高等数学笔记-乐经良

第五章-积分(Ⅱ)-定积分的应用

第六节定积分的应用

一、近似计算

01 矩形法

从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 nnn 个小曲边梯形（底边等长）
用矩形近似小曲边梯形，则其面积近似：
f(xi−1)Δxi=f(xi−1)(b−a)n=yi−1(b−a)nf\left(x_{i-1}\right) \Delta x_{i}=f\left(x_{i-1}\right) \frac{(b-a)}{n}=y_{i-1} \frac{(b-a)}{n} f(xi−1)Δxi=f(xi−1)n(b−a)=yi−1n(b−a)
导出近似公式：
∫abf(x)dx=∑i=1nb−anf(xi−1)=b−an(y0+y1+⋯+yn−1)\int_{a}^{b} f(x) d x=\sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(x_{i-1}\right)=\frac{b-a}{n}\left(y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right) ∫abf(x)dx=i=1∑nnb−af(xi−1)=nb−a(y0+y1+⋯+yn−1)
也可取右端边长为矩形高，得右矩形公式
误差为1/n1/n1/n 的同阶无穷小

02 梯形法

从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 nnn 个小曲边梯形（底边等长）
用梯形近似小曲边梯形，则其面积近似：
f(xi−1)+f(xi)2Δxi=(b−a)(yi−1+yi)2n\frac{f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_{i}\right)}{2} \Delta x_{i}=\frac{(b-a)\left(y_{i-1}+y_{i}\right)}{2 n} 2f(xi−1)+f(xi)Δxi=2n(b−a)(yi−1+yi)
导出近似公式：
∫abf(x)dx=b−a2n[(y0+yn)+2(y1+⋯+yn−1)]\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{b-a}{2 n}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right)\right] ∫abf(x)dx=2nb−a[(y0+yn)+2(y1+⋯+yn−1)]
误差为 1/n21/n^21/n2 的同阶无穷小

03 抛物线法（辛普森积分法）

从几何意义上考虑，将曲边梯形分成 nnn 个小曲边梯形（底边等长）
取 n=2mn=2 mn=2m, 相邻两个小曲边梯形上方曲线部分用拋物线近似，
则由 (x2i−2,y2i−2),(x2i−1,y2i−1),(x2i,y2i)\left(x_{2 i-2}, y_{2 i-2}\right),\left(x_{2 i-1}, y_{2 i-1}\right),\left(x_{2 i}, y_{2 i}\right)(x2i−2,y2i−2),(x2i−1,y2i−1),(x2i,y2i) 三点
可定出拋物线 y=αx2+βx+γy=\alpha x^{2}+\beta x+\gammay=αx2+βx+γ
[x2i−2,x2i]\left[x_{2 i-2}, x_{2 i}\right][x2i−2,x2i] 上小曲边梯面积形近似为：
∫x2i−2x2i(αx2+βx+γ)dx=b−a6m(y2i−2+4y2i−1+y2i)\int_{x_{2 i-2}}^{x_{2 i}}\left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma\right) d x=\frac{b-a}{6 m}\left(y_{2 i-2}+4 y_{2 i-1}+y_{2 i}\right) ∫x2i−2x2i(αx2+βx+γ)dx=6mb−a(y2i−2+4y2i−1+y2i)
导出近似公式：
b−a6m(y0+y2m+2(y2+⋯+y2m−2)+4(y1+⋯+y2m−1)\frac{b-a}{6 m}\left(y_{0}+y_{2 m}+2\left(y_{2}+\cdots+y_{2 m-2}\right)+4\left(y_{1}+\cdots+y_{2 m-1}\right)\right. 6mb−a(y0+y2m+2(y2+⋯+y2m−2)+4(y1+⋯+y2m−1)
误差为 1/n41 / n^{4}1/n4 的同阶无穷小

二、微元法

问题引入
- 某个量分布在区间 [a,b][a,b][a,b] 上，如果有 dF=f(x)dxdF=f(x)dxdF=f(x)dx，那么 F=∫abf(x)dxF=\int_{a}^{b} f(x) d xF=∫abf(x)dx
- 问题是：我们怎样得到 f(x)f(x)f(x) ?
微元法
- 分析在小区间分布的部分量 ΔF\Delta FΔF 的线性主部 dFdFdF 来得到 f(x)dxf(x)dxf(x)dx
- ΔF\Delta FΔF 与 dFdFdF 的差是高阶无穷小 o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)

三、几何应用

01 几何应用-面积

(1) 直角坐标系

若 f(x),g(x)∈C[a,b],f(x)≥g(x)f(x), g(x) \in C[a, b], f(x) \geq g(x)f(x),g(x)∈C[a,b],f(x)≥g(x)，

求由 y=f(x),y=g(x),x=a,x=by=f(x), y=g(x), x=a, x=by=f(x),y=g(x),x=a,x=b 所围图形面积。

考虑 [x,x+dx][x,x+dx][x,x+dx] 上的面积：
ΔA≈[f(x)−g(x)]dx⇒A=∫ab[f(x)−g(x)]dx\Delta A \approx[f(x)-g(x)] d x \Rightarrow A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] d x ΔA≈[f(x)−g(x)]dx⇒A=∫ab[f(x)−g(x)]dx
如下图的图形，面积 = ？⇒A=∫cl[φ(y)−ψ(y)]dy\Rightarrow \ A=\int_{c}^{l}[\varphi(y)-\psi(y)] d y⇒ A=∫cl[φ(y)−ψ(y)]dy

(2) 参数方程形式

若曲边梯形的曲边方程为参数形式，

{x=x(t)y=y(t)t∈[α,β]\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.{x=x(t)y=y(t)t∈[α,β] (其中 a=x(α),b=x(β)a=x(\alpha), b=x(\beta)a=x(α),b=x(β))

则曲边梯形的面积：
A=∫abydx=∫αβy(t)x′(t)dtA=\int_{a}^{b} y d x=\int_{\alpha}^{\beta} y(t) x^{\prime}(t) d t A=∫abydx=∫αβy(t)x′(t)dt

(3) 极坐标形式

由曲线 r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ)，射线 θ=α,θ=β\theta=\alpha, \theta=\betaθ=α,θ=β 所围成的图形面积 A=A=A= ?

考虑 [θ,θ+dθ][\theta, \theta+d \theta][θ,θ+dθ] 上的面积：
ΔA≈12r2(θ)dθ⇒A=12∫αβr2(θ)dθ\Delta A \approx \frac{1}{2} r^{2}(\theta) d \theta \Rightarrow A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2}(\theta) d \theta ΔA≈21r2(θ)dθ⇒A=21∫αβr2(θ)dθ

02 几何应用-体积

(1) 已知截面积的几何体

若几何体的底面与 xxx 轴垂直，而在 xxx 处平行底面的截面面积为 A(x)A(x)A(x)，

求其体积 V(a≤x≤b)V\ (a \leq x \leq b)V (a≤x≤b)

考虑 [x,x+dx][x,x+dx][x,x+dx] 上的体积
ΔV≈A(x)dx⇒V=∫abA(x)dx\Delta V \approx A(x)dx\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b}A(x)dx ΔV≈A(x)dx⇒V=∫abA(x)dx

(2) 旋转体

由曲线 y=f(x)(y≥0)y=f(x)\ (y\geq0)y=f(x) (y≥0)，直线 x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b 和 xxx 轴围成的曲边梯形绕 xxx 轴旋转

所得几何体（旋转体）的体积。
V=∫abπy2dx=∫abπf2(x)dxV=\int_{a}^{b} \pi y^{2} d x=\int_{a}^{b} \pi f^{2}(x) d x V=∫abπy2dx=∫abπf2(x)dx
① 曲线 x=x(y)(x≥0)x=x(y)\ (x\geq 0)x=x(y) (x≥0) 绕 yyy 轴所得旋转体体积？

② 求旋转体的薄壳法

求曲线 y=y(x)(a≤x≤b)y=y(x)\ (a \leq x \leq b)y=y(x) (a≤x≤b) 下方的曲边梯形绕 yyy 轴旋转所得几何体的体积

考虑对应 [x,x+dx][x, x+d x][x,x+dx] 上的曲边梯形旋转出的体积
ΔV≈2πyxdx⇒V=∫ab2πxy(x)dx\Delta V \approx 2 \pi y x d x\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b} 2 \pi x y(x) d x ΔV≈2πyxdx⇒V=∫ab2πxy(x)dx

03 几何应用-弧长和旋转体侧面积

(1) 弧长

求曲线 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 上 a≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b 一段的弧长 sss，回顾弧微分
ds=1+y′2(x)dx⇒s=∫ab1+y′2(x)dxd s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x \quad \Rightarrow \quad s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x ds=1+y′2(x) dx⇒s=∫ab1+y′2(x) dx
若曲线弧段为 x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β)x=x(t),y=y(t)\ (\alpha\leq t \leq\beta)x=x(t),y=y(t) (α≤t≤β)
ds=x′2(t)+y′2(t)dt⇒s=∫αβx′2(t)+y′2(t)dtd s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t \quad \Rightarrow \quad s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t ds=x′2(t)+y′2(t) dt⇒s=∫αβx′2(t)+y′2(t) dt

(2) 旋转体的侧面积

由曲线 y=y(x)(a≤x≤b)y=y(x)\ (a \leq x \leq b)y=y(x) (a≤x≤b) 下方的曲边梯形绕 xxx 轴旋转得旋转体的侧面积 SSS = ?

考虑 [x,x+dx][x, x+d x][x,x+dx] 上曲线所对应的部分侧面积

① 能不能看成圆柱侧面 ΔS≈2πydx(不成立)←\Delta S \approx 2\pi ydx\ (不成立)\ \leftarrowΔS≈2πydx (不成立) ← 并非线性主部

② ΔS≈2πyds=2πy1+y′2dx⇒S=∫ab2πy1+y′2dx\Delta S \approx 2 \pi y d s=2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x \quad\Rightarrow\quad S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d xΔS≈2πyds=2πy1+y′2dx⇒S=∫ab2πy1+y′2dx

三、物理应用

01【做功问题】

内半径1米的半球形水池，将满池水抽尽，需做功多少？

02【压力问题】

底长为a 高为h (单位为m) 的三角形薄板铅直地放入水中，

底边恰在水表平面中，求薄板一个侧面上所受压力。

03【引力问题】

均匀细棒长 2l2 l2l, 质量为 MMM (万有引力常数为 GGG )

① 单位质量的质点 AAA 在棒的延长线上距棒中心 OOO 点 aaa 处。

② 单位质量的质点 BBB 在棒的垂直平分线上距 OOO 点 aaa 处。

求细棒分别对 A,BA, BA,B 的引力。