2019年ICPC银川区域赛 Easy Problem（简单莫比乌斯函数 + 欧拉降幂）

Easy Problem

∑a1=1m∑a2=1m∑a3=1m⋯∑an−1m∑anm[gcd(a1,a2,a3,…,an−1,an)==d](a1,a2,a3,…,an−1,an)k=dkd∑a1=1md∑a2=1md∑a3=1md⋯∑an−1md∑anmd[gcd(a1,a2,a3,…,an−1,an)==1](a1,a2,a3,…,an−1,an)k=dkd∑i=1mdikdμ(i)∑a1=1mid∑a2=1mid∑a3=1mid⋯∑an−1=1mid∑an=1mid(∏j=1nai)k这是一个多项式=dkd∑i=1mdikdμ(i)(∑j=1midiK)n\sum_{a_1 = 1} ^{m} \sum_{a_2 = 1} ^{m} \sum_{a_3 = 1} ^{m} \dots \sum_{a_{n - 1}} ^{m}\sum_{a_n} ^{m} [gcd(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n - 1}, a_{n}) == d](a_1, a_2, a_3, \dots,a_{n - 1}, a_n) ^k\\ = d ^{kd} \sum_{a_1 = 1} ^{\frac{m}{d}} \sum_{a_2 = 1} ^{\frac{m}{d}} \sum_{a_3 = 1} ^{\frac{m}{d}} \dots \sum_{a_{n - 1}} ^{\frac{m}{d}}\sum_{a_n} ^{\frac{m}{d}} [gcd(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n - 1}, a_{n}) == 1](a_1, a_2, a_3, \dots,a_{n - 1}, a_n) ^k\\ =d ^{kd} \sum_{i = 1} ^{\frac{m}{d}}i ^{kd} \mu(i) \sum_{a_1 = 1} ^{\frac{m}{id}}\sum_{a_2 = 1} ^{\frac{m}{id}}\sum_{a_3 = 1} ^{\frac{m}{id}}\dots\sum_{a_{n - 1} = 1} ^{\frac{m}{id}}\sum_{a_{n} = 1} ^{\frac{m}{id}} (\prod_{j = 1} ^{n} a_i) ^k\\ 这是一个多项式\\ = d ^{kd} \sum_{i = 1} ^{\frac{m}{d}}i ^{kd} \mu(i) (\sum_{j = 1} ^{\frac{m}{id}}i ^K) ^n a1=1∑ma2=1∑ma3=1∑m⋯an−1∑man∑m[gcd(a1,a2,a3,…,an−1,an)==d](a1,a2,a3,…,an−1,an)k=dkda1=1∑dma2=1∑dma3=1∑dm⋯an−1∑dman∑dm[gcd(a1,a2,a3,…,an−1,an)==1](a1,a2,a3,…,an−1,an)k=dkdi=1∑dmikdμ(i)a1=1∑idma2=1∑idma3=1∑idm⋯an−1=1∑idman=1∑idm(j=1∏nai)k这是一个多项式=dkdi=1∑dmikdμ(i)(j=1∑idmiK)n

到这里这道题目就化简完成了，只需要通过简单的数列求和加欧拉降幂即可得到答案。

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;const int N = 1e5 + 10, mod = 59964251, phi = 59870352;int mu[N], prime[N], cnt;ll m, d, k, n, sum[N];bool st[N];char str[N];ll quick_pow(ll a, int n, int mod = 59964251) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}void init() {memset(st, 0, sizeof st);cnt = 0;mu[1] = 1, sum[1] = 1;for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) {mu[i] = -1;prime[cnt++] = i;sum[i] = quick_pow(i, k);}for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;sum[i * prime[j]] = sum[i] * sum[prime[j]] % mod;if(i % prime[j] == 0) break;mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}   for(int i = 1; i < N; i++) {sum[i] = (sum[i] + sum[i - 1]) % mod;}
}ll solve(ll m) {ll ans = 0;for(ll i = 1; i <= m; i++) {ans = ans + 1ll * mu[i] * quick_pow(i, k * n % phi + phi) % mod * quick_pow(sum[m / i], n + phi) % mod;}return (ans % mod + mod) % mod;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T;scanf("%d", &T);while(T--) {scanf("%s %lld %lld %lld\n", str + 1, &m, &d, &k);init();int len = strlen(str + 1);n = 0;for(int i = 1; i <= len; i++) {n = n * 10 + str[i] - '0';n %= phi;}ll ans = quick_pow(d, k * n % phi + phi) * solve(m / d) % mod;printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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