高等数学笔记-乐经良老师

第八章多元函数微分学（Ⅰ）

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集

01 邻域

点到点的距离
- 在二维空间中，点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0) 与P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0) 的距离记为 d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2d\left(P, P_{0}\right)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2 .
δ\deltaδ 邻域
- 集合 U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P(x, y) \mid d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ} 称为 P0P_0P0 的 δ\deltaδ 邻域 .
- 不强调半径时邻域为 U(P0)U(P_{0})U(P0) .
去心 δ\deltaδ 邻域
- 集合 U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ}\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, P\right)=\left\{P(x, y) \mid 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\}U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ} 称为 P0P_0P0 的去心 δ\deltaδ 邻域 .

02 开集与区域

EEE 是平面 R2R^2R2 中的集合，P0P_0P0 是平面中的点.
内点与边界点
- 内点
  
  若 ∃δ>0\exist \delta>0∃δ>0，使 U(P0,δ)⊂EU(P_{0},\delta) \subset EU(P0,δ)⊂E，称 P0P_0P0 为 EEE 的内点.
- 边界点
  
  若对 ∀δ\forall \delta∀δ，在 U(P0,δ)U(P_{0},\delta)U(P0,δ) 内既有属于 EEE 的点，又有不属于 EEE 的点，称 P0P_0P0 为 EEE 的边界点.
开集与闭集
- 开集
  
  若集合 EEE 中每个点都是 EEE 的内点，称 EEE 为开集 .
- 闭集
  
  开集 EEE 的余集 R2−ER^2-ER2−E 称为闭集 .
连通与区域
- 连通
  
  若集合 EEE 中任意两点都能用完全属于 EEE 的折线连接起来，则称 EEE 是连通的.
- 区域
  
  连通的开集称为区域.
边界与闭区域
- 边界
  
  EEE 的所有边界点组成的集合称为 EEE 的边界.
- 闭区域
  
  区域连同其边界称为闭区域 .
有界

若存在 RRR，集合 E⊂{(x,y)∣x2+y2<R2}E \subset\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\right\}E⊂{(x,y)∣x2+y2<R2}，称 EEE 有界.

二、多元函数

多元函数的概念
- 多元函数
  
  简单说，函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.
- 二元函数
  
  设 DDD 是平面的非空集，fff 是 D→RD \rightarrow \mathbf{R}D→R 的映射，则称 fff 是定义在 DDD 上的二元函数，记为 f:D→Rf: D \rightarrow \mathbf{R}f:D→R 或者 z=f(x,y),(x,y)∈Dz=f(x, y), \quad(x, y) \in Dz=f(x,y),(x,y)∈D .
- 二元函数两要素
  
  与一元情况类似，二元函数包括两个要素：定义域、对应关系。
多元函数图形（图象）
- 集合 {(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\}{(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D} 所对应几何图形称为二元函数的图形.
- 一般而言是 R3\mathrm{R}^{3}R3 中的一个曲面.
- 曲面在 xyx yxy 面上的投影区域就是函数的定义域 DDD .
  -

第二节多元函数的极限与连续

一、二元函数的极限

01 二元函数极限的概念

设二元函数定义在 P0P_{0}P0 点的去心邻域，若存在数 AAA，∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0∀ε>0,∃δ>0,

使得当 0<d(P,P0)<δ0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta0<d(P,P0)<δ 时，∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε，

则称当 P→P0P \rightarrow P_{0}P→P0 或 (x,y)→(x0,y0)(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)(x,y)→(x0,y0) 时, f(x,y)f(x, y)f(x,y) 的极限为 AAA，

02 二元函数极限与一元函数极限的比较

类似点
- (x,y)(x, y)(x,y) 趋近点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 时函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 变化的定量趋势
- 计算多元函数极限时，等价代换、四则运算、夹逼准则等性质和定理仍成立
- 计算多元函数极限时，变量代换不能用，但极坐标变换可以用
区别点
- 平面上 P→P0P \rightarrow P_0P→P0 有无穷多方向，且采取的路径也是任意的，既可取直线，也可取曲线 ( 任意趋近 ) ；
- 无论从何种方向或沿何种路径，只要 PPP 点与 P0P_0P0 的距离充分小，都必须有 ∣f(P)−A∣\mid f(P)-A \mid∣f(P)−A∣ 充分小。

二、二元函数的连续性

01 二元函数连续性的概念

连续与连续点

若二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 满足 lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 处连续，也称 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 是 fff 的连续点.
间断

若不满足连续的条件（即不连续），则称为间断.
连续函数

若二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在平面区域 DDD 上每一点都连续，则称 fff 在区域 DDD 上连续，或称 fff 是 DDD 上的连续函数，记为 f∈C(D)f \in C(D)f∈C(D).

02 二元函数连续性的运算

二元连续函数的和差积商仍为连续函数，其复合函数是连续函数。
注意取商时分母不为零。

03 二元初等函数

二元初等函数在其定义域内都是连续的。
间断点在无定义的孤立点或者线处。

04 连续的全增量表示

全增量：Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
连续的全增量表示：lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz=0\lim \limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \Delta z=0(Δx,Δy)→(0,0)limΔz=0

05 二元函数连续的表述

区域内连续：区域内每一点连续。
闭区域内连续：边界点连续。

03 闭区域上的二元连续函数的性质

与一元情况类似
- 有界性：闭区间的二元连续函数一定有界
- 最值性（最值可取）
- 介值性（介值定理）

第三节偏导数

一、偏导数的概念

01 偏导数

对二元函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 给 xxx 以增量 Δx\Delta xΔx，

相应地函数有增量 (偏增量) Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)\Delta_{x} z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，

函数 fff 在点 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 处对 xxx 的偏导数

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0ΔxzΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δxf_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} z}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}fx(x0,y0)=Δx→0limΔxΔxz=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，

偏导数也可记为 ∂f∂x∣(x0,y0)\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}∂x∂f∣∣∣(x0,y0) .

02 偏导函数

函数 fff 在区域 DDD 上每一点都存在偏导数，则这些偏导数是 DDD 上的二元函数，称为偏导函数，记为 fx(x,y),fy(x,y)或 ∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y)f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) \text { 或 } \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)fx(x,y),fy(x,y) 或 ∂x∂f(x,y),∂y∂f(x,y) .

二、偏导数的说明

对变量 yyy 的偏导数类似。
多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率。

三、二元函数偏导数求法

把 yyy 固定在 y0y_{0}y0，求一元函数 f(x0,y0)f\left(x_{0}, y_{0}\right)f(x0,y0) 在 x0x_{0}x0 处的导数，就得到偏导数 fx(x0,y0)f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)fx(x0,y0)，同样方法可以计算偏导数 fy(x0,y0)f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)fy(x0,y0).

四、连续与可偏导的关系

01 可偏导未必连续

f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.f(x,y)={x2+y2xy0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 该函数在 (0,0)(0,0)(0,0) 的情况

02 连续未必可偏导

f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x, y)=|x|+|y|f(x,y)=∣x∣+∣y∣ 在 (0,0)(0,0)(0,0) 的情况

五、二元函数偏导数的几何意义

01 曲面与平面的交线

曲面 z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 与平面 y=y0y=y_{0}y=y0 的交线 {z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0)\begin{cases}z=f(x, y) \\ y=y_{0} \end{cases} \Rightarrow z=f\left(x, y_{0}\right){z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0) (平面 y=y0y=y_0y=y0上的曲线)

02 切线关于坐标轴的斜率

fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)fx(x0,y0) 是上述曲线在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0) 点处的切线关于 xxx 轴的斜率

六、高阶偏导数

01 高阶偏导数的概念

(1) 二阶偏导数

f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 的邻域内的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)f_{\mathrm{x}}(x, y),f_{y}(x, y)fx(x,y),fy(x,y) 的偏导数称为 fff 在 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 点处的二阶偏导数
fxx=∂2f∂x2=∂∂x(∂f∂x)fxy=∂2f∂x∂y=∂∂y(∂f∂x)fyx=∂2f∂y∂x=∂∂x(∂f∂y)fyy=∂2f∂y2=∂∂y(∂f∂y)\begin{aligned} f_{x x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) & f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \\ f_{y x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) & f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{aligned} fxxfyx=∂x2∂2f=∂x∂(∂x∂f)=∂y∂x∂2f=∂x∂(∂y∂f)fxy=∂x∂y∂2f=∂y∂(∂x∂f)fyy=∂y2∂2f=∂y∂(∂y∂f)

(2) 三阶偏导数

类似地，二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数，例如 fxxy=∂3f∂x2∂y=∂∂y(∂2f∂x2)f_{x x y}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)fxxy=∂x2∂y∂3f=∂y∂(∂x2∂2f) .

02 混合偏导数

对于函数的高阶偏导数，对每一阶偏导数求导时，并不只针对同一个自变量，这样的偏导数称为混合偏导数。
混合偏导数并不总与求导次序无关。
混合偏导数与求导次序无关的充分条件（二元函数二阶混合偏导数相等定理）
- 若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 的两个二阶混合偏导数在点 (x,y)(x, y)(x,y) 连续，则 fxy(x,y)=fyx(y,x)f_{x y}(x, y)=f_{y x}(y, x)fxy(x,y)=fyx(y,x) .

第四节全微分

一、全微分的概念

00 回顾一元函数

若 Δf=A⋅Δx+o(Δx)\Delta f=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)Δf=A⋅Δx+o(Δx)，微分 df=A⋅Δxd f=A \cdot \Delta xdf=A⋅Δx 是增量 Δf\Delta fΔf 在 x0x_{0}x0 的线性主部。

01 全增量

对函数 z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)z=f(x,y)，称 Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 为函数 zzz 的全增量。

02 可微

对函数 z=f(x,y)\mathrm{z}=f(x, y)z=f(x,y)，若全增量 Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)

可写为 Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ)\Delta z=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho)Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ) （AAA，BBB 为常数，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}ρ=(Δx)2+(Δy)2），

则称 fff 在 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 可微。

03 全微分

而其中 A⋅Δx+B⋅ΔyA \cdot \Delta x+B \cdot \Delta yA⋅Δx+B⋅Δy 为函数 fff 在 P0(x0,y0)P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)P0(x0,y0) 点处的全微分，

记为 dz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy\left.d z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta ydz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy （增量 Δf\Delta fΔf 的线性主部）

04 可微函数

若 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在区域 DDD 每点处都可微，则称 fff 是 DDD 内的可微函数。

二、可微与连续及可偏导的关系

01 可微必连续

02 可微必可偏导

函数 fff 有 df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y \Rightarrow f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=Bdf∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B

由 dx=Δx,dy=Δyd x=\Delta x, d y=\Delta ydx=Δx,dy=Δy 得到 dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dyd z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d ydz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy

03 有连续偏导数则可微

偏导数连续 ⇒\Rightarrow⇒ 可微 ⇒{连续 ↑××↓可偏导 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\text { 连续 } \\ \ \stackrel{×}{\uparrow} \stackrel{\downarrow}{×} \\ \text { 可偏导 }\end{array}\right.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 连续 ↑××↓ 可偏导

三、全微分的几何意义

微分 A⋅Δx+B⋅ΔyA \cdot \Delta x+B \cdot \Delta yA⋅Δx+B⋅Δy 是 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 的线性主部，这意味着可用 A(x−x0)+B(y−y0)A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)A(x−x0)+B(y−y0) 近似 Δz=f(x,y)−f(x0,y0)\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)Δz=f(x,y)−f(x0,y0) .

从几何上看，微分就是在就是在点 M0(x0,y0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)M0(x0,y0) 的附近存在近似曲面的平面，z−z0=A(x−x0)+B(y−y0)z-z_{0}=A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)z−z0=A(x−x0)+B(y−y0) 实际上是曲面的切平面。

四、全微分的应用

近似 Δz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy\Delta z \approx d z=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta yΔz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy

全微分可以用于近似计算