第一型曲线和曲面积分总结

第一型曲线积分

参数方程表达x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),y=y(t),z=z(t)

dl=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dtdl=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt dl=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt

特殊参数方程：
- 极坐标
x=r(t)cos⁡θ(t),y=r(t)sin⁡θ(t)dl=(dr)2+(rdθ)2=r′2+r2θ′2dtx=r(t)\cos \theta(t),y=r(t)\sin \theta(t)\\ dl=\sqrt{(dr)^2+(rd\theta)^2}\\ =\sqrt{r'^2+r^2\theta'^2}dt x=r(t)cosθ(t),y=r(t)sinθ(t)dl=(dr)2+(rdθ)2=r′2+r2θ′2dt
- 柱坐标
x=r(t)cos⁡θ(t)y=r(t)sin⁡θ(t)z=z(t)dl=(dr)2+(rdθ)2+(dz)2x=r(t)\cos \theta(t)\\ y=r(t)\sin \theta(t)\\ z=z(t)\\ dl=\sqrt{(dr)^2+(rd\theta)^2+(dz)^2} x=r(t)cosθ(t)y=r(t)sinθ(t)z=z(t)dl=(dr)2+(rdθ)2+(dz)2
- 球坐标
x=r(t)sin⁡θ(t)cos⁡φ(t)y=r(t)sin⁡θ(t)sin⁡φ(t)z=r(t)cos⁡θ(t)dl=(dr)2+(rsin⁡θdφ)2+(rdθ)2x=r(t)\sin \theta(t)\cos \varphi(t)\\ y=r(t)\sin \theta(t)\sin \varphi(t)\\ z=r(t)\cos \theta(t)\\ dl=\sqrt{(dr)^2+(r\sin \theta d\varphi)^2+(rd\theta)^2} x=r(t)sinθ(t)cosφ(t)y=r(t)sinθ(t)sinφ(t)z=r(t)cosθ(t)dl=(dr)2+(rsinθdφ)2+(rdθ)2
- 上式的计算方法：
(xyz)=(rsin⁡θcos⁡φrsin⁡θsin⁡φrcos⁡θ)分别对r,φ,θ求导得(sin⁡θcos⁡φsin⁡θsin⁡φcos⁡θ),(rsin⁡θ⋅(−sin⁡φ)rsin⁡θcos⁡φ0),(rcos⁡θcos⁡φrcos⁡θsin⁡φ−rsin⁡θ)将上面三个向量单位化后的向量记作er,eφ,eθ，看作dr,dφ,dθ，那么求导得到的三个向量就是er,rsin⁡θeφ,reθ，对应了三个正交的坐标方向的增量dl=(dr)2+(rsin⁡θdφ)2+(dθ)2\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\sin \theta \cos\varphi\\ r\sin \theta \sin\varphi\\ r\cos \theta \end{pmatrix}分别对r,\varphi,\theta求导得\\ \begin{pmatrix} \sin\theta\cos \varphi\\ \sin\theta\sin \varphi\\ \cos\theta \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} r\sin\theta\cdot (-\sin\varphi)\\ r\sin \theta\cos \varphi\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} r\cos \theta \cos \varphi\\ r\cos \theta \sin \varphi\\ -r\ \sin\theta \end{pmatrix}\\ 将上面三个向量单位化后的向量记作e_r,e_\varphi,e_\theta，看作dr,d\varphi,d\theta，\\ 那么求导得到的三个向量就是e_r,r\sin\theta e_\varphi,re_\theta，对应了三个正交的坐标方向的增量\\ dl=\sqrt{(dr)^2+(r\sin \theta d\varphi)^2+(d\theta)^2} ⎝⎛xyz⎠⎞=⎝⎛rsinθcosφrsinθsinφrcosθ⎠⎞分别对r,φ,θ求导得⎝⎛sinθcosφsinθsinφcosθ⎠⎞,⎝⎛rsinθ⋅(−sinφ)rsinθcosφ0⎠⎞,⎝⎛rcosθcosφrcosθsinφ−r sinθ⎠⎞将上面三个向量单位化后的向量记作er,eφ,eθ，看作dr,dφ,dθ，那么求导得到的三个向量就是er,rsinθeφ,reθ，对应了三个正交的坐标方向的增量dl=(dr)2+(rsinθdφ)2+(dθ)2

第一型曲面积分

参考重积分应用中已经涉及到的面积微元
在参数方程(x,y,z)=f(u,v)(x,y,z)=f(u,v)(x,y,z)=f(u,v)下

ru=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)rv=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v)dS=det∣ru⋅ruru⋅rvrv⋅rurv⋅rv∣dudvr_u=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})\\ r_v=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})\\ dS=\sqrt{det\begin{vmatrix} r_u\cdot r_u & r_u\cdot r_v\\ r_v\cdot r_u & r_v\cdot r_v \end{vmatrix}}dudv ru=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)rv=(∂v∂x,∂v∂y,∂v∂z)dS=det∣∣∣∣ru⋅rurv⋅ruru⋅rvrv⋅rv∣∣∣∣dudv

du,dvdu,dvdu,dv前的系数恰好是ru,rvr_u,r_vru,rv张成的平行四边形的面积

∬Ωf(x,y,z)dS=∬Ω∗f(u,v)det∣ru⋅ruru⋅rvrv⋅rurv⋅rv∣dudv\iint _\Omega f(x,y,z)dS=\iint _{\Omega^*}f(u,v)\sqrt{det\begin{vmatrix} r_u\cdot r_u & r_u\cdot r_v\\ r_v\cdot r_u & r_v\cdot r_v \end{vmatrix}}dudv ∬Ωf(x,y,z)dS=∬Ω∗f(u,v)det∣∣∣∣ru⋅rurv⋅ruru⋅rvrv⋅rv∣∣∣∣dudv

特别的在(x,y,z)=(x,y,z(x,y))(x,y,z)=(x,y,z(x,y))(x,y,z)=(x,y,z(x,y))下

dS=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdydS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy dS=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy

另有在nnn维空间中的n−1n-1n−1维超平面可以用n−1n-1n−1个基的叉积的模长计算，泛用性不如上面