文章目录

1. 行列式
2. 矩阵
- 2.1 矩阵的运算
- 2.2 矩阵的秩
- 2.3 矩阵的变换
- 2.4 线性方程组的多解
3. 向量
- 3.1 线性相关
- 3.2 最大无关组和向量组的秩
- 3.3 线性方程组解的结构
- 3.4 向量空间
4. 相似矩阵与二次型
- 4.1 正交矩阵
- 4.2 正交矩阵和正交变换
- 4.3 方阵的特征值与特征向量
- 4.3 正定矩阵与相似矩阵
- 4.4 对称矩阵的对角化
- 4.6 二次型及其他标准型

参考资料：
线性代数知识汇总
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1. 行列式

2. 矩阵

2.1 矩阵的运算

矩阵与矩阵相乘：满足结合率和分配律，但不满足交换律，即AB≠BA;AB \neq BA;AB=BA;
数乘矩阵
转置矩阵：
①(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
②(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
③(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T(λA)T=λAT
③如果满足A=ATA=A^TA=AT，则A称为对称矩阵。
矩阵的行列式：
①∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣
②∣λA∣=λnA|\lambda A|=\lambda^n A∣λA∣=λnA
伴随矩阵：行列式|A|各个元素的代数余子式构成的矩阵。
①A∗A=AA∗=∣A∣EA^*A=AA^*=|A|EA∗A=AA∗=∣A∣E
可逆矩阵（非奇异矩阵）
①若∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗
推论：若∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1
推论：若∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则A∗=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n−1;A^*=||A|A^{-1}|=|A|^{n-1};A∗=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n−1;
②若方阵A可逆，则∣A∣≠0;|A| \neq 0;∣A∣=0;
③(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
④(λA)T=1λAT(\lambda A)^T=\frac{1}{\lambda} A^T(λA)T=λ1AT

2.2 矩阵的秩

K阶子式：在矩阵A中任取k行k列，获得位于行列交叉处的k2k^2k2个元素。在不改变它们的位置次序得到的k阶行列式。
①m×nm \times nm×n矩阵A的k阶子式有CmkCnkC_m^k C_n^kCmkCnk个。
秩：假设矩阵A有一个不为零的r阶子式D，而A的所有r+1阶子式全为0.称数r为矩阵A的秩。
①矩阵A的秩是A中非零子式的最高阶数。
②R(A)=R(AT)R(A)=R(A^T)R(A)=R(AT)
③若矩阵A, B等价，则R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)
满秩矩阵：当∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0时，R(A)=nR(A)=nR(A)=n。A为可逆矩阵，也是满秩矩阵。

2.3 矩阵的变换

矩阵的初等变换
矩阵间的等价关系
①矩阵A与矩阵B等价，记作A∼BA \sim BA∼B，即A通过有限次初等变换可以转换为B。
行阶梯形矩阵
行阶最简矩阵
标准型矩阵

2.4 线性方程组的多解

对于n元线性方程组Ax=bAx=bAx=b：

若R(A)<R(A,B)↔R(A) < R(A,B) \leftrightarrowR(A)<R(A,B)↔方程无解。
若R(A)=R(A,B)=n↔R(A)=R(A,B)=n\leftrightarrowR(A)=R(A,B)=n↔方程有唯一解。
若R(A)=R(A,B)<n↔R(A)=R(A,B)<n\leftrightarrowR(A)=R(A,B)<n↔方程有无数解。

3. 向量

向量组：若干同维数的列向量（行向量）所组成的集合。

3.1 线性相关

线性组合
线性表示
向量组的线性相关性：

3.2 最大无关组和向量组的秩

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足：
①向量组A0：a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar线性无关。
②向量组A中任意r+1个向量都线性相关。

最大线性无关向量组：向量组A0A_0A0是一个最大线性无关向量组。
①向量组A和它的最大无关组A0A_0A0是等价的。
向量组的秩：最大无关向量组所含向量的个数。

3.3 线性方程组解的结构

线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系。

解向量：由线性方程组的解组成的向量。
基础解系：称满足如下条件的解向量是齐次线性方程组的一个基础解系。
①解向量是线性无关的。
②方程的任意一个解都可以表示为解向量的线性组合。

3.4 向量空间

封闭：集合中任意两个元素做某一运算得到的结果仍属于该集合。
向量空间：非空集合V对加法和减法两种运算封闭。
子空间：非空子集合V1对加法和减法两种运算封闭。
向量空间的基：有向量空间V，从V中选出r个向量满足：
①r个向量线性无关。
②V中任意一个向量能有这r个向量表示。
则r是向量空间V的维数，并且V为r维向量空间。

4. 相似矩阵与二次型

（1）基本概念

向量的内积

4.1 正交矩阵

向量的正交性：当[x,y]等于0时，向量x和y正交。
①θ=arccos⁡[x,y]∣x∣∣y∣\theta = \arccos \frac{[x,y]}{|x||y|}θ=arccos∣x∣∣y∣[x,y]
②若x=0，则x与任何向量都正交。
正交向量组：两两正交的非零向量组成的向量组。
①组成正交向量组的向量线性无关。
规范正交基

4.2 正交矩阵和正交变换

正交矩阵：如果矩阵A满足AAT=EAA^T=EAAT=E，则矩阵A为正交矩阵。
正交变换：若P是正交阵，则线性变换y=Pxy=Pxy=Px称为正交变换。
①正交变换后，线段的长度保持不变。

4.3 方阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量：如果A是n阶矩阵，数λ\lambdaλ和n维非零向量x满足：Ax=λxAx=\lambda xAx=λx，则λ\lambdaλ是A的特征值，x是A的特征向量。
特征方程：∣A−λE∣=0;|A-\lambda E|=0;∣A−λE∣=0;
特征多项式：∣A−λE∣;|A-\lambda E|;∣A−λE∣;
性质：设A的特征值为λ1,⋯,λn\lambda_1,\cdots,\lambda_nλ1,⋯,λn，则
①λ1+⋯+λn=a11+⋯+ann;\lambda_1+\cdots+\lambda_n=a_{11}+\cdots+a_{nn};λ1+⋯+λn=a11+⋯+ann;
②λ1⋯λn=∣A∣;\lambda_1\cdots\lambda_n=|A|;λ1⋯λn=∣A∣;

4.3 正定矩阵与相似矩阵

半正定矩阵：当且仅当它的每个特征值大于等于零。
正定矩阵：当且仅当它的每个特征值都大于零。
相似矩阵：B是A的相似矩阵，当有可逆矩阵P满足P−1AP=B;P^{-1}AP=B;P−1AP=B;
①若A, B相似，则A和B的特征值和特征多项式相同。

4.4 对称矩阵的对角化

可对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。
①如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似。

4.6 二次型及其他标准型

二次型：
二次型的矩阵
二次型f的秩：二次型的矩阵A的秩。
合同矩阵：矩阵A和B合同，当有可逆矩阵C满足CTAC=BC^TAC=BCTAC=B.
①二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵，且秩不变。
②R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)

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