正交矩阵

若方阵M是正交的，则当且仅当M与它的转置MTM^TMT的乘积等于单位矩阵。见下列公式：
M正交⟺MMT=IM正交\iff MM^T=IM正交⟺MMT=I

如何检测矩阵的正交性：
矩阵乘以它的逆等于单位矩阵：MM−1=IMM^{-1}=IMM−1=I

所以，如果一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆。即：M正交⟺M−1=MTM正交\iff M^{-1}=M^TM正交⟺M−1=MT

这是一条非常有用的性质，如果知道矩阵是正交的，那么可以避免计算矩阵的逆，这也大大减少计算量。

重要性质

如果一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：

矩阵的每一行都是单位向量
矩阵的所有行互相垂直

矩阵正交化

有时可能会遇到略微违反了正交性的矩阵。例如，可能从外部得到了坏数据，或者是浮点数运算的累积错误（称作“矩阵爬行”）。这些情况下，需要做矩阵正交化，得到一个正交矩阵，这个矩阵要尽可能的和原矩阵相同。
构造一组正交基向量（矩阵的行）的标准算法是施密特正交化。它的基本思想是，对每一行，从中减去它平行于已处理过的行的部分，最后得到垂直向量。
以3X3矩阵为例，用r1,r2,r3r_1,r_2,r_3r1,r2,r3代表3X3阶矩阵的行。正交向量组r1′,r2′,r3′r'_1,r'_2,r'_3r1′,r2′,r3′的计算：
r1′⟸r1r'_1 \impliedby r_1r1′⟸r1
r2′⟸r2−r2r1′r1′r1′r1′r'_2 \impliedby r_2- \dfrac {r_2r'_1}{r'_1r'_1} r'_1r2′⟸r2−r1′r1′r2r1′r1′
r3′⟸r3−r3r1′r1′r1′r1′−r3r2′r2′r2′r2′r'_3 \impliedby r_3- \dfrac {r_3r'_1}{r'_1r'_1} r'_1-\dfrac {r_3r'_2}{r'_2r'_2} r'_2r3′⟸r3−r1′r1′r3r1′r1′−r2′r2′r3r2′r2′

现在r1′,r2′,r3′r'_1,r'_2,r'_3r1′,r2′,r3′互相垂直了，它们是一组正交基。当然，它们不一定是单位向量。构造正交矩阵需要使用标准正交基，所以必须标准化这些向量。注意，如果一开始就进行标准化，就能避免所有除法了。

3D数学基础：正交矩阵相关推荐

3d数学基础:图形和游戏开发(第2版)_游戏引擎编程需要哪些基本数学知识?
现今,想要从头写一个功能强大的3D引擎,个人的力量恐怕难以胜任,即使能力足够,时间恐怕也不允许.在这个美好的开源时代,你只需具备修改各种引擎的能力便足以满足开发游戏的各项需求.现代游戏引擎的复杂级别已 ...
3D数学基础——矩阵、欧拉角和四元数的相互转换与比较
矩阵.欧拉角和四元数的相互转换与比较相互转换这里只展示最终的转换结果,推导过程请参考<3D数学基础:图形与游戏开发> 欧拉角转换到矩阵欧拉角描述了一个旋转序列,分别计算出给每个旋转的 ...
《3D数学基础》1.8 混合积
理解数学,理解代码! 大家好,我是老G! 今天为大家带来<3D数学基础>系列视频. 主要讲解:游戏开发中用到的3D数学知识,包括:定义,定理,推论. 也包括他们的推导过程,以及应用举例. ...
《3D数学基础》系列视频 1.5 向量的夹角
理解数学,理解代码! 大家好,我是老G! 今天为大家带来<3D数学基础>系列视频. 主要讲解:游戏开发中用到的3D数学知识,包括:定义,定理,推论. 也包括他们的推导过程,以及应用举例. ...
《3D数学基础系列视频》1.1向量基本概念
今天带来的是系列最新视频,关于向量的内容本次视频,主要讲解一下向量的基本概念. 国内网盘: http://pan.baidu.com/s/1c0ldm5U 苹果iTunes U注册代码: 1班:EF ...
3d数学基础学习总结
3d数学基础目录第1章简介 1.1 什么是3D数学 1.2 为什么选择本书 1.3 阅读本书需要的基础知识 1.4 概览第2章笛卡尔坐标系统 2.1 1D数学 2.2 2D笛卡尔数学 2.3 ...
《3D数学基础》实践1 向量类代码分析
理解数学,理解代码! 大家好,我是老G! 今天为大家带来<3D数学基础>系列视频. 主要讲解:游戏开发中用到的3D数学知识,包括:定义,定理,推论. 也包括他们的推导过程,以及应用举例. ...
3D Math Primer for Graphics and Game Development -- 图形与游戏开发（3D数学基础） (简介)...
3D Math Primer for Graphics and Game Development //z 2014-04-28 13:18:20 L.247'38500 BG57IV3@XCL T20 ...
3D数学基础——Rotator类的C++实现
Rotator类的C++实现 FRotator类用来以欧拉角形式保存方位,使用pitch-yaw-roll进行约定,类的定义如下: #pragma once #include "FVecto ...
3D数学基础及坐标系统
using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.T ...

3D数学基础：正交矩阵

正交矩阵

重要性质

矩阵正交化

3D数学基础：正交矩阵相关推荐

最新文章

热门文章