高等数学笔记-乐经良老师

第十一章级数

第一节级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 u1,u2,…,un,…u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldotsu1,u2,…,un,… 是一个数列, 则和 ∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdotsn=1∑∞un=u1+u2+⋯+un+⋯ 称为无穷级数（简称级数）.

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项，unu_{n}un 称为级数的通项（或一般项）.

03 前nnn项部分和

而其中，Sn=∑n=1∞un=u1+u2+⋯+unS_n = \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}Sn=n=1∑∞un=u1+u2+⋯+un 称为级数的前nnn项部分和.

04 级数收敛

若存在 lim⁡n→∞Sn=S\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}=Sn→∞limSn=S，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，且收敛于 SSS.

05 级数发散

若存在 lim⁡n→∞Sn\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}n→∞limSn 不存在，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 发散.

06 级数的和与余和

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛于 SSS，则称 SSS 为级数的和，记为 ∑n=1∞un=S\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=Sn=1∑∞un=S；

称 rn=∑k−n+1∞uk=S−Snr_{n}=\sum \limits_{k-n+1}^{\infty} u_{k}=S-S_{n}rn=k−n+1∑∞uk=S−Sn 为级数的余和，且显然有 lim⁡n→∞rn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}r_n=0n→∞limrn=0.

二、级数的基本性质

线性性质

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛到 SSS，级数 ∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}n=1∑∞vn 收敛到 TTT ，则级数 ∑n=1∞(αun±βvn)\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\alpha u_{n} \pm \beta v_{n}\right)n=1∑∞(αun±βvn) 收敛到 αS+βT\alpha S+\beta TαS+βT .
将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。
若级数收敛于和 SSS，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 SSS.

三、级数收敛的必要条件

必要条件

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，则 lim⁡n→∞un=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0n→∞limun=0（一般项是无穷小）
注意
- ∑n=1∞un≠0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \neq 0n=1∑∞un=0 或 ∑n=1∞un=∞(不存在)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = \infty \text{(不存在)}n=1∑∞un=∞(不存在) ⇒\Rightarrow⇒ ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 发散
- ∑n=1∞un=0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = 0n=1∑∞un=0 不一定导出 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛

第二节正项级数的敛散性

一、正项级数

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 满足 un≥0u_n \geq 0un≥0，则称之为正项级数 .

显然正项级数的部分和 SnS_nSn 单调增加，因此有：

正项级数∑n=1∞un收敛<‾>充分必要条件部分和Sn有界\text{正项级数} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \stackrel{\text{充分必要条件}}{<\overline{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }> } \text{部分和} S_n \text{有界}正项级数n=1∑∞un收敛< >充分必要条件部分和Sn有界 .

二、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

(1) 比较判别法

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 与 ∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}n=1∑∞vn 均为正项级数，且 un≤vnu_n \leq v_nun≤vn，

则有 ∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛.∑n=1∞un发散⇒∑n=1∞vn发散.\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散.}n=1∑∞vn收敛⇒n=1∑∞un收敛.n=1∑∞un发散⇒n=1∑∞vn发散.

(2) 比较判别法的极限形式

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 与 ∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}n=1∑∞vn 均为正项级数，且 lim⁡n→∞unvn=l\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n}}{v_{n}}=ln→∞limvnun=l，

则有当0<l<+∞时，∑n=1∞un与∑n=1∞vn同敛散.当l=0时，∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛.当l=+∞时，∑n=1∞vn发散⇒∑n=1∞un发散.\quad \ \; \text{当} 0<l<+\infty \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{与} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{同敛散.} \\ \text{当} l=0 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ \quad \ \text{当} l=+\infty \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} 当0<l<+∞时，n=1∑∞un与n=1∑∞vn同敛散.当l=0时，n=1∑∞vn收敛⇒n=1∑∞un收敛. 当l=+∞时，n=1∑∞vn发散⇒n=1∑∞un发散.

02 比值判别法

若正项级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 满足 lim⁡n→∞un+1un=l\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=ln→∞limunun+1=l，

则有当0<l<1时，∑n=1∞un收敛.当l=0时，∑n=1∞un发散.\quad \ \; \text{当} 0<l<1 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ \text{当} l=0 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} 当0<l<1时，n=1∑∞un收敛.当l=0时，n=1∑∞un发散.

03 根植判别法

若正项级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 满足 lim⁡n→∞unn=l\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=ln→∞limnun=l，

则有当0≤l<1时，∑n=1∞un收敛.当l>1时，∑n=1∞un发散.\quad \ \; \text{当} 0 \leq l<1 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ \text{当} l>1 \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} 当0≤l<1时，n=1∑∞un收敛.当l>1时，n=1∑∞un发散.

04 积分判别法

若非负函数 f(x)f(x)f(x) 在 (a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞) 时单调减少，

级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 的通项 un=f(n)u_{n}=f(n)un=f(n) ，

则级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 与积分 ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) d x∫a+∞f(x)dx 有相同的敛散性。

05 判别法小结

比值和根值判别法实际上可看作是在将级数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可称级数是拟等比级数。
比较判别法是将一般性un,vnu_n,v_nun,vn 作无穷小比较。通常我们取 vnv_nvn 为 1np\frac{1}{n^p}np1，因此这时实际上我们在分析无穷小的阶。

第三节任意项级数的收敛性

一、交错级数收敛性的判别

01 交错级数

各项正负相间的级数称为交错级数，其形式为 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un 或 ∑n=1∞(−1)nun\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}n=1∑∞(−1)nun （其中 un>0u_n>0un>0）.

02 莱布尼兹判别法

若交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un （其中 un>0u_n>0un>0）满足 {un+1≤unlim⁡n→∞un=0\begin{cases}{u_{n+1} \leq u_{n}} \\ \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧un+1≤unn→∞limun=0 ，

则级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un 收敛，且其余和的绝对值小于 un+1u_{n+1}un+1，即 ∣∑k=n+1∞uk∣<un+1\left|\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{k}\right|<u_{n+1}∣∣∣∣k=n+1∑∞uk∣∣∣∣<un+1 .

二、绝对收敛与条件收敛

01 绝对收敛

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|n=1∑∞∣un∣ 收敛，则称 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}∑n=1∞un 绝对收敛.

02 条件收敛

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|∑n=1∞∣un∣ 发散, 而级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 条件收敛.

03 关于绝对收敛的命题

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|n=1∑∞∣un∣ 收敛，则级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛。
若级数绝对收敛，则级数收敛。

第四节函数项级数

函数项级数及其敛散性

01 函数项级数

设 un(x)(n=1,2,⋯)u_{n}(x)(n=1,2, \cdots)un(x)(n=1,2,⋯) 是定义在数集 XXX 上的函数列，则称 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 为函数项级数.

02 收敛点

若 ∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)n=1∑∞un(x0) 收敛，称 x0x_{0}x0 是 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的一个收敛点.

03 发散点

若 ∑n=1∞un(x0)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{0}\right)n=1∑∞un(x0) 发散，称 x0x_{0}x0 是 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的一个发散点.

04 收敛域

∑n=1∞un(x)\sum \limits_{\mathrm{n}=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的全体收敛点组成的集合 III 称为它的收敛域.

05 和函数

在收敛域的每个 xxx ，记 S(x)=∑n=1∞un(x)S(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)S(x)=n=1∑∞un(x) 称为 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的和函数.

06 部分和(函数)

与数项级数类似，Sn(x)=∑k=1nuk(x)S_{n}(x)=\sum \limits_{k=1}^{n} u_{k}(x)Sn(x)=k=1∑nuk(x) 称为 ∑n=1∞un(x)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)n=1∑∞un(x) 的部分和(函数).

07 部分和函数与和函数

在收敛域有 lim⁡n→∞Sn(x)=S(x)\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=S(x)n→∞limSn(x)=S(x).

08 函数项级数的余和

将 rn(x)=∑k=n+1∞un(x)r_{n}(x)=\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{n}(x)rn(x)=k=n+1∑∞un(x) 称为函数项级数的余和，显然 lim⁡n→∞rn(x)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} r_{n}(x)=0n→∞limrn(x)=0 .

第五节幂级数

一、幂级数及其收敛半径

幂级数和系数

形如 ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdotsn=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯ 的函数项级数称为幂级数，

a1,a2,⋯a_1,a_2,\cdotsa1,a2,⋯ 称为系数。

阿贝尔定理

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 在 x=x0x=x_{0}x=x0 收敛，则当 ∣x∣<∣x0∣|x|<\left|x_{0}\right|∣x∣<∣x0∣，级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 绝对收敛；

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 在 x=x0x=x_{0}x=x0 发散，则当 ∣x∣>∣x0∣|x|>\left|x_{0}\right|∣x∣>∣x0∣，级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 发散。

推论（幂级数收敛域的情况）

幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛仅有三种可能情况：

(1) 仅在 x=0x=0x=0 收敛；

(2) 在以原点为中心的长度为 2R2 R2R 的区间 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 绝对收敛，而在 ∣x∣>R|x|>R∣x∣>R 发散；

(3) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 收敛。

三种情况可看作是以原点为中心的区间，区间长度的一半称为收敛半径。

幂级数收敛半径的求法

(1) 比值法

对幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn，若有
lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ(ρ可以是+∞)\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho \quad(\ \rho\ 可以是 +\infty) n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=ρ( ρ 可以是+∞)
则其收敛半径 RRR：
(1)ρ=+∞⇒R=0(2)0<ρ<+∞⇒R=1ρ(3)ρ=0⇒R=+∞可简记为R=1ρ\begin{aligned} & (1)\ \rho=+\infty \Rightarrow R=0\\ & (2)\ 0<\rho<+\infty \Rightarrow R=\frac{1}{\rho}\\ & (3)\ \rho=0 \Rightarrow R=+\infty \\ & 可简记为\ R=\frac{1}{\rho}\\ \end{aligned} (1) ρ=+∞⇒R=0(2) 0<ρ<+∞⇒R=ρ1(3) ρ=0⇒R=+∞可简记为 R=ρ1

(2) 根植法

对幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn，若有
lim⁡n→∞∣an∣n=ρ\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\rho n→∞limn∣an∣=ρ
则其收敛半径 RRR：
(1)ρ=+∞⇒R=0(2)0<ρ<+∞⇒R=1ρ(3)ρ=0⇒R=+∞可简记为R=1ρ\begin{aligned} & (1)\ \rho=+\infty \Rightarrow R=0\\ & (2)\ 0<\rho<+\infty \Rightarrow R=\frac{1}{\rho}\\ & (3)\ \rho=0 \Rightarrow R=+\infty \\ & 可简记为\ R=\frac{1}{\rho}\\ \end{aligned} (1) ρ=+∞⇒R=0(2) 0<ρ<+∞⇒R=ρ1(3) ρ=0⇒R=+∞可简记为 R=ρ1

二、幂级数的分析性质

连续性

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 连续；

若级数在收敛域的端点 x=Rx=Rx=R (或 −R-R−R ) 也收敛，则和函数 S(x)S(x)S(x) 在 x=Rx=Rx=R (或- RRR ) 单侧连续。

可导性

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 可导；且有：
S′(x)=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1S^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} S′(x)=n=0∑∞(anxn)′=n=1∑∞nanxn−1
而级数 ∑n=1∞nanxn\sum \limits_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}n=1∑∞nanxn 的收敛半径仍为 RRR 。

可积性

若幂级数 ∑n=0∞anxn\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}n=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则其和函数 S(x)S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R)(−R,R) 内的任何区间可积；

且对 ∀x∈(−R,R)\forall x\in(-R,R)∀x∈(−R,R)
∫0xS(t)dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_{0}^{x} S(t) d t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1} ∫0xS(t)dt=n=0∑∞∫0xantndt=n=0∑∞n+1anxn+1

三、泰勒级数

01 泰勒级数的概念

幂级数形式简单，运算方便，函数 f(x)f(x)f(x) 能否由幂级数来表示？

回顾泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
如下所示幂级数称为 f(x)f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0x=x0 处的泰勒级数（x0=0x_0=0x0=0 时称为麦克劳林级数）
∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n} n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n

02 函数与它的泰勒公式

若函数 f(x)f(x)f(x) 在包含 x0x_{0}x0 的区域 III 内有任意阶导数，则在区域 III 满足：
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n↔充分必要条件lim⁡n→∞Rn(x)=0f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n} \quad \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \quad \lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0 f(x)=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n充分必要条件n→∞limRn(x)=0
说明 f(x)f(x)f(x) 并非总是等于它的泰勒级数。

03 函数的幂级数形式惟一

若f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n，必有an=f(n)(x0)n!若 f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}，必有 a_{n}=\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !} 若f(x)=n=0∑∞an(x−x0)n，必有an=n!f(n)(x0)

四、常用初等函数的幂级数

常用初等函数的幂级数
(1)ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯=∑n=0∞xnn!(−∞<x<+∞)(2)sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+⋯(−∞<x<+∞)(3)cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯(−∞<x<+∞)(4)ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯(−∞<x<+∞)(5)(1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯+m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn+⋯(−∞<x<+∞)\begin{aligned} &(1)\ \ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+ \cdots +\frac{x^{n}}{n !}+ \cdots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\quad (-\infty<x<+\infty)\\ &(2)\ \ \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}- \cdots +(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+ \cdots \quad (-\infty<x<+\infty)\\ &(3)\ \ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}- \cdots +(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+ \cdots \quad (-\infty<x<+\infty)\\ &(4)\ \ \ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+ \cdots \quad (-\infty<x<+\infty)\\ &(5)\ \ (1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+ \cdots +\frac{m(m-1) \cdots (m-n+1)}{n !} x^{n}+ \cdots \quad (-\infty<x<+\infty)\\ \end{aligned} (1) ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn+⋯=n=0∑∞n!xn(−∞<x<+∞)(2) sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1+⋯(−∞<x<+∞)(3) cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n+⋯(−∞<x<+∞)(4) ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯(−∞<x<+∞)(5) (1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯+n!m(m−1)⋯(m−n+1)xn+⋯(−∞<x<+∞)
利用以上幂级数展开式可求其他一些初等函数的幂级数展开式。

五、幂级数的应用举例

01 近似计算

计算 π\piπ 的近似值

02 计算积分

计算积分 ∫01ex−1xdx\int_{0}^{1} \frac{e^{x}-1}{x} d x∫01xex−1dx

03 利用幂级数推导欧拉公式

利用幂级数，可以推出欧拉公式
eix=cos⁡x+isin⁡xe^{i x}=\cos x+i \sin x eix=cosx+isinx
取 x=πx=\pix=π，
eiπ=−1⇒eiπ+1=0(数学中最美的等式)e^{i \pi}=-1 \Rightarrow e^{i \pi}+1=0\quad(数学中最美的等式) eiπ=−1⇒eiπ+1=0(数学中最美的等式)

第六节傅里叶级数

一、三角级数

01 三角级数的概念

形如 a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx) 的级数称为三角级数，a0,an,bn(n=1,2,⋯)a_{0}, a_{n}, b_{n}(n=1,2, \cdots)a0,an,bn(n=1,2,⋯) 称为系数。

三角级数各项组成的集合：{1,cos⁡x,sin⁡x,cos⁡2x,sin⁡2x,⋯,cos⁡nx,sin⁡nx,⋯}\{1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯} 称为三角函数系。

02 三角函数系的特点

三角函数系的特点：正交性
∫−ππcos⁡mxcos⁡nxdx={0m≠nπm=n(m,n=0,1,2,⋯)∫−ππsin⁡mxsin⁡nxdx={0m≠nπm=n(m,n=1,2,⋯)∫−ππsin⁡mxcos⁡nxdx=0(m=1,2,⋯;n=0,1,⋯)\begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi} \cos m x \cos n x d x= \begin{cases}0 & m \neq n \\ \pi & m=n\end{cases}\\ &(m, n=0,1,2, \cdots)\\ \\ &\int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \sin n x d x= \begin{cases}0 & m \neq n \\ \pi & m=n\end{cases}\\ &(m, n=1,2, \cdots)\\ \\ &\int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \cos n x d x=0\\ &(m=1,2, \cdots ; n=0,1, \cdots) \end{aligned} ∫−ππcosmxcosnxdx={0πm=nm=n(m,n=0,1,2,⋯)∫−ππsinmxsinnxdx={0πm=nm=n(m,n=1,2,⋯)∫−ππsinmxcosnxdx=0(m=1,2,⋯;n=0,1,⋯)
设三角级数在 [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] 上收敛于函数 f(x)f(x)f(x)
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
级数系数与 f(x)f(x)f(x) 有什么关系？

利用正交性，可得：
an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx,n=0,1,2,⋯bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx,n=1,2,⋯\begin{aligned}a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x,\quad & n=0,1,2, \cdots \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x,\quad & n=1,2, \cdots\end{aligned} an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx,n=0,1,2,⋯n=1,2,⋯

二、傅里叶级数及其收敛条件

若 f(x)f(x)f(x) 周期为 2π2 \pi2π，在 (−π,π](-\pi, \pi](−π,π] 可积，那么利用前面公式求得 an,bna_{n}, b_{n}an,bn，就可写出一个三角级数，

称为的傅里叶级数 ( 傅氏级数 )，记为：
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
注意，我们从 f(x)f(x)f(x) 得到傅里叶级数，但这级数是否收敛？即使收敛，是否收敛到 f(x)f(x)f(x) ？

狄利克雷收敛定理：

设 f(x)f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] 至多有有限个第一类间断点且仅有有限个极值点，那么 f(x)f(x)f(x) 的Fourier级数
a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) 2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
在 [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] 收敛，它的和函数：
S(x)={f(x),当 x为 f的连续点 f(x−0)+f(x+0)2,当 x为 f的间断点 f(π−0)+f(−π+0)2,当 x=±πS(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & \text { 当 } x \text { 为 } f \text { 的连续点 } \\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}, & \text { 当 } x \text { 为 } f \text { 的间断点 } \\ \frac{f(\pi-0)+f(-\pi+0)}{2}, & \text { 当 } x=\pm \pi \end{array}\right. S(x)=⎩⎨⎧f(x),2f(x−0)+f(x+0),2f(π−0)+f(−π+0), 当 x 为 f 的连续点当 x 为 f 的间断点当 x=±π

三、正弦级数和余弦级数

若 f(x)f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 是奇函数，则它的傅里叶级数的系数 an=0a_{n}=0an=0，从而
f(x)∼∑n=1∞bnsin⁡nx(bn=2π∫0πf(x)sin⁡nxdx)f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x \quad\left(b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x d x\right) f(x)∼n=1∑∞bnsinnx(bn=π2∫0πf(x)sinnxdx)
若 f(x)f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 是偶函数，则 bn=0b_{n}=0bn=0 ，从而
f(x)∼a02+∑n=1∞ancos⁡nx(an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx)f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x \quad\left(a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x d x\right) f(x)∼2a0+n=1∑∞ancosnx(an=π2∫0πf(x)cosnxdx)
定义在 [0,π][0, \pi][0,π] 上符合展开条件的函数 f(x)f(x)f(x) 可以看作 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 上的奇函数或偶函数，

然后展开为正弦级数或余弦级数。

四、周期为 2l2l2l 的傅里叶级数

设 f(x)f(x)f(x) 是定义在 [−l,l][-l, l][−l,l] 上的可积函数, 通过 x=lπtx=\frac{l}{\pi} tx=πlt, 得到 F(t)=f(lπt)F(t)=f\left(\frac{l}{\pi} t\right)F(t)=f(πlt) 为 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 上可积函数就有
F(t)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nt+bnsin⁡nt)F(t) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right) F(t)∼2a0+n=1∑∞(ancosnt+bnsinnt)
导出
f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl){an=1l∫−llf(x)cos⁡nπlxdx,n=0,1,2,⋯bn=1l∫−llf(x)sin⁡nπlxdx,n=1,2,⋯\begin{aligned} &f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right) \\ & \begin{cases}a_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x d x, & n=0,1,2, \cdots \\ b_{n}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x d x, & n=1,2, \cdots\end{cases} \end{aligned} f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx){an=l1∫−llf(x)coslnπxdx,bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,n=0,1,2,⋯n=1,2,⋯
若 f(x)f(x)f(x) 在 [−l,l][-l, l][−l,l] 上满足狄利克雷收敛条件，则傅里叶级数 a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)\frac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx) 收敛到
S(x)={f(x)x是 f的连续点 f(x−0)+f(x+0)2x是 f的间断点 f(−l+0)+f(l+0)2x=±lS(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x) & x \text { 是 } f \text { 的连续点 } \\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} & x \text { 是 } f \text { 的间断点 } \\ \frac{f(-l+0)+f(l+0)}{2} & x=\pm l \end{array}\right. S(x)=⎩⎨⎧f(x)2f(x−0)+f(x+0)2f(−l+0)+f(l+0)x 是 f 的连续点 x 是 f 的间断点 x=±l