黎曼zeta函数不需解析延拓

欧拉乘积公式

∑n=1∞1ns=∏p11−p−s\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}^{}\frac{1}{1-p^{-s}}n=1∑∞ns1=p∏1−p−s1

这是欧拉的证明，由于黎曼把 sss 推广到了复数域，欧拉乘积公式成了黎曼 ζ(s)\zeta(s)ζ(s) 函数，这一荣誉被后人让给了他。我们来看看证明过程，设sss是复数
O(s)=ζ(s)=∑n=1∞1ns=1+12s+13s+14s+15s+16s+⋯(1)O(s)=\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\cdots(1)O(s)=ζ(s)=n=1∑∞ns1=1+2s1+3s1+4s1+5s1+6s1+⋯(1)

等式两边同时乘以第二项：
12sO(s)=12s+14s+16s+18s+110s+112s+⋯(2)\frac{1}{2^{s}}O(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+\frac{1}{10^{s}}+\frac{1}{12^{s}}+\cdots(2)2s1O(s)=2s1+4s1+6s1+8s1+10s1+12s1+⋯(2)

用(1)式减(2)式：
(1−12s)O(s)=1+13s+15s+17s+19s+111s+113s+⋯(3)(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\cdots(3)(1−2s1)O(s)=1+3s1+5s1+7s1+9s1+11s1+13s1+⋯(3)

在(3)式两边同时乘以第三项：
13s(1−12s)O(s)=13s+19s+115s+121s+127s+133s+⋯(4)\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\frac{1}{27^{s}}+\frac{1}{33^{s}}+\cdots(4)3s1(1−2s1)O(s)=3s1+9s1+15s1+21s1+27s1+33s1+⋯(4)

用(3)式减(4)式：
(1−13s)(1−12s)O(s)=1+15s+17s+111s+113s+117s+119s+⋯(5)(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+\frac{1}{19^{s}}+\cdots(5)(1−3s1)(1−2s1)O(s)=1+5s1+7s1+11s1+13s1+17s1+19s1+⋯(5)

重复这一过程，就能得到：
⋯(1−111s)(1−17s)(1−15s)(1−13s)(1−12s)O(s)=1\cdots(1-\frac{1}{11^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})O(s)=1⋯(1−11s1)(1−7s1)(1−5s1)(1−3s1)(1−2s1)O(s)=1

这就是
O(s)=∑n=1∞1ns=∏p11−p−s=ζ(s)O(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=\prod_{p}^{}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta(s)O(s)=n=1∑∞ns1=p∏1−p−s1=ζ(s)

从证明过程可以看出：

(1), sss是复数也成立;
(2), 根本不需解析延拓;
(3), ζ(s)≠0,ζ(s)=0\zeta(s)\ne0 , \zeta(s)=0ζ(s)=0,ζ(s)=0 在复数域无解！

这么精妙的证明（从来就不会是长篇大论）只有前无古人后无来者的绝世天才欧拉才想得到，这一荣誉应该还给欧拉！

我们不应该说: 黎曼 ζ\zetaζ 函数解密了所有素数的集合的结构；
而是应该说: 欧拉定理（乘积公式）解密了所有素数的集合的结构.

黎曼漫不经心的一个不必要的假设蒙骗了误导了我们160160160年？!

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黎曼zeta函数详细介绍 (英文版)
原始PDF文件下载地址 https://pan.baidu.com/s/1geQsZxL
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