黎曼 zeta 函数与黎曼猜想

ζ(s)\zeta (s)ζ(s), is a function of a complex variable sss that analytically continues the sum of the infinite series：
ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} ζ(s)=n=1∑∞ns1

1. 基本性质

sss 的实部如果大于 1，则级数收敛；
ζ(1)=1+12+13+⋯=∞\zeta(1)=1+\frac12+\frac13+\cdots=\inftyζ(1)=1+21+31+⋯=∞，调和级数发散；

证明方式非常经典，

ζ(1)=1+12+13+14+15+16+17+18+⋯=1+12+(13+14)+(15+16+17+18)+(19+⋯+116)+(117+⋯+132)+⋯>1+12+(14+14)+(18+18+18+18)+(116+⋯+116)+(132+⋯+132)+⋯=1+12+12+12+⋯\begin{array}{rl} \zeta(1)=&1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots\\ =&1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\left(\frac19+\cdots+\frac1{16}\right)+\left(\frac1{17}+\cdots+\frac1{32}\right)+\cdots\\ \gt&1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\left(\frac1{16}+\cdots+\frac1{16}\right)+\left(\frac1{32}+\cdots+\frac1{32}\right)+\cdots\\ =& 1+\frac12+\frac12+\frac12 + \cdots \end{array} ζ(1)==>=1+21+31+41+51+61+71+81+⋯1+21+(31+41)+(51+61+71+81)+(91+⋯+161)+(171+⋯+321)+⋯1+21+(41+41)+(81+81+81+81)+(161+⋯+161)+(321+⋯+321)+⋯1+21+21+21+⋯
ζ(2)=1+122+132+⋯=π26\zeta(2)=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6ζ(2)=1+221+321+⋯=6π2，这也是 π\piπ 近似计算的重要公式；
对于 ζ(−1)=1+2+3+⋯\zeta(-1)=1+2+3+\cdotsζ(−1)=1+2+3+⋯（全体自然数的和），欧拉证明其值为 −112-\frac1{12}−121，这样一神奇的结论怎么计算出来的呢？

已知 x(1−x)2\frac{x}{(1-x)^2}(1−x)2x 的泰勒展开：

x(1−x)2=∑n=1nxn=x+2x2+3x3+⋯\begin{array}{rl} \frac{x}{(1-x)^2}=&\sum_{n=1}nx^n\\ =&x+2x^2+3x^3+\cdots \end{array} (1−x)2x==∑n=1nxnx+2x2+3x3+⋯

考虑当 x=−1x=-1x=−1 时，上述等式可转化为：

−14=−1+2−3+4−5+6+⋯=−(1+3+5+⋯ )+(2+4+6+⋯ )=(−(1+2+3+⋯ )+(2+4+6+⋯ ))+(2+4+6+⋯ )=−(1+2+3+⋯ )+2(2+4+6+⋯ )=−(1+2+3+⋯ )+4(1+2+3+⋯ )=3∑n=1n\begin{array}{rlr} -\frac14=&-1+2-3+4-5+6+\cdots\\ =&-(1+3+5+\cdots)&+(2+4+6+\cdots)\\ =&\left(-(1+2+3+\cdots)+(2+4+6+\cdots)\right)&+(2+4+6+\cdots)\\ =&-(1+2+3+\cdots)&+2(2+4+6+\cdots)\\ =&-(1+2+3+\cdots)&+4(1+2+3+\cdots)\\ =&3\sum_{n=1}n \end{array} −41======−1+2−3+4−5+6+⋯−(1+3+5+⋯)(−(1+2+3+⋯)+(2+4+6+⋯))−(1+2+3+⋯)−(1+2+3+⋯)3∑n=1n+(2+4+6+⋯)+(2+4+6+⋯)+2(2+4+6+⋯)+4(1+2+3+⋯)

因此，ζ(−1)\zeta(-1)ζ(−1) 也即全体自然数的和 ∑n=1n=−112\sum_{n=1}n=-\frac1{12}∑n=1n=−121

2. 黎曼猜想

素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数 —— 黎曼 zeta 函数，在该函数取值为 0 的一系列特殊的点（非平凡零点）对素数分布的细致规律有着决定性的影响。

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原始PDF文件下载地址 https://pan.baidu.com/s/1geQsZxL
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黎曼 zeta 函数与黎曼猜想

1. 基本性质

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