高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第二节-洛必达法则

2024-05-11 21:40:17

高等数学笔记-乐经良

第四章微分中值定理和导数的应用

第二节洛必达法则

一、定理（00\frac0000型）

定理内容
- (1) lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=0x→alimf(x)=x→alimg(x)=0
  
  (2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 aaa 点邻域可导，且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g′(x)=0
  
  (3) lim⁡x→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Ax→alimg′(x)f′(x)=A(A 可以为 ∞)\infty)∞)
- ⇒lim⁡x→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A⇒x→alimg(x)f(x)=A
- 即 lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x) （在右端有意义的情况下成立）
说明
- x→a+x \rightarrow a^+x→a+（或 a−a^-a−，∞\infty∞等）法则仍适用
- 应用法则时勿忘记等价无穷小替换
- lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→alimg′(x)f′(x) 不存在不意味着 lim⁡x→af(x)g(x)\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}x→alimg(x)f(x) 不存在（可能不满足定理条件①②）
- 洛必达法则是充分而非必要的
推论
- 在定理的条件中 x→ax \rightarrow ax→a 改为 x→∞x \rightarrow \inftyx→∞，有 lim⁡x→∞f(x)g(x)=lim⁡x→∞f′(x)g′(x)\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}x→∞limg(x)f(x)=x→∞limg′(x)f′(x)

二、定理（∀∞/∞∞\frac{\forall}{\infty}/\frac{\infty}{\infty}∞∀/∞∞型）

定理内容
- (1) lim⁡x→ag(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)=\inftyx→alimg(x)=∞
  
  (2) f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在 aaa 的邻域可导，且 g′(x)≠0g^{\prime}(x) \neq 0g′(x)=0
  
  (3) lim⁡x→af′(x)g′(x)=A(A\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A(Ax→alimg′(x)f′(x)=A(A 可以为 ∞)\infty)∞)
- ⇒lim⁡x→af(x)g(x)=A\Rightarrow \quad \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A⇒x→alimg(x)f(x)=A
说明
- x→a+x \rightarrow a^+x→a+（或 a−a^-a−，∞\infty∞等）法则仍适用
- 其它型极限（0⋅∞,∞±∞,00,1∞,∞00 \cdot \infty, \infty \pm \infty, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0}0⋅∞,∞±∞,00,1∞,∞0 等型）化为 00\frac{0}{0}00 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ 处理
- 对数列极限用海涅定理
- 先用等价变化、变量代换、四则运算、恒等变形等化简，再用法则
- 已知极限求参数时慎用，因为法则充分而非必要，所以会缩小参数范围

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