高等数学笔记-乐经良老师

第七章向量代数与空间解析几何（Ⅱ）

第四节平面与直线

一、平面

01 确定平面方程的条件

一个平面上的点 + 一个法向量
一个平面上的点 + 两个平行于平面的不共线向量
三个不同的平面上的点

02 平面的方程

(1) 平面的点法式方程

设平面 π\piπ 过点 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)M0(x0,y0,z0)，且其法向量为 n⃗(A,B,C)\vec{n}\ (A, B, C)n (A,B,C)

M(x,y,z)∈π⟺M0M→⊥n⃗⟺M0M→⋅n⃗=0⟺A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0点法式方程\begin{aligned} & M(x, y, z) \in \pi\Longleftrightarrow \overrightarrow{M_{0} M} \perp \vec{n}\Longleftrightarrow \overrightarrow{M_{0} M} \cdot \vec{n}=0\\ & \Longleftrightarrow A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \quad点法式方程 \end{aligned} M(x,y,z)∈π⟺M0M⊥n⟺M0M⋅n=0⟺A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0点法式方程
向量形式：n⃗⋅(r⃗−r0→)=0\vec{n} \cdot\left(\vec{r}-\overrightarrow{r_{0}}\right)=0n⋅(r−r0)=0 ，r0→,r⃗\overrightarrow{r_{0}}, \vec{r}r0,r：M0,MM_{0}, MM0,M 的定位向量。

(2) 平面的一般方程

三元一次方程一定是平面方程。
Ax+By+Cz+D=0A x+B y+C z+D=0 \quadAx+By+Cz+D=0一般方程
问题：系数 A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D 有些为零时平面的特点？

(3) 平面的标准方程

设平面 π\piπ 过点 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)M0(x0,y0,z0)，且其平行于两个不共线的向量 u⃗=(u1,u2,u3),v⃗=(v1,v2,v3)\vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)

∣x−x0y−y0z−z0u1u2u3v1v2v3∣=0标准方程\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right|=0 \quad 标准方程 \end{aligned} ∣∣∣∣∣∣x−x0u1v1y−y0u2v2z−z0u3v3∣∣∣∣∣∣=0标准方程

(4) 平面的三点式方程

空间中不共线三点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3)P_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)P3(x3,y3,z3) 的平面方程为：
∣x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1∣=0三点式方程\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 \quad 三点式方程 ∣∣∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣∣∣=0三点式方程

(5) 平面的截距式方程

平面在三坐标轴上的截矩分别为 a,b,ca, b, ca,b,c (abc≠0)(a b c \neq 0)(abc=0) ，则平面方程为：
xa+yb+zc=1截距式方程\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \quad 截距式方程 ax+by+cz=1截距式方程

二、直线

01 确定直线方程的条件

一个直线上的点 + 一个直线的方向向量
两个直线上的不重合的点
通过这条直线的两个不重合的平面

02 直线的方程

(1) 直线的标准方程

设直线 lll 过点 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)M0(x0,y0,z0) 且平行于非零向量 s⃗=(m,n,p)\vec{s}=(m, n, p)s=(m,n,p) (称为直线的方向向量)

M(x,y,z)∈l⟺M0M→//s⃗⟺x−x0m=y−y0n=z−z0p标准方程分式分母为零时，意味着其分子也为零\begin{aligned} & M(x, y, z) \in l\Longleftrightarrow\overrightarrow{M_{0} M} / / \vec{s} \Longleftrightarrow \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \quad 标准方程\\ & 分式分母为零时，意味着其分子也为零 \end{aligned} M(x,y,z)∈l⟺M0M//s⟺mx−x0=ny−y0=pz−z0标准方程分式分母为零时，意味着其分子也为零
向量形式：r⃗=r0→+ts→\vec{r}=\overrightarrow{r_{0}}+\overrightarrow{t s}r=r0+ts ，r0→,r⃗\overrightarrow{r_{0}}, \vec{r}r0,r：$ M_{0}, M$ 的定位向量。

(2) 直线的参数方程

设空间中某直线的标准方程为x−x0m=y−y0n=z−z0p⟹{x=x0+tmy=y0+tnz=z0+tp参数方程\begin{aligned} & 设空间中某直线的标准方程为\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p} \\ & \Longrightarrow \ \left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+t m \\ y=y_{0}+t n \\ z=z_{0}+t p \end{array}\right.\quad参数方程\\ \end{aligned} 设空间中某直线的标准方程为mx−x0=ny−y0=pz−z0⟹ ⎩⎨⎧x=x0+tmy=y0+tnz=z0+tp参数方程

(3) 直线的一般方程（两平面的交线）

设两平面的一般方程为{A1x+B1y+1Cz+D1=0平面1A2x+B2y+C2z+D2=0平面2联立两平面方程解得两平面的交线。满足一般方程的任一点(x0,y0,z0)是直线上点,直线的方向:(∣B1C1B2C2∣,∣C1A1C2A2∣,∣A1B1A2B2∣)\begin{aligned} & 设两平面的一般方程为\ \left\{\begin{array}{l} A_1 x+B_1 y+_1C z+D_1=0\quad平面1\\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\quad平面2 \end{array}\right.\\ & 联立两平面方程解得两平面的交线。\\ & 满足一般方程的任一点 \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 是直线上点, 直线的方向: \ \left(\left|\begin{array}{ll} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{array}\right|\right) \end{aligned} 设两平面的一般方程为 {A1x+B1y+1Cz+D1=0平面1A2x+B2y+C2z+D2=0平面2联立两平面方程解得两平面的交线。满足一般方程的任一点(x0,y0,z0)是直线上点,直线的方向: (∣∣∣∣B1B2C1C2∣∣∣∣,∣∣∣∣C1C2A1A2∣∣∣∣,∣∣∣∣A1A2B1B2∣∣∣∣)

(4) 平面束方程

平面 π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\pi_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

平面 π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0

的交线{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0的交线\ \left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.的交线 {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

过此交线的平面集合称为平面束，其平面束方程为：

(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0(A1x+B1y+C1z+D1)+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

(λ\lambdaλ 是参数，注意方程中不包括 π2\pi_{2}π2 的方程；λ→∞\lambda\rightarrow\inftyλ→∞，方程表示的平面无限趋近于 π2\pi_{2}π2 )

三、平面、直线和点的位置关系

01 点到平面的距离

设 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{z}_{0}\right)M0(x0,y0,z0) 是空间一点，平面 π\piπ 方程为 Ax+By+Cz+D=0A x+B y+C z+D=0Ax+By+Cz+D=0
M0M_{0}M0 到的 π\piπ 距离：M0M_{0}M0 到垂足 M1(x1,y1,z1)M_{1}\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}_{\mathbf{1}}, \mathbf{z}_{\mathbf{1}}\right)M1(x1,y1,z1) 间的距离 d=∥M0M1→∥d=\left\|\overrightarrow{M_{0} M_{1}}\right\|d=∥∥∥M0M1∥∥∥
∣n⃗⋅M0M1→∣=∣A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)∣⇒d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\begin{aligned} &\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_{0} M_{1}}\right|=\left| A\left(x_{1}-x_{0}\right)+B\left(y_{1}-y_{0}\right)+C\left(z_{1}-z_0)\right.\right| \\ &\Rightarrow d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \end{aligned} ∣∣∣n⋅M0M1∣∣∣=∣A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)∣⇒d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣

02 两平面间的夹角

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\pi_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0

两平面的夹角？法向量间的锐夹角：θ=min⁡((n1⃗,n2⃗^),π−(n1⃗,n2⃗^))\theta=\min \left(( \hat{\vec{n_{1}} , \vec{n_{2}}} ), \pi-( \hat{\vec{n_{1}} , \vec{n_{2}}} )\right)θ=min((n1,n2^),π−(n1,n2^))

03 两直线的夹角及共面

直线 l1l_{1}l1 过点 M1M_{1}M1 且方向向量为 S1→\overrightarrow{S_{1}}S1，直线 l2l_{2}l2 过点 M2M_{2}M2 且方向向量为 S2→\overrightarrow{S_{2}}S2，

$ l_{1}$ 与 l2l_{2}l2 的夹角为方向向量间的锐夹角：φ=min⁡((s1⃗,s2⃗^),π−(s1⃗,s2⃗^))\varphi=\min \left(( \hat{\vec{s_{1}} , \vec{s_{2}}} ), \pi-( \hat{\vec{s_{1}} , \vec{s_{2}}} )\right)φ=min((s1,s2^),π−(s1,s2^))

利用混合积： l1,l2l_{1}, l_{2}l1,l2 共面 ↔充分必要条件\xleftrightarrow{ 充分必要条件 }充分必要条件 [s1→,s2→,M1M2→]=0\left[\overrightarrow{s_{1}}, \overrightarrow{s_{2}}, \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right]=0[s1,s2,M1M2]=0

04 直线与平面的夹角

设直线 lll 方向向量为 S⃗\vec{S}S，平面 π\piπ 的法向量为 n⃗\vec{n}n，

lll 与 π\piπ 的夹角为 ψ=∣π2−(s⃗,n⃗^)∣\psi=\left|\frac{\pi}{2}-( \hat{\vec{s} , \vec{n}} )\right|ψ=∣∣∣2π−(s,n^)∣∣∣

计算 ψ\psiψ 可用 sin⁡ψ=cos⁡(s⃗,n⃗^)\sin \psi=\cos \left.( \hat{\vec{s} , \vec{n}} )\right.sinψ=cos(s,n^)

第五节曲面与曲线

一、空间曲面

在空间坐标系中，

点 ↔\leftrightarrow↔ 坐标 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)

曲面 ↔\leftrightarrow↔ F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 曲面方程

二、二次曲面

01 椭球面

方程
x2a2+y2b2+z2c2=1(a>0,b>0,c>0半轴)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad (a>0, b>0, c>0\ 半轴 ) a2x2+b2y2+c2z2=1(a>0,b>0,c>0 半轴)
截痕法
- 通过用平行坐标面的平面去截曲面，
- 所得交线 ( 称为截痕 ) 了解曲面性态
简图
- 利用截痕法易得
特点
- 有界对称
- 被平行坐标面的平面截得的椭圆
  
  例如，被平面 z=hz=hz=h 截得 {x2a2+y2b2=1−h2c2z=h\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.{a2x2+b2y2=1−c2h2z=h
思考：中心不在原点的椭球面方程形式？

02 单叶双曲面

方程
x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 a2x2+b2y2−c2z2=1
简图
- x=0x=0x=0，双曲线
- y=0y=0y=0，双曲线
- z=0z=0z=0，椭圆
特点
- 对称
- 与 xyxyxy 面平行的平面截得椭圆
  
  例如， {x2a2+y2b2=1+h2c2z=h\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.{a2x2+b2y2=1+c2h2z=h
  
  与其他坐标面平行的平面截得双曲线 {x2a2+y2b2=1−h2c2z=h(h的大小变化时双曲线的变化)\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2} \\ z=h \end{array}\right.\quad (h的大小变化时双曲线的变化){a2x2+b2y2=1−c2h2z=h(h的大小变化时双曲线的变化)
思考：中心不在原点的椭球面方程形式？

03 双叶双曲面

方程
−x2a2−y2b2+z2c2=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 −a2x2−b2y2+c2z2=1
简图
- z=0z=0z=0，没有定义
- z=±cz=\pm cz=±c，上下两椭圆
特点
- 对称，图形分两叶
- 与坐标面平行的平面截得双曲线或椭圆

04 椭圆抛物面

方程
x2a2+y2b2=z\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z a2x2+b2y2=z
简图
- z<0z<0z<0，没有定义

05 双曲抛物面（马鞍面）

方程
x2a2−y2b2=z\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z a2x2−b2y2=z
简图
- x=0x=0x=0，张口朝上的抛物线
- y=0y=0y=0，张口朝下的抛物线
- z=cz=cz=c，双曲线

三、柱面、旋转面和锥面

01 柱面

(1) 柱面的概念

概念
- LLL 是空间曲线, lll 是过 LLL 上点 PPP 的直线，
- PPP 沿 LLL 移动时与原方向始终平行的直线 lll 的轨迹为柱面。
简图
- LLL：准线，lll：母线
母线平行于坐标轴的柱面
- 方程的特点
  
  不含某个变量，例如 F(x,y)=0(不含z)F(x,y)=0\ \ (不含z)F(x,y)=0 (不含z)
  
  不含哪个变量和哪个坐标轴平行

(2) 二次柱面

椭圆柱面
- 方程
  x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 a2x2+b2y2=1
- 简图
双曲柱面
- 方程
  x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 a2x2−b2y2=1
- 简图
抛物面柱
- 方程
  x2=pyx^2=py x2=py
- 简图

02 旋转面

概念
- 平面上曲线 LLL 绕直线 lll 旋转一周的轨迹所形成的曲面为旋转面。
- lll：对称轴， LLL：子午线
yzyzyz 面上的曲线：{f(y,z)x=0\left\{\begin{array}{l} f(y,z) \\ x=0 \end{array}\right.{f(y,z)x=0
绕 zzz 轴旋转而成的曲面：f(±x2+y2,z)=0f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0f(±x2+y2,z)=0

03 锥面

概念
- M0M_{0}M0 是曲线 LLL 之外的定点，直线 lll 过 M0M_{0}M0 点且与 LLL 相交,
- 当交点沿 LLL 运动时，lll 的轨迹形成锥面。
简图
齐次方程是锥面方程。例如，
- 方程
  x2a2+y2b2=z2c2\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}} a2x2+b2y2=c2z2
- 简图

四、空间曲线

一般方程

一般方程
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(两个曲面交线)\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.\quad(两个曲面交线) {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(两个曲面交线)
示例：维维亚尼曲线
- 表示球面与圆柱面的交线
- 方程
  {z=R2−x2−y2x2+y2=Rx\left\{\begin{array}{c} z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \\ x^{2}+y^{2}=R x \end{array}\right. {z=R2−x2−y2x2+y2=Rx
- 简图

02 参数方程

参数方程（不唯一，依赖参数）
{x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈I(点的轨迹)\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{array} \quad t \in I\right.\quad(点的轨迹) ⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈I(点的轨迹)
示例：螺旋线方程
- 方程
  {x=acos⁡ωty=asin⁡ωtz=vt\left\{\begin{array}{l} x=a \cos \omega t \\ y=a \sin \omega t \\ z=v t \end{array}\right. ⎩⎨⎧x=acosωty=asinωtz=vt
- 简图

五、空间曲线在坐标面的投影

01 概念

LLL 是空间曲线，π\piπ 为平面，以 LLL 为准线，母线垂直于 π\piπ 的柱面 Σ\SigmaΣ 称为曲线对平面的投影柱面，

Σ\SigmaΣ 与 π\piπ 的交线称为曲线在平面上的投影。

02 方程

若 L{H(x,y,z)=0G(x,y,z)=0L\ \left\{\begin{array}{l} H(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array}\right.L {H(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，可消去 zzz，得柱面方程 F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0

LLL 在柱面上，在 xyxyxy 面投影 {F(x,y)=0z=0\left\{\begin{array}{l} F(x,y)=0\\ z=0 \end{array}\right.{F(x,y)=0z=0

六、曲面的参数方程

01 方程

{x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)s∈I1,t∈I2\left\{\begin{array}{l} x=x(s, t) \\ y=y(s, t) \\ z=z(s, t) \end{array} \quad s \in I_{1}, t \in I_{2}\right. ⎩⎨⎧x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)s∈I1,t∈I2

02 示例

(1) 椭圆柱面方程

{x=asin⁡θy=bcos⁡θz=ct\left\{\begin{array}{l} x=a\sin\theta\\y=b\cos\theta\\z=ct \end{array}\right.⎩⎨⎧x=asinθy=bcosθz=ct

(2) 球面方程

{x=Rsin⁡φcos⁡θy=Rsin⁡φsin⁡θz=Rcos⁡φ\left\{\begin{array}{c}x=R \sin \varphi \cos \theta \\ y=R \sin \varphi \sin \theta \\ z=R \cos \varphi\end{array}\right.⎩⎨⎧x=Rsinφcosθy=Rsinφsinθz=Rcosφ