9月24日阿提亚爵士（Sir Atiyah）直播“证明”黎曼猜想（Riemann hypothesis）在普通人中引发了一轮数学热潮，网络上一时间涌现了很多数学八卦文章。许多人在论及该命题重要性时都指出，ζ函数的非平凡零点与素数分布有关，却未更进一步说明怎么个有关法。这个“有关”如果没有一定数学基础，把答案摆在面前也不一定能看明白。我对相关话题有一点浅显的认识，所以想谈一些比八卦文章更深入的东西，但也不想入得太深，非数学专业理工科学生能跟上就好。

我想尽量简洁地科普黎曼函数几条皮毛的皮毛的皮毛的知识，包括：

• ζ是定义在几乎全部复平面上的解析函数；
• 负偶数是ζ的零点；
• ζ的非平凡零点位于一个带状区域；
• ζ的非平凡零点与素数计数有关。

本文假设读者通晓微积分，知道复数。由于这不是数学教材或论文，很多计算过程会被跳过，定理的证明会被省略。

那么我们开始吧。

复分析提要

因为不确定是否所有学微积分的专业都要学复变函数，所以还是先提一下。

本文提到的函数除非另有说明，均为解析函数。对于复变量

C-R方程是一个极强的限制，一些很简单的函数例如Re(z), Im(z), |z| 因此都被排除出了解析函数的范围。它使得复解析函数具有许多漂亮的性质，譬如：

• 若函数
  在开区域
  内解析，在其闭包
  连续，那么
  在
  内无限可微，在
  内任意点
  附近总有幂级数展开，且收敛半径大于0. 在点
  处的各阶导数值为(
  为区域边界)

• 如果函数
  在
  内没有极点，那么
• 整函数（在整个复平面解析的函数）
  如果不是常函数，其值域与复数域至多相差一个元素。例如多项式函数遍历复数域，指数函数遍历
  .更进一步，如果整函数
  还不是多项式，则除去一个可能存在的例外，对于值域中的每一点A，方程
  都有无穷多个解；A为例外点时方程无解或只有有限个解。

我们说点

再介绍一个在复分析中极为重要的概念，解析延拓。假设解析函数

这看上去平平无奇，即便在实函数情形下也很显然。区别在于，实函数的解析延拓有无穷多种方式，而复函数的延拓方式是唯一的（证略）

举个例子，

然而如果将

现在考虑如下两个函数

全体自然数的发散级数和等于负十二分之一代表了什么？隐藏了一个天大的秘密吗？​www.zhihu.com

当我们研究一个复解析函数时，如果它的定义域未铺满全平面，一个很自然的想法是寻找它的最大解析延拓。

用无穷级数定义黎曼的Zeta函数

定义：

复分析中有条结论说如果

现在看它的零点，当自变量为实数时显然

由于每一点的模长都大于0，因此该函数没有零点。

Zeta的最大可延拓区域

看到上一节的结论，有的读者可能就要拍桌子了

那么多大数学家在找它的零点，你居然说不存在，这不扯吗。我就是没看明白你的过程也敢说肯定有哪里错了，毕竟大神们不可能集体犯错吧？

大神们当然没错，我也没错，因为上一节只得到函数在

看到这个积分限，也许又有人不满了

积分上下限相同，这摆明了是0嘛！

当然没那么简单，实际的积分路径由三部分组成：

1.从正无穷沿着正实轴到一个很小的正数

2.以原点为圆心，逆时针旋转一圈

3.从

最后还要取极限

被积函数在

这个积分在

利用两条性质：

现在考察自变量趋近于1时的渐进行为，以确定这是它的几级极点。在

Zeta的平凡零点

先介绍伯努利数（Bernoulli numbers），将以下函数作泰勒展开（Talor expansion）

展开系数被称为伯努利数（不同文献中对伯努利数的定义略有区别），它们都是有理数。由于

令

一些脍炙人口的结论，例如

之前说了，奇伯努利数几乎全为0，所以当

顺便一提，欧拉在研究zeta函数时，对于正偶数情形得到了

https://www.bilibili.com/video/av20400157/​www.bilibili.com

我尤其喜欢这句话“如果你看到

非平凡零点关于1/2对称

下文开头抛了一个“众所周知”的方程，我本来还想证一下，但既然大家都知道，那就直接拿来用好了。

罗旻杰：积分变换和 Riemann zeta 函数的函数方程​zhuanlan.zhihu.com

用

利用前述

定义新的函数

由于

1896年阿达玛（Hadamard）和普桑（Poussin）各自独立证明边界上没有零点，去掉边界之后的区域现在被人们称作临界带。

zeta函数与素数计数的关系

说了这么多，黎曼研究这个函数他到底是想干嘛？黎曼的研究写在了他的8页论文《On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude》，他的目的是了解素数的分布规律，具体说是要得到素数计数函数。

现在起要加快车速，只摆结果了，因为涉及到的每一个方程，证明过程都只是单纯往死了算。

引入莫比乌斯函数（Möbius function），定义域为

这样有

引入阶跃函数J(x)，定义域为[0,+∞]

J(0)=0;若x不是某个素数的幂，那么在x的足够小邻域内J为常数；若x为某个素数的n次幂，则在此处有幅度为1/n的跳变，即对任意的0<a<1, J(x+a)-J(x-a)=1/n, J(x)-J(x-a)=1/2n.

把前几段显式表达出来为

看得出来这东西并不好算，假如我们想知道J(100)的值，要把100以内的所有素数和它们的幂都找出来，然后累加。打开素数表，可以数出来幅度为1的跳变数（即100以内的素数个数）为25；幅度为1/2的跳变次数为4（4、9、25、49）；幅度为1/3、1/4的跳变次数为2（8、27、16、81）；幅度为1/5、1/6的跳变次数为1（32、64）。

素数计数函数，这个函数用的字母和圆周率相同，是历史遗留的习惯

黎曼放话说

快完了，到最后一个定义了

这东西怎么延拓我也不管了，总之黎曼经过一通骚操作之后得到了他在著名的8页文里的结论

他要的其实就是这个公式。这一坨东西里头第一项最重要，积分要比挨个找素数幂容易多了，后面的都是误差修正项。右边末项就是个常数ln(1/2)；第三项衰减得比

在x不是特别大的时候没多大影响。这便是zeta函数零点和素数计数的关系。

黎曼写那篇文章的目的是为了得到计数函数的估计值，在他之前

结尾

有个很重要的问题还没说，零点实部是否全是1/2（即黎曼猜想）我提都没提，黎叔的猜想究竟和哪些重要的命题有怎样的联系也没讲。原因很简单，我也不知道233333但是一点不说也不好，所以我就从维基百科搬运一点。

• 如果用
  估计
  ，从上节的表中看到仿佛总有
  ，这在
  是肯定成立的。虽然人们还没找到令不等号反向的例子，但可以证明对任意正数M，总存在x、y>M使得

由此可知，函数

• 误差
  , 其中
  是零点实部的上确界,显然
  .
  是很糟糕的情况，毕竟
  ，误差变得比天然的上界还要大。然而目前为止，人们对
  的估计仍停留在这个闭区间。
• 如果假设黎曼猜想成立，那么可以得到当x>2657时，
  ，相对误差随着x增大会趋于0.

数学专业的哪里用得着看本文学知识，非数学专业的如果一路看下来还很兴奋，那接着看文献好了，毕竟推导更严格内容更深。如果你能把本文跟下来而且没天才到一眼看穿所有算式，我想你对这些数学问题的难度有多大又会有新的认识。原来读科普、数学史甚至营销号蹭热点的八卦文可能是站在海平面看珠峰，就看见老远有个坡；现在可能往高处走了几步，还没能看到半山腰。至于云层之上有多高多难爬，其实仍然没有感觉。

我是学物理的，这东西只是本科在学统计力学时闲得蛋疼看着玩的。本来好多年没管了，但阿提亚前几天又搞了个大新闻，各路科普我又感觉太浅，那趁此机会把我知道的总结下吧。这么naive的内容，本来想发企鹅空间，但辣鸡企鹅敲不了公式，于是只能（冒着随时被数学大佬公开处刑的风险）放到公开场合。解析数论对我来说太过艰深，兴趣不大，实际上我对几何更感兴趣。陈省身有言：复流形的美怎么描述都不为过。我觉得，如果能理解这句话，体会到他的感受，此生无憾。

ps:等真吃到碗里的鬼知道我会不会又瞄着锅里，TMD，这无涯的学海真操蛋！