高等数学笔记-乐经良老师

第九章重积分

第一节二重积分的概念和性质

一、典型例子

01 平面薄板的质量

平面薄板位于 x y xy xy 平面区域 D D D，其面密度为 μ ( x , y ) μ(x,y) μ(x,y) 如何求其质量？

类似一元的处理方法，采用：

(1) 分割

将 D D D 任意划分成 n n n 个小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n , Δ D i \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}, \Delta D_{i} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn,ΔDi 的面积记为 Δ σ i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \Delta \sigma_{i},(i=1,2, \cdots, n) Δσi,(i=1,2,⋯,n)

(2) 作和

在小区域分得很小时，近似认为质量均匀，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi,ηi)∈ΔDi，薄板的质量近似地表达为
m = ∑ i = 1 n Δ m i ≈ ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\sum_{i=1}^{n} \Delta m_{i} \approx \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=i=1∑nΔmi≈i=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi
(3) 取极限

记 λ = max ⁡ 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax{di}，( d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径 ) 那么若
m = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=λ→0limi=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi
存在，就给出了薄板的质量。

02 曲顶柱体的体积

柱体的侧面是母线垂直 x y x y xy 平面的柱面，顶面为曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y)，

底面是 x y x y xy 平面上区域 D D D，如何求此曲顶柱体的体积？

(1) 分割

用曲线将 D D D 分成小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn，而 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的面积记为 Δ σ i \Delta \sigma_{i} Δσi

(2) 求和

区域分得很小时，用柱体来近似小曲顶柱体的体积，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi,ηi)∈ΔDi，则总体积近似为
∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
(3) 取极限

记 λ = max ⁡ 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax{di}，( d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径 ) 则体积 V V V 由如下极限给出
V = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} V=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念，这类问题要计算在一个平面区域上分布率不均匀的量的总量。

二、二重积分定义

01 二重积分的定义

设 D D D 是 x y x y xy 平面的有界闭区域，函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 定义， I I I 为实数，

若将 D D D 任意划分成个小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn，

任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i},(i=1,2, \cdots, n) (ξi,ηi)∈ΔDi,(i=1,2,⋯,n)，作和
∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i ( Δ σ i 表示 Δ D i 的面积 ) \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} \quad\left(\Delta \sigma_{i}\right. 表示 \Delta D_{i} 的面积 ) i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi(Δσi表示ΔDi的面积)
总有
lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = I \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=I
( 其中 λ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤i≤nmax{di}， d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径 )

则称函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 上可积， I I I 称为 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 的二重积分，记为 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ .

其中， ∬ − \iint- ∬− 积分号， D − D- D− 积分区域， f ( x , y ) − f(x, y)- f(x,y)−被积函数， d σ − d \sigma- dσ−面积元素。

02 二重积分的几何意义

以区域 D D D 为底，以曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

03 可积的充分条件

若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在有界区域 D D D 上分片连续有界，则 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可积。

三、二重积分的性质

设以下性质中出现的积分均存在

性质1 (线性) ：若 α , β \alpha, \beta α,β 是常数，
∬ D ( α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ) d σ = α ∬ D f ( x , y ) d σ + β ∬ D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D}(\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) d \sigma=\alpha \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma+\beta \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬(αf(x,y)+βg(x,y))dσ=αD∬f(x,y)dσ+βD∬g(x,y)dσ
性质2 (可加性) ：若积分区域 D D D 分成 D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1,D2 两个子区域，
∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint \limits_{D_{2}} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ=D1∬f(x,y)dσ+D2∬f(x,y)dσ
性质3：
∬ D 1 d σ = A D ( D 的面积 ) \iint \limits_{D} 1 d \sigma=A_{D} \quad(D\ 的面积) D∬1dσ=AD(D 的面积)
性质4 (单调性) ：若 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x, y) \leq g(x, y) f(x,y)≤g(x,y)，则
∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leq \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ≤D∬g(x,y)dσ
性质4的推论：
( 1 ) 若 f ( x , y ) ≥ 0 , 则 ∬ D f ( x , y ) d σ ≥ 0 ( 2 ) ∣ ∬ D f ( x , y ) d σ ∣ ≤ ∬ D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ ( 三角不等式的推广 ) ( 3 ) 若 m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 则 m A D ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M A D \begin{aligned} & (1)\ \ 若 f(x, y) \geq 0, 则 \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \geq 0\\ & (2)\ \ \left|\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma\right| \leq \iint \limits_{D}|f(x, y)| d \sigma \ \ \ (三角不等式的推广) \\ & (3)\ \ 若 m \leq f(x, y) \leq M, 则\ m A_{D} \leq \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leq M A_{D} \end{aligned} (1) 若f(x,y)≥0,则D∬f(x,y)dσ≥0(2) ∣∣∣∣∣∣D∬f(x,y)dσ∣∣∣∣∣∣≤D∬∣f(x,y)∣dσ (三角不等式的推广)(3) 若m≤f(x,y)≤M,则 mAD≤D∬f(x,y)dσ≤MAD
性质5 (中值定理) ：若 D D D 是有界闭区域， f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，则存在 ( ξ , η ) ∈ D (\xi, \eta) \in D (ξ,η)∈D，
∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) A D \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A_{D} D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)AD
对应一元函数定积分中的平均值定理（积分第一中值定理）

第二节二重积分的计算

一、直角坐标系下的计算

01 x x x 型正则区域

设区域 D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) } D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x)\right\} D={(x,y)∣a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}

二重积分 ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y D∬f(x,y)dxdy ( d σ = d x d y ) (d \sigma=d x d y) (dσ=dxdy) 的值

等于以 D D D 为底，以曲面 S S S : z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。

利用定积分来求体积考虑垂直 x x x 轴过 x x x 处的平面截曲顶柱体所得截面积 A ( x ) A(x) A(x)

截面曲边梯形的面积 A ( x ) A(x) A(x)
A ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \mathrm{A}(x)=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y A(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
可得曲顶柱体的体积
V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x V=\int_{a}^{b} \mathrm{~A}(x) d x=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x V=∫ab A(x)dx=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx
导出
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x D∬f(x,y)dxdy=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx
写成
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y D∬f(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy

02 y y y 型正则区域

若积分区域
D = { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) , c ≤ y ≤ d } D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y), c \leq y \leq d\right\} D={(x,y)∣ψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d}
则有
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x D∬f(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
小总结

对于一般区域的二重积分可将其分成若干个正则子区域，
利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和。

当积分区域关于 x x x 轴或 y y y 轴对称时，注意被积函数是否有奇偶性，从而使积分简化。

对称性非常重要！

二、极坐标系下的计算公式

当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算

我们来考虑面积元素 Δ σ \Delta \sigma Δσ 在极坐标下的形式

用 r r r 为常数所表示的圆周族和 θ \theta θ 为常数所表示的射线族分割区域 D D D，那么小区域面积
Δ σ = 1 2 [ ( r + Δ r ) 2 Δ θ − r 2 Δ θ ] = 1 2 [ 2 r Δ r + ( Δ r ) 2 ] Δ θ ⟹ d σ = r d r d θ \begin{aligned} &\Delta \sigma=\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-r^{2} \Delta \theta\right]=\frac{1}{2}\left[2 r \Delta r+(\Delta r)^{2}\right] \Delta \theta \\ &\Longrightarrow \quad d \sigma=r d r d \theta \end{aligned} Δσ=21[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=21[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ
从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta D∬f(x,y)dxdy=D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
若区域 D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) , α ≤ θ ≤ β } D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\} D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}

二重积分化为累次积分
∬ D f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d θ \iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta = \int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d \theta D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdθ

三、二重积分的变量代换

设变换 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) \left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right. {x=x(u,v)y=y(u,v) 有连续偏导数，且满足
J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ x u y u x v y v ∣ ≠ 0 J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} x_{u} & y_{u} \\ x_{v} & y_{v} \end{array}\right| \neq 0 J=∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuxvyuyv∣∣∣∣=0
而 f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，那么
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ∣ d u d v \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| d u d v D∬f(x,y)dxdy=D′∬f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
u v u v uv 平面小矩形 A ′ B ′ C ′ D ′ ⟶ x y A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \longrightarrow x y A′B′C′D′⟶xy 平面曲边四边形 A B C D A B C D ABCD
A ′ ( u , v ) ⟶ A ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) B ′ ( u + Δ u , v ) ⟶ B ( x ( u + Δ u , v ) , y ( u + Δ u , v ) ) C ′ ( u + Δ u , v + Δ v ) ⟶ C ( x ( u + Δ u , v + Δ v ) , y ( u + Δ u , v + Δ v ) ) D ′ ( u , v + Δ v ) ⟶ D ( x ( u , v + Δ v ) , y ( u , v + Δ v ) ) \begin{aligned} &A^{\prime}(u, v) \longrightarrow A(x(u, v), y(u, v)) \\ &B^{\prime}(u+\Delta u, v) \longrightarrow B(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v)) \\ &C^{\prime}(u+\Delta u, v+\Delta v) \longrightarrow C(x(u+\Delta u, v+\Delta v), y(u+\Delta u, v+\Delta v)) \\ &D^{\prime}(u, v+\Delta v) \longrightarrow D(x(u, v+\Delta v), y(u, v+\Delta v)) \end{aligned} A′(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))B′(u+Δu,v)⟶B(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v))C′(u+Δu,v+Δv)⟶C(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv))D′(u,v+Δv)⟶D(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv))
（此处应该有图）

A B C D ABCD ABCD 近似平行四边形，只需求出一组邻边的向量表示
A B → ≈ ( x u ( u , v ) Δ u , y u ( u , v ) Δ u ) A D → ≈ ( x v ( u , v ) Δ v , y v ( u , v ) Δ v ) ⇒ Δ σ ≈ ∣ x u ( u , v ) Δ u x v ( u , v ) Δ u y u ( u , v ) Δ v y v ( u , v ) Δ v ∣ = ∣ J ∣ Δ u Δ v d σ = ∣ J ∣ d u d v \begin{aligned} & \overrightarrow{A B}\approx\left(x_{u}(u, v) \Delta u, y_{u}(u, v) \Delta u\right) \\ & \overrightarrow{A D}\approx\left(x_{v}(u, v) \Delta v, y_{v}(u, v) \Delta v\right) \\ & \Rightarrow\\ & \Delta \sigma \approx\left|\begin{array}{ll} x_{u}(u, v) \Delta u & x_{v}(u, v) \Delta u \\ y_{u}(u, v) \Delta v & y_{v}(u, v) \Delta v \end{array}\right| =|J| \Delta u \Delta v \\ \\ & d \sigma=|J| d u d v \end{aligned} AB ≈(xu(u,v)Δu,yu(u,v)Δu)AD ≈(xv(u,v)Δv,yv(u,v)Δv)⇒Δσ≈∣∣∣∣xu(u,v)Δuyu(u,v)Δvxv(u,v)Δuyv(u,v)Δv∣∣∣∣=∣J∣ΔuΔvdσ=∣J∣dudv

第三节三重积分

一、三重积分的定义

00 引入

∭ Ω f ( x , y , z ) d V \iiint_{\Omega} f(x, y, z) d V ∭Ωf(x,y,z)dV 你能说出它的含义吗？

概念联系的问题

一个占据三维空间中区域 Q Q Q 的几何体，其密度为 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)，那么其质量为多少?

回顾定积分和二重积分的概念

求在三维区域上分布率非均匀的某种物理量 (或其它量) 的总量

分割—求和—求极限

01 定义

设 Ω \Omega Ω 是 R 3 R^{3} R3 中的有界闭区域，函数 f ( x , y , z ) f(x, y, z) f(x,y,z) 在 Ω \Omega Ω 上定义， I I I 为实数，

若将区域 Δ Ω 1 , Δ Ω 2 , ⋯ , Δ Ω n \Delta \Omega_{1}, \Delta \Omega_{2}, \cdots, \Delta \Omega_{n} ΔΩ1,ΔΩ2,⋯,ΔΩn，任取 ( ξ i , η i , ς i ) ∈ Δ Ω i \left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \in \Delta \Omega_{i} (ξi,ηi,ςi)∈ΔΩi，作和
∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ς i ) Δ V i ( Δ V i 是 Δ Ω i 的体积 ) \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \Delta V_{i}\quad(\Delta V_{i} 是 \Delta \Omega_{i} 的体积 ) i=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi(ΔVi是ΔΩi的体积)
总有
lim ⁡ i → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ς i ) Δ V i = I \lim _{i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \Delta V_{i}=I i→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi=I
( 其中 λ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { d i } , d i \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}, d_{i} λ=max1≤i≤n{di},di 是小区域 Δ Ω i \Delta \Omega_{i} ΔΩi 的直径 )

则称函数 f ( x , y , z ) f(x, y, z) f(x,y,z) 在 Ω \Omega Ω 可积， I I I 称为 f f f 在 Ω \Omega Ω 的三重积分，记为
∭ Ω f ( x , y , z ) d V ( d V − 体积元素 ) \iiint_{\Omega} f(x, y, z) d V\quad(dV-体积元素) ∭Ωf(x,y,z)dV(dV−体积元素)

02 意义

一种物理意义（三维物体的质量）

若 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 表示占有三维空间区域 Q Q Q 的物体的质量密度函数，则

∭ Ω f ( x , y , z ) d V \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V Ω∭f(x,y,z)dV 给出了物体的质量

02 性质

(1) 类似二重积分，有线性、可加性、单调性和中值定理，还有

(2) ∭ Ω 1 d V = V Ω ( Ω 的体积 ) \iiint \limits_{\Omega} 1 d V=V_{\Omega}\quad(\Omega的体积) Ω∭1dV=VΩ(Ω的体积)

二、在直角坐标系下的计算公式

直角坐标系下
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∭f(x,y,z)dxdydz

01 柱线法

设 Ω \Omega Ω 是以曲面 z = z 1 ( x , y ) \mathrm{z}=\mathrm{z}_{1}(x, y) z=z1(x,y) 为底，曲面 z = z 2 ( x , y ) \mathrm{z}=\mathrm{z}_{2}(x, y) z=z2(x,y) 为顶，

而侧面是母线平行 z z z 轴的柱面所围成的区域。

设 Ω \Omega Ω 在 x y x y xy 平面上的投影区域为 D D D ，则 Ω \Omega Ω 可表示为（ x y x y xy 型正则区域）
{ ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leq z \leq z_{2}(x, y),(x, y) \in D\right\} {(x,y,z)∣z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}
从质量角度求三重积分，则 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 为密度，对 ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D (x,y)∈D，
μ ( x , y ) = ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \mu(x, y)=\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z μ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
给出了 Ω \Omega Ω 内由 z 1 ( x , y ) z_1(x,y) z1(x,y) 到 z 2 ( x , y ) z_2(x,y) z2(x,y) 的线段上所分布的质量密度。

物体的总质量就是
∬ D ( ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y . z ) d z ) d x d y \iint \limits_{D}\left(\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y . z) d z\right) d x d y D∬(∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y.z)dz)dxdy
从而
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D d x d y ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y ⋅ z ) d z \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iint \limits_{D} d x d y \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y \cdot z) d z Ω∭f(x,y,z)dxdydz=D∬dxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y⋅z)dz

02 截面法

设区域 Ω \Omega Ω 在 z z z 轴上投影区间为 [ h 1 , h 2 ] [h_{1}, h_{2}] [h1,h2]，即 Ω \Omega Ω 介于平面 z = h 1 \mathrm{z}=h_{1} z=h1 与 z = h 2 \mathrm{z}=h_{2} z=h2 之间，

垂直 z z z 轴过 z z z 处的平面截 Ω \Omega Ω 所得截面为区域 D z D_z Dz，则（ z z z 型空间区域）
Ω = { ( x , y , z ) ∣ ( x , y ) ∈ D z , h 1 ≤ z ≤ h 2 } \Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{z}, h_{1} \leq z \leq h_{2}\right\} Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz,h1≤z≤h2}
仍从质量角度考虑，对 z ∈ [ h 1 , h 2 ] z\in[h_1,h_2] z∈[h1,h2]，二重积分
F ( z ) = ∬ D z f ( x , y , z ) d x d y F(z)=\iint \limits_{D_{z}} f(x, y, z) d x d y F(z)=Dz∬f(x,y,z)dxdy
给出了物体在截面 D z D_z Dz 上所分布的质量。物体的总质量为：
∫ z 1 z 2 ( ∬ D z f ( x , y , z ) d x d y ) d z \int_{z_{1}}^{z_{2}}\left(\iint \limits_{D_{z}} f(x, y, z) d x d y\right) d z ∫z1z2⎝⎛Dz∬f(x,y,z)dxdy⎠⎞dz
从而有：
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∫ h 1 h 2 d z ∬ D x f ( x , y , z ) d x d y \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\int_{h_{1}}^{h_{2}} d z \iint \limits_{D_{x}} f(x, y, z) d x d y Ω∭f(x,y,z)dV=∫h1h2dzDx∬f(x,y,z)dxdy

三、三重积分变量代换

与二重积分的变量代换类似，

设变换 { x = x ( u , v , w ) y = y ( u , v , w ) z = z ( u , v , w ) \left\{\begin{array}{l} x=x(u, v, w) \\ y=y(u, v, w) \\ z=z(u, v, w) \end{array}\right. ⎩⎨⎧x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w) 有连续偏导数，且满足
J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = ∣ x u y u z u x v y v z v x w y w z w ∣ ≠ 0 J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\left|\begin{array}{lll} x_{u} & y_{u} & z_{u} \\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \\ x_{w} & y_{w} & z_{w} \end{array}\right| \neq 0 J=∂(u,v,w)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣xuxvxwyuyvywzuzvzw∣∣∣∣∣∣=0
而 f ( x , y , x ) ∈ C ( Ω ) f(x,y,x)\in C(\Omega) f(x,y,x)∈C(Ω)，那么
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z ( u , v , w ) ) ∣ J ∣ d u d v d w \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iiint \limits_{\Omega} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J| d u d v d w Ω∭f(x,y,z)dxdydz=Ω∭f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣dudvdw

01 柱面坐标系下的三重积分

这个坐标系实际上就是 x y xy xy 坐标转变为极坐标，即变换公式为 { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z \left\{\begin{array}{c}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right. ⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθz=z

由于
∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ∣ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 − r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 ∣ = r \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r ∂(r,θ,z)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣cosθ−rsinθ0sinθrcosθ0001∣∣∣∣∣∣=r
得到柱坐标积分公式
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∭ Ω f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z ) r d r d θ d z \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∭f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 D D D ( 或 D z D_z Dz ) 的二重积分，再转化为极坐标。

02 球面坐标系下的三重积分

设点 M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z) 是空间一点，引进球坐标 ( ρ , φ , θ ) (\rho, \varphi, \theta) (ρ,φ,θ)

ρ = ∥ O M → ∥ \rho=\|\overrightarrow{O M}\| ρ=∥OM ∥， φ : O M → \varphi: \overrightarrow{O M} φ:OM 与z轴正向的夹角， θ : O P → \theta: \overrightarrow{O P} θ:OP 与 x x x 轴正向的夹角，

且 ρ \rho ρ， φ \varphi φ， θ \theta θ 满足
0 ≤ ρ ≤ + ∞ , 0 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2 π 或 − π ≤ θ ≤ π 0 \leq \rho \leq+\infty\ \ ,\ \ 0 \leq \varphi \leq \pi\ \ ,\ \ 0 \leq \theta \leq 2 \pi\ 或-\pi\leq\theta\leq\pi 0≤ρ≤+∞ , 0≤φ≤π , 0≤θ≤2π 或−π≤θ≤π
坐标变换关系式 ⟹ { x = ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ z = ρ cos ⁡ φ \quad\Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{c} x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}\right. ⟹ ⎩⎨⎧x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφ

由于雅可比行列式
∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ∣ sin ⁡ φ cos ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ cos ⁡ φ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ sin ⁡ θ − ρ sin ⁡ φ − ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ 0 ∣ = ρ 2 sin ⁡ φ \begin{aligned} \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} &=\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \\ \rho \cos \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & -\rho \sin \varphi \\ -\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & 0 \end{array}\right| =\rho^{2} \sin \varphi \end{aligned} ∂(ρ,φ,θ)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣sinφcosθρcosφcosθ−ρsinφsinθsinφsinθρcosφsinθρsinφcosθcosφ−ρsinφ0∣∣∣∣∣∣=ρ2sinφ
导出
∭ Ω f ( x , y , z ) d V = ∭ Ω ∗ f ( ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ , ρ cos ⁡ φ ) ρ 2 sin ⁡ φ d ρ d φ d θ \begin{aligned} & \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V =\iiint \limits_{\Omega^{*}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \end{aligned} Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∗∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ
使用球坐标时，

ρ = \rho= ρ= 常数:球面， φ = \varphi= φ= 常数: 锥面， θ = \theta= θ= 常数: 平面，

且球面和锥面的中心在原点，平面过 z z z 轴。

注意，围成区域的部分曲面有上述特点，或被积函数含 x 2 + y 2 + z 2 x^{2}+y^{2}+z^{2} x2+y2+z2，可考虑用球坐标

第四节重积分的应用

一、曲面面积

设空间曲面 S S S 为 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)， ( x , y ) (x,y) (x,y) 定义于 D D D，即曲面 S S S 在 x y xy xy 平面的投影区域为 D D D，如何求 S S S 的面积？

用分割求和（微元法）的思想将 D D D 分割成小区域，对应 D D D 上小区域面积 Δ σ = Δ x Δ y \Delta \sigma=\Delta x \Delta y Δσ=ΔxΔy ， S S S 上的小曲面面积为 Δ S \Delta S ΔS，当小区域微小时， Δ S ∣ cos ⁡ φ ∣ ≈ Δ σ \Delta S|\cos \varphi| \approx \Delta \sigma ΔS∣cosφ∣≈Δσ，其中 φ \varphi φ 是 Δ S \Delta S ΔS 所在平面与 x y xy xy 平面夹角。

φ \varphi φ 是 Δ S \Delta S ΔS 上的法向量与 z z z 方向的夹角，这两个方向向量分别为 { z x , z y , − 1 } , { 0 , 0 , 1 } \left\{z_{x}, z_{y},-1\right\},\{0,0,1\} {zx,zy,−1},{0,0,1}

导出
∣ cos ⁡ φ ∣ = 1 1 + z x 2 + z y 2 |\cos \varphi|=\frac{1}{\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}} ∣cosφ∣=1+zx2+zy2 1
因此得到曲面面积的有关公式
d S = 1 + z x 2 + z y 2 d x d y ( 曲面面积元素 ) S = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d x d y \begin{aligned} &d S=\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} d x d y \ \ \ (曲面面积元素)\\ &S=\iint \limits_{D} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} d x d y \end{aligned} dS=1+zx2+zy2 dxdy (曲面面积元素)S=D∬1+zx2+zy2 dxdy

二、重积分的物理应用举例

01 质心

物体的质心 ( 或重心 ) 与它的质量和静力矩有关。

设面密度为 μ ( x , y ) \mu(x, y) μ(x,y) 薄板占据平面区域 D D D

考虑 D D D 上面积元素 d x d y d x d y dxdy 其质量为 μ ( x , y ) d x d y \mu(x, y) d x d y μ(x,y)dxdy，

从而对 y y y 轴的静力矩为 d M y = x μ ( x , y ) d x d y d M_{y}=x \mu(x, y) d x d y dMy=xμ(x,y)dxdy

质量 m m m 和静力矩 M y M_{y} My 为： m = ∬ D μ ( x , y ) d σ m=\iint \limits_{D} \mu(x, y) d \sigma m=D∬μ(x,y)dσ， M y = ∬ D x μ ( x , y ) d σ M_{y}=\iint \limits_{D} x \mu(x, y) d \sigma My=D∬xμ(x,y)dσ

同样，对 x x x 轴电静力矩 M x = ∬ D y μ ( x , y ) d σ M_{x}=\iint \limits_{D} y \mu(x, y) d \sigma Mx=D∬yμ(x,y)dσ

于是薄片的质心位置 ( x ˉ , y ˉ ) (\bar{x}, \bar{y}) (xˉ,yˉ)
x ˉ = M y m = ∬ D x μ ( x , y ) d σ ∬ D μ ( x , y ) d σ , y ˉ = M x m = ∬ D y μ ( x , y ) d σ ∬ D μ ( x , y ) d σ \bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\iint \limits_{D} x \mu(x, y) d \sigma}{\iint \limits_{D} \mu(x, y) d \sigma}, \quad \bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\iint \limits_{D} y \mu(x, y) d \sigma}{\iint \limits_{D} \mu(x, y) d \sigma} xˉ=mMy=D∬μ(x,y)dσD∬xμ(x,y)dσ,yˉ=mMx=D∬μ(x,y)dσD∬yμ(x,y)dσ
注意，当 μ = 1 \mu=1 μ=1 时得到平面图形的形心

思考：对三维物体如何求质心。

02 转动惯量

转动惯量也是一种矩 ( 二次矩 )，设平面区域 D D D 上薄板的面密度为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) ，

那么面积元素 d σ d \sigma dσ 处微量物体对 y y y 轴的转动惯量
d I y = x 2 μ ( x , y ) d σ ⟹ I y = ∬ D x 2 ρ ( x , y ) d σ \begin{aligned} & d I_{y}=x^{2} \mu(x, y) d \sigma \quad \Longrightarrow \quad I_{y}=\iint \limits_{D} x^{2} \rho(x, y) d \sigma \end{aligned} dIy=x2μ(x,y)dσ⟹Iy=D∬x2ρ(x,y)dσ
问题：对 x x x 轴和对原点 O O O 的转动惯量?