【欧拉降幂公式】【欧拉函数】

一、降幂公式

AK≡AK%ϕ(m)+ϕ(m)(mod  m)A^K \equiv A^{K\%\phi(m) + \phi(m)} (\mod m)AK≡AK%ϕ(m)+ϕ(m)(modm)

其中φ(即phi)是欧拉函数其中φ(即phi)是欧拉函数其中φ(即phi)是欧拉函数

二、欧拉函数

定义：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)φ(n)φ(n) 。
性质：
1、φ(1)=1φ(1)=1φ(1)=1
2、φ(p)=p−1φ(p) = p - 1φ(p)=p−1 (对于质数p)
3、欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modna^{φ(n)} \equiv 1 mod naφ(n)≡1modn。
4、欧拉函数是积性函数：若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)（积性函数表达式）。
5、n是质数p的k次幂，有φ(n)=pk−p(k−1)=(p−1)p(k−1)φ(n)=p^k-p^{(k-1)}=(p-1)p^{(k-1)}φ(n)=pk−p(k−1)=(p−1)p(k−1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
6、设p为n的质因数
若(n % p == 0 && (n / p) % p == 0) 则有φ(n)=φ(n / p) * p；
若(n % p == 0 && (p / p) % p != 0) 则有：φ(n) = φ(n / p) * (p - 1)。

三、模板

欧拉函数
法一：

long long euler(long long x)  //直接求欧拉函数
{long long res=1;for(long long i=2;i*i<=x;++i){if(x%i==0){x/=i;res*=(i-1);while(x%i==0){x/=i;res*=i;}}}if(x>1) res*=(x-1);return res;
}

法二：

//求欧拉函数 相当于不断减去
long long phi(long long x)
{long long res=x;for(long long i=2;i*i<=x;++i){if(x%i==0){res=res-res/i;while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)res=res-res/x;return res;
}

快速幂

long long qpow(long long a,long long n,long long mod)     //快速幂
{long long ans=1;while(n){if(n&1){ans*=a;ans%=mod;}a=(a*a)%mod;n>>=1; }return ans;
}

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