繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

幂级数

〇、函数项级数的基本概念

01 函数项级数

设 un(x)(n=1,2,⋯)u_{n}(x)\ (n=1,2, \cdots)un(x) (n=1,2,⋯) 是定义在数集 XXX 上的函数列，称 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 为函数项级数。

02 收敛点

若 ∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)n=1∑∞un(x0) 收敛，称 x0x_{0}x0 是 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的一个收敛点。

03 发散点

若 ∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)n=1∑∞un(x0) 发散，称 x0x_{0}x0 是 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的一个发散点。

04 收敛域

∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的全体收敛点组成的集合 III 称为它的收敛域。

05 和函数

在收敛域的每个 xxx ，记 S(x)=∑n=1∞un(x)S(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)S(x)=n=1∑∞un(x) 称为 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的和函数。

06 部分和(函数)

与数项级数类似，Sn(x)=∑k=1nuk(x)S_{n}(x)=\sum \limits_{k=1}^{n} u_{k}(x)Sn(x)=k=1∑nuk(x) 称为 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的部分和(函数)。

07 部分和函数与和函数

在收敛域有 lim⁡n→∞Sn(x)=S(x),x∈I\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S(x)\ , \ x \in In→∞limSn(x)=S(x) , x∈I .

08 函数项级数的余和

将 rn(x)=∑k=n+1∞un(x)r_{n}(x)=\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{n}(x)rn(x)=k=n+1∑∞un(x) 称为函数项级数的余和，显然 lim⁡n→∞rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} r_{n}(x)=0n→∞limrn(x)=0 .

一、幂级数的基本概念

01 泰勒级数

形如 ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+⋯,约定(x−x0)0=1\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots\ ,\ 约定 \left(x-x_{0}\right)^{0}=1n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+⋯ , 约定(x−x0)0=1

的函数项级数称为 (x−x0)(x-x_0)(x−x0) 的幂级数或称为在 x=x0x=x_0x=x0 处的泰勒级数，a1,a2,⋯a_1,a_2,\cdotsa1,a2,⋯ 称为系数。

注意，∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}n=0∑∞an(x−x0)n 在 x0x_0x0 处为 a0a_0a0 而非 000。

02 麦克劳林级数

特别地，当 x0=0x_0=0x0=0 时， ∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯,约定x0=1\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots\ ,\ 约定 x^{0}=1n=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯ , 约定x0=1

称为 xxx 的幂级数或称为在 x=0x=0x=0 处的麦克劳林级数。

03 收敛半径

幂级数 ∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}n=0∑∞an(x−x0)n 的收敛仅有三种可能情况：

(1) 仅在 x=x0x=x_0x=x0 收敛；

(2) 在以 x0x_0x0 为中心的长度为 2R2 R2R 的区间 (x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)(x0−R,x0+R) 绝对收敛，而在 ∣x−x0∣>R|x-x_0|>R∣x−x0∣>R 发散；

(3) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 收敛。

三种情况可看作是以 x0x_0x0 为中心的区间，区间长度的一半称为收敛半径，记作 RRR 。

二、幂级数收敛半径的求法

01 阿贝尔定理

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 在 x=x0x=x_{0}x=x0 收敛，则当 ∣x∣<∣x0∣|x|<\left|x_{0}\right|∣x∣<∣x0∣，级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 绝对收敛；

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 在 x=x0x=x_{0}x=x0 发散，则当 ∣x∣>∣x0∣|x|>\left|x_{0}\right|∣x∣>∣x0∣，级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 发散。

02 柯西-阿达玛公式（比值法）

对幂级数 ∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}n=0∑∞an(x−x0)n，若有
lim⁡n→∞∣anan+1∣=R或lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ(ρ可以是+∞)\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=R \ \ 或 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho \quad(\ \rho\ 可以是 +\infty) n→∞lim∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣=R 或 n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=ρ( ρ 可以是+∞)
则对该幂级数的收敛情况有：
(1)0<ρ<+∞,R=1ρ,0<R<+∞幂级数在(x0−R,x0+R)内绝对收敛，幂级数在(x0−R,x0+R)内绝对收敛，(2)ρ=+∞,R=0在x0=x处收敛，在x0≠x处发散。(3)ρ=0,R=+∞幂级数在(−∞,+∞)内绝对收敛。\begin{aligned} & (1)\ 0<\rho<+\infty \ , \ R=\frac{1}{\rho} \ , \ 0<R<+\infty\\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & (2)\ \rho=+\infty \ , \ R=0\\ & \quad\quad 在\ x_0=x \ 处收敛，在\ x_0\neq x \ 处发散。 \\ & (3)\ \rho=0 \ , \ R=+\infty \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (-\infty,+\infty) \ 内绝对收敛。 \end{aligned} (1) 0<ρ<+∞ , R=ρ1 , 0<R<+∞幂级数在 (x0−R,x0+R) 内绝对收敛，幂级数在 (x0−R,x0+R) 内绝对收敛，(2) ρ=+∞ , R=0在 x0=x 处收敛，在 x0=x 处发散。(3) ρ=0 , R=+∞幂级数在 (−∞,+∞) 内绝对收敛。

03 根植法

对幂级数 ∑n=0∞an(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-x_0)^{n}n=0∑∞an(x−x0)n，若有
lim⁡n→∞1∣an∣n=R或lim⁡n→∞∣an∣n=ρ(ρ可以是+∞)\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}=R \ \ 或 \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\rho \quad(\ \rho\ 可以是 +\infty) n→∞limn∣an∣1=R 或 n→∞limn∣an∣=ρ( ρ 可以是+∞)
则对该幂级数的收敛情况有：
(1)0<ρ<+∞,R=1ρ,0<R<+∞幂级数在(x0−R,x0+R)内绝对收敛，幂级数在(x0−R,x0+R)内绝对收敛，(2)ρ=+∞,R=0在x0=x处收敛，在x0≠x处发散。(3)ρ=0,R=+∞幂级数在(−∞,+∞)内绝对收敛。\begin{aligned} & (1)\ 0<\rho<+\infty \ , \ R=\frac{1}{\rho} \ , \ 0<R<+\infty\\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (x_0-R,x_0+R) \ 内绝对收敛， \\ & (2)\ \rho=+\infty \ , \ R=0\\ & \quad\quad 在\ x_0=x \ 处收敛，在\ x_0\neq x \ 处发散。 \\ & (3)\ \rho=0 \ , \ R=+\infty \\ & \quad\quad 幂级数在 \ (-\infty,+\infty) \ 内绝对收敛。 \end{aligned} (1) 0<ρ<+∞ , R=ρ1 , 0<R<+∞幂级数在 (x0−R,x0+R) 内绝对收敛，幂级数在 (x0−R,x0+R) 内绝对收敛，(2) ρ=+∞ , R=0在 x0=x 处收敛，在 x0=x 处发散。(3) ρ=0 , R=+∞幂级数在 (−∞,+∞) 内绝对收敛。

三、幂级数的性质分析

01 收敛幂级数的性质

性质1（线性运算法则）

设 ∑n=0∞an(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_0)^nn=0∑∞an(x−x0)n，其收敛区间为 (x0−R1,x0+R1),R1>0(x_0-R_1,x_0+R_1)\ , \ R_1>0(x0−R1,x0+R1) , R1>0，

且 ∑n=0∞bn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-x_0)^nn=0∑∞bn(x−x0)n，其收敛区间为 (x0−R2,x0+R2),R2>0(x_0-R_2,x_0+R_2)\ , \ R_2>0(x0−R2,x0+R2) , R2>0，

则 ∑n=0∞[α⋅an+β⋅bn](x−x0)n=α∑n=0∞an(x−x0)n+β∑n=0∞bn(x−x0)n(α,β均为常数)\sum\limits_{n=0}^{\infty} [\alpha\cdot a_{n}+\beta\cdot b_{n}](x-x_0)^n=\alpha\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n+\beta\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n\ (\alpha,\beta\ 均为常数)n=0∑∞[α⋅an+β⋅bn](x−x0)n=αn=0∑∞an(x−x0)n+βn=0∑∞bn(x−x0)n (α,β 均为常数)

其收敛区间为 (x0−R,x0+R),R⩾min⁡{R1,R2}(x_0-R,x_0+R)\ , \ R\geqslant\min\left\{R_1,R_2\right\}(x0−R,x0+R) , R⩾min{R1,R2}，

性质2（乘法运算法则）

∑n=0∞an(x−x0)n⋅∑n=0∞bn(x−x0)n=∑n=0∞cn(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^nn=0∑∞an(x−x0)n⋅n=0∑∞bn(x−x0)n=n=0∑∞cn(x−x0)n，

其中 cn=∑i=0∞aibn−ic_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ib_{n-i}cn=i=0∑∞aibn−i，收敛半径是 R=min⁡{R1,R2}R=\min\left\{R_1,R_2\right\}R=min{R1,R2}

02 收敛区间上收敛幂级数的性质

以麦克劳林级数为例

性质1：连续性

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 内处处连续，

即 ∀x0∈(−R,R)\forall x_0\in(-R, R)∀x0∈(−R,R) 时，lim⁡x→x0S(x)=S(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}S(x)=S(x_0)x→x0limS(x)=S(x0) 或 lim⁡x→x0∑n=0∞anxn=∑n=0∞anx0n=∑n=0∞lim⁡x→x0anxn\lim \limits_{x \rightarrow x_0}\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x_0^{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\lim \limits_{x \rightarrow x_0}a_{n} x^{n}x→x0limn=0∑∞anxn=n=0∑∞anx0n=n=0∑∞x→x0limanxn；

若级数在收敛域的端点 x=Rx=Rx=R (或 −R-R−R ) 也收敛，则和函数 S(x)S(x)S(x) 在 x=Rx=Rx=R (或−R-R−R ) 单侧连续。

一句话总结：和的极限等于极限的和。

性质2：可导性（逐项可导）

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 可导；且有：
ddxS(x)=∑n=0∞ddx(anxn)=∑n=1∞nanxn−1=S′(x)=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1\begin{aligned} & \frac{d}{dx}S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}(a_{n} x^{n})=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\\ & S^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}\\ \end{aligned} dxdS(x)=n=0∑∞dxd(anxn)=n=1∑∞nanxn−1=S′(x)=n=0∑∞(anxn)′=n=1∑∞nanxn−1
而级数 ∑n=1∞nanxn\sum \limits_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}n=1∑∞nanxn 的收敛区间仍为 (−R,R)(-R, R)(−R,R)，收敛半径仍为 RRR 。（更加精彩！）
一句话总结：和的导数等于导数的和。

推论：逐项可导性的 kkk 阶导推广
dkdxkS(x)=∑n=0∞dkdxk(anxn)=∑n=k∞n(n−1)⋯(n−k+1)⋅anxn−k\frac{d^k}{dx^k}S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^k}{dx^k}(a_{n} x^{n})=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)\cdot a_{n} x^{n-k} dxkdkS(x)=n=0∑∞dxkdk(anxn)=n=k∑∞n(n−1)⋯(n−k+1)⋅anxn−k

性质3：可积性（逐项可积）

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 内的任何区间可积；

且对 ∀x∈(−R,R)\forall x\in(-R,R)∀x∈(−R,R)
∫0xS(t)dt=∫0x∑n=0∞antndt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_{0}^{x} S(t) d t=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1} ∫0xS(t)dt=∫0xn=0∑∞antndt=n=0∑∞∫0xantndt=n=0∑∞n+1anxn+1

推论：幂级数在收敛区间上任意次可积，且等于逐项积分，并有收敛区间不变。

性质补充（不常用）

若 [a,b]⊂(−R,+R)[a,b]\subset(-R,+R)[a,b]⊂(−R,+R)，∫abS(x)dx=∫ab∑n=0∞anxndx=∑n=0∞an∫abxndx=∑n=0∞ann+1(bn+1−an+1)\int_{a}^{b}S(x)dx=\int_{a}^{b}\sum\limits_{n=0}^{\infty} {a_nx^n}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\int_{a}^{b} {x^n}dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})∫abS(x)dx=∫abn=0∑∞anxndx=n=0∑∞an∫abxndx=n=0∑∞n+1an(bn+1−an+1) .

四、两个重要幂级数的分析

求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数
1.∑n=0∞xnn2.∑n=0∞nxn−11.\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}\quad\quad\quad\quad\quad2. \ \sum \limits_{n=0}^{\infty}nx^{n-1} 1. n=0∑∞nxn2. n=0∑∞nxn−1

五、函数展成幂级数

01 函数展成幂级数的直接展开

(1) 函数展成幂级数的直接展开推导

① nnn 阶展开

若 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的某邻域内存在 (n+1)(n+1)(n+1) 阶导数，则 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0x=x0 处可以展成 nnn 阶泰勒公式，即
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,ξ介于x0,x之间\begin{aligned} & f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)\\ & R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(\xi\right)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \ , \ \ \xi\ 介于\ x_0,x\ 之间 \end{aligned} f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1 , ξ 介于 x0,x 之间
② 任意阶展开

若 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的某邻域内存在任意阶导数，上述泰勒公式对任意 nnn 的等式都成立，对其两边取极限
lim⁡n→∞f(x)=lim⁡n→∞[f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)]=lim⁡n→∞[(f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n)+Rn(x)]\begin{aligned} & \lim \limits_{n \rightarrow \infty}f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)]\\ & \quad\quad =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[\ (f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n})+R_{n}(x)\ ]\\ \end{aligned} n→∞limf(x)=n→∞lim[f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)]=n→∞lim[ (f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n)+Rn(x) ]
③ 泰勒收敛

要求 lim⁡n→∞[f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n]=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}]=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}n→∞lim[f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n]=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n 极限存在即收敛

④ 余项收敛

求出 ∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n 的收敛区间 (x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)(x0−R,x0+R)，即 lim⁡n→∞Pn(x)\lim \limits_{n \rightarrow \infty}P_n(x)n→∞limPn(x) 存在，

则 Rn(x)=f(x)−Pn(x)R_n(x)=f(x)-P_n(x)Rn(x)=f(x)−Pn(x)，当 x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)x∈(x0−R,x0+R) 时，可得 lim⁡n→∞Rn(x)\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)n→∞limRn(x) 存在。

⑤ 余项表示

当 x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)x∈(x0−R,x0+R) 时，lim⁡n→∞Rn(x)=lim⁡n→∞[f(x)−Pn(x)]=f(x)−∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[f(x)-P_n(x)]=f(x)-\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}n→∞limRn(x)=n→∞lim[f(x)−Pn(x)]=f(x)−n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

(2) 定理：函数与对应幂级数相等的充要条件

当 x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)x∈(x0−R,x0+R) 时，f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}f(x)=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n 的充要条件是 lim⁡n→∞Rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0n→∞limRn(x)=0 。

说明 f(x)f(x)f(x) 并非总是等于它的泰勒级数。

(3) 将 f(x)f(x)f(x) 展成泰勒幂级数的步骤

① 求出 f(n)(x0),n=0,1,2,⋯f^{(n)}(x_0)\ ,\ n=0,1,2,\cdotsf(n)(x0) , n=0,1,2,⋯

② 写出 f(x)f(x)f(x) 的泰勒级数，∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

③ 求出上述级数的收敛区间 (x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)(x0−R,x0+R)

④ 验证当 x∈(x0−R,x0+R)x\in(x_0-R,x_0+R)x∈(x0−R,x0+R) 时， lim⁡n→∞Rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0n→∞limRn(x)=0

⑤ f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n,x∈(x0−R,x0+R)f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\ ,\ x\in(x_0-R,x_0+R)f(x)=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n , x∈(x0−R,x0+R)

上述表达式称为将 f(x)f(x)f(x) 展成泰勒级数的直接展开。

特别地，当 x0=0x_0=0x0=0 时，上述表达式称为将 f(x)f(x)f(x) 展成麦克劳林级数的直接展开。

(4) 将 f(x)f(x)f(x) 直接展成麦克劳林幂级数示例

f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex 的麦克劳林级数展开
ex=∑n=0∞xnn!,x∈(−∞,+∞)e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) ex=n=0∑∞n!xn, x∈(−∞,+∞)
f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}f(x)=(1+x)α 的麦克劳林级数展开
(1+x)α=1+∑n=0∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn,x∈(−∞,+∞),(α≠0，常数)(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n !} x^{n} \quad , \ x\in(-\infty,+\infty)\ , \ (\alpha\neq0，常数) (1+x)α=1+n=0∑∞n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn, x∈(−∞,+∞) , (α=0，常数)
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx 的麦克劳林级数展开
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,x∈(−∞,+∞)\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) sinx=n=0∑∞ (−1)n(2n+1)!x2n+1, x∈(−∞,+∞)

02 函数展成幂级数的间接展开

(1) 将 f(x)f(x)f(x) 直接展成麦克劳林幂级数示例

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx 的麦克劳林级数展开

对 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx 的展开式两边求导
cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,x∈(−∞,+∞)\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) cosx=n=0∑∞ (−1)n(2n)!x2n, x∈(−∞,+∞)
f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{1-x}f(x)=1−x1 的麦克劳林级数展开

将展开看作等比级数求和函数的逆运算
11−x=∑n=0∞xn,x∈(−∞,+∞)\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\ x^n\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) 1−x1=n=0∑∞ xn, x∈(−∞,+∞)
f(x)=11+xf(x)=\frac{1}{1+x}f(x)=1+x1 的麦克劳林级数展开

将展开看作等比级数求和函数的逆运算
11+x=∑n=0∞(−1)nxn,x∈(−∞,+∞)\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n x^n\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) 1+x1=n=0∑∞ (−1)nxn, x∈(−∞,+∞)
f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln{(1+x)}f(x)=ln(1+x) 的麦克劳林级数展开

对 f(x)=11+xf(x)=\frac{1}{1+x}f(x)=1+x1 的展开式两边积分：ln⁡(1+x)=∫0x11+xdx\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}dxln(1+x)=∫0x1+x1dx
ln⁡(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1,x∈(−∞,+∞)\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad , \ x\in(-\infty,+\infty) ln(1+x)=n=0∑∞ (−1)nn+1xn+1, x∈(−∞,+∞)

03 函数展成幂级数的四大法宝

(1) 对 f(x)f(x)f(x) 用线性运算法则化成简单函数的线性组合。

(2) 变量代换

(3) 先对 f(x)f(x)f(x) 求导，将 f′(x)f'(x)f′(x) 展开，再还原，两边积分⭐

看到反三角函数首先想到求导，展开，再积分

(4) 先积分展开，再两边求导（用的不多）

大家掌握了把函数展成麦克劳林级数，如果要求 f(x)f(x)f(x) 展成 (x−x0)(x-x_0)(x−x0) 的幂级数，

f(x)=(x−x0=t)=f(x0+t)=∑n=0∞antn=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=(x-x_0=t)=f(x_0+t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nt^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^nf(x)=(x−x0=t)=f(x0+t)=n=0∑∞antn=n=0∑∞an(x−x0)n

04 函数幂级数唯一性定理

唯一性定理（函数的幂级数形式惟一）：

若 S(x)=∑n=0∞an(x−x0)n,x0∈(x0−δ,x0+δ)⊂(x0−R,x0+R)(δ>0)S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\ , \ x_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset(x_0-R,x_0+R)\ (\delta>0)S(x)=n=0∑∞an(x−x0)n , x0∈(x0−δ,x0+δ)⊂(x0−R,x0+R) (δ>0)，则必有
an=S(n)(x)n!n=0,1,2,⋯a_n=\frac{S^{(n)}(x)}{n!}\quad n=0,1,2,\cdots an=n!S(n)(x)n=0,1,2,⋯
推论：

若 ∑n=0∞an(x−x0)n=∑n=0∞bn(x−x0)n,x0∈(x0−δ,x0+δ)(δ>0)\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n\ , \ x_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\ (\delta>0)n=0∑∞an(x−x0)n=n=0∑∞bn(x−x0)n , x0∈(x0−δ,x0+δ) (δ>0)，则 an=bn,n=0,1,2,⋯a_n=b_n\ \ ,\ \ n=0,1,2,\cdotsan=bn , n=0,1,2,⋯

五、常用初等函数的幂级数

常用初等函数的幂级数
(1)ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯=∑n=0∞xnn!,x∈(−∞,+∞)(2)sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+⋯,x∈(−∞,+∞)(3)cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯,x∈(−∞,+∞)(4)ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯,x∈(−∞,+∞)(5)(1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯+m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn+⋯,x∈(−∞,+∞)\begin{aligned} &(1)\ \ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+ \cdots +\frac{x^{n}}{n !}+ \cdots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(2)\ \ \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}- \cdots +(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(3)\ \ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}- \cdots +(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(4)\ \ \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ &(5)\ \ (1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+ \cdots +\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n !} x^{n}+ \cdots \quad \ , \ x\in(-\infty,+\infty)\\ \end{aligned} (1) ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+⋯=n=0∑∞n!xn , x∈(−∞,+∞)(2) sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1+⋯ , x∈(−∞,+∞)(3) cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n+⋯ , x∈(−∞,+∞)(4) ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯ , x∈(−∞,+∞)(5) (1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+⋯ , x∈(−∞,+∞)
利用以上幂级数展开式可求其他一些初等函数的幂级数展开式。

六、幂级数的应用举例

近似计算
- 计算 π\piπ 的近似值
计算积分
- 计算积分 ∫01ex−1xdx\int_{0}^{1} \frac{e^{x}-1}{x} d x∫01xex−1dx
利用幂级数推导欧拉公式
- 利用幂级数，可以推出欧拉公式 eix=cos⁡x+isin⁡xe^{i x}=\cos x+i \sin xeix=cosx+isinx
- 取 x=πx=\pix=π，eiπ=−1⇒eiπ+1=0(数学中最美的等式)e^{i \pi}=-1 \Rightarrow e^{i \pi}+1=0\quad(数学中最美的等式)eiπ=−1⇒eiπ+1=0(数学中最美的等式)

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