欧拉函数

在数论中，有正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.

它的通式如下:

φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)*……*(1-1/pn)

这里的p是数字n的质因数.

故此可以得到欧拉函数的求法:

int eular(int n)
{int ans = n;for(int i=2; i*i <= n; ++i){if(n%i == 0){ans = ans/i*(i-1);while(n%i == 0)n/=i;}}if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);return ans;
}

以上是打表求法.

欧拉函数的性质(phi即为欧拉函数):

1.当m,n互质时,phi(m*n)=phi(m)*phi(n);

2.i%p==0时,phi(i*p)=p*phi(i);

3.小于N且与N互质的所有数之和为phi(N)*N/2;

4.N为质数时,phi(N)=N-1

5.phi(1)=1;

根据以上的欧拉函数的性质,我们可以将它们和欧拉筛相结合:

void get_eular()
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(vis[i]==0){p[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0){phi[p[j]*i]=p[j]*phi[i];break;} phi[p[j]*i]=(p[j]-1)*phi[i];}}
}

欧拉定理

欧拉定理其实也属于欧拉函数的一个性质(证明我以后有空再补上吧qwq,贴个百度百科的图):

定义

对任意两个正整数 a, n，如果两者互质，那么 aφ(n)≡1(mod n)。

证明

费马小定理

若存在整数a,p，a为整数，p为质数，那么a(p-1)≡ 1(mod p)。

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况（当n为质数时φ(n)为n-1）

应用

逆元的定义：
对于a*b≡1(mod p)，b是a在模m下a的逆元。（只有a与p互质时存在逆元）
应用
当p为质数时由费马小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)得，逆元b为a^(p-2);
当p不是质数时则需使用欧拉定理，提前求出p的欧拉函数，逆元b为a^(φ(n)-1)。

拓展欧拉定理(欧拉降幂)

在求解 $a^{b}$ mod p时,在指数b大到我们不能用快速幂和暴力去求解时,可以考虑用欧拉降幂求解.欧拉降幂的式子是(证明先缓缓):

洛谷模板

【模板】扩展欧拉定理 - 洛谷https://www.luogu.com.cn/problem/P5091

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int eular(int x)
{int ans=x;for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)ans=ans/x*(x-1);return ans;
}
int ksm(int x,int y,int m)
{int res=1;while(y){if(y%2==1)res=res*x%m;y>>=1;x=x*x%m;}return res;
}
void solve()
{int a,m,eularm,numb=0;string b;cin>>a>>m>>b;eularm=eular(m);for(int i=0;i<b.size();i++){numb=numb*10+(b[i]-'0');if(numb>eularm){numb%=eularm;numb+=eularm;}       }if(numb>=eularm)numb+=eularm;cout<<ksm(a,numb,m);
}
signed main()
{solve();return 0;
}

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