高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第一节-定积分的概念
高等数学笔记-乐经良
第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分
第一节 定积分的概念
一、实际背景
01 质线的质量
问题描述
质线位于 x x x轴上 [ a , b ] [a,b] [a,b]，线密度为 μ ( x ) μ(x) μ(x)，那么质线的质量 m = m= m=?
图示
若 μ = μ= μ= 常数，则 m = μ ( b － a ) m =μ(b－ a) m=μ(b－a).
若 μ μ μ 不一定为常数，怎么求？
求解过程
(1) 分成 n n n 个小段
分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b a=x0<x1<x2<⋯<xn=b 小区间 [ x i − 1 , x i ] \left[x_{i-1}, x_{i}\right] [xi−1,xi] 的长度 Δ x i = x i − x i − 1 \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} Δxi=xi−xi−1(2) 求近似质量
每一小段质量 Δ m i ≈ μ ( ξ i ) Δ x i , ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] \Delta m_{i} \approx \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}, \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right] Δmi≈μ(ξi)Δxi,ξi∈[xi−1,xi]
总质量近似值 m = ∑ i = 1 n μ ( ξ i ) Δ x i m=\sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} m=∑i=1nμ(ξi)Δxi(3) 求质量
小区间最大长度 λ = max 1 ≤ i ≤ n Δ x i \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i} λ=1≤i≤nmaxΔxi，则 m = lim λ → 0 ∑ i = 1 n Δ m i m=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} \Delta m_{i} m=λ→0limi=1∑nΔmi求此质量的三个步骤：分割、求和、求极限
02 质点运动的路程
问题描述
- 质点运动从时间 t = a t=a t=a 到 t = b t=b t=b, 速度为 v ( t ) v(t) v(t), 路程 = = = ?
- 若 v = v = v=常数，则路程 S = v ( b − a ) S =v(b- a) S=v(b−a)
- 若 v v v不一定为常数 ,怎么求？
求解过程
(1) 分割
分 [ a , b ] [a, b] [a,b] 为小区间, 分点为 a = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = b a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}=b a=t0<t1<t2<⋯<tn=b, 而 Δ t i = t i − t i − 1 \Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1} Δti=ti−ti−1(2) 求和
路程近似值 ∑ i = 1 n v ( ξ i ) Δ t i ξ i ∈ [ t i − 1 , t i ] \sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \xi_{i} \in\left[t_{i-1}, t_{i}\right] i=1∑nv(ξi)Δtiξi∈[ti−1,ti](3) 求极限
S = lim λ → 0 ∑ i = 1 n v ( ξ i ) Δ t i λ = max 1 ≤ i ≤ n Δ t i S=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} v\left(\xi_{i}\right) \Delta t_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta t_{i} S=λ→0limi=1∑nv(ξi)Δtiλ=1≤i≤nmaxΔti
03 曲边梯形的面积
问题描述
- 若 f ( x ) ⩾ 0 ( a ≤ x ≤ b ) f(x) \geqslant 0(a \leq x \leq b) f(x)⩾0(a≤x≤b), 由曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，直线 x = a x=a x=a, x = b x=b x=b 及 x x x 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A = A= A= ?
- 若 f = f = f= 常数，则面积 A = f ( b − a ) A =f(b- a) A=f(b−a)
- 若 f f f 不一定为常数 ,怎么求？
求解过程
(1) 分割
分 [ a , b ] [a, b] [a,b]为小区间, 分点为 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b a=x0<x1<x2<⋯<xn=b, 而 Δ x i = x i − x i − 1 \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} Δxi=xi−xi−1
(2) 求和
面积近似值 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right] i=1∑nf(ξi)Δxiξi∈[xi−1,xi](3) 求极限
A = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i λ = max 1 ≤ i ≤ n Δ x i A=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i} A=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxiλ=1≤i≤nmaxΔxi
04 引例总结
求在某区间上的分布不均匀的量，通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到（分割—>近似—>求和—>取极限）
二、定积分的定义
定积分的定义
f ( x ) f(x) f(x) 定义在 [ a , b ] [a, b] [a,b]，任分 [ a , b ] [a, b] [a,b] 为小区间, 分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b a=x0<x1<x2<⋯<xn=b，称为 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的一个分划.
若 ∃ I ∈ R \exists I \in \mathbf{R} ∃I∈R, 对 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的任何分划和 ∀ ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] \forall \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right] ∀ξi∈[xi−1,xi] 所作和 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} i=1∑nf(ξi)Δxi，均有
lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i = I ( λ = max 1 ≤ i ≤ n Δ x i ) \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=I \quad\left(\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}\right) λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=I(λ=1≤i≤nmaxΔxi)，
则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 可积，记为 f ∈ R [ a , b ] f \in R[a, b] f∈R[a,b]， I I I 称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的定积分，记为 I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_{a}^{b} f(x) d x I=∫abf(x)dx .
对于定积分 I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_{a}^{b} f(x) d x I=∫abf(x)dx， b b b 称为积分上限， a a a 称为积分下限， x x x 称为积分变量， d x dx dx 称为积分微元.
关于定义的说明
定积分的值与积分变量的选取无关
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( u ) d u \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(u) d u ∫abf(x)dx=∫abf(u)du
三、定积分的几何意义
- 曲边图形面积的代数和
四、常见可积函数与不可积函数
- 可积函数
- C [ a , b ] C[a,b] C[a,b] 类函数
- 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 有界且仅有有限个间断点的函数
- [ a , b ] [a,b] [a,b] 上单调有界函数
- 不可积函数
- 举例：狄利克雷函数 D ( x ) = { 1 x 为有理数 0 x 为无理数 D(x)= \begin{cases}1 & x \text { 为有理数 } \\ 0 & x \text { 为无理数 }\end{cases} D(x)={10x 为有理数 x 为无理数
五、可积的条件
01 必要条件
- 可积的必要条件
- 可积函数必有界
- 说明
- 无界不可积
- 有界不一定可积（狄利克雷函数）
02 充分条件
- 若连续，则可积
- 除有限点外连续，则可积
- 有定义且单调，则可积
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