# print('after 1 epoch', s)for i in range(1, l):r = []for j in range(i):if j == 0:temp = triangle[i][j] + s[j]else:temp = triangle[i][j] + min(s[j], s[j - 1])r.append(temp)temp = triangle[i][i] + s[i - 1]r.append(temp)s = r.copy()# print(s)return min(s)

2 自下而上

从最后一层开始往上走，在原矩阵上就地操作，每个位置保存从下向上的最短路径triangle[i][j]=triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])triangle[i][j]=triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])triangle[i][j]=triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])

class Solution:def minimumTotal(self, triangle):l = len(triangle)for i in range(l-2,-1,-1):for j in range(i+1):triangle[i][j] = triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])return triangle[0][0]