8 - 三重积分、曲线、曲面积分

文章目录

8 - 三重积分、曲线、曲面积分
- 一、基本框架
- - （一）三重积分
  - - 1）基本性质（7个）
    - 2）三种基本坐标系
    - - 1. 直角坐标系
      - 2. 柱面坐标系
      - 3. 球坐标系
    - 3）基本处理方式
    - - 1. “先一后二”
      - 2. “先二后一”
      - 3. 逆用形心公式
      - 4. 换元法
  - （二）第一型曲线、曲面积分的一般处理方法
  - - 1）曲线积分化为定积分（代入参数方程）
    - - 1. 参数方程描述曲线
      - 2. 极坐标方程描述曲线
    - 2）曲面积分化为二重积分（投影法）
    - 3）边界方程代入被积函数
    - 4）利用对称性和轮换对称性
    - 5）形心公式逆用
    - 6）常见物理应用
    - - 1. 找重心 / 形心
      - 2. 求转动惯量
      - 3. 求引力
  - （三）第二型曲线、曲面积分的一般处理办法
  - - 1）基本性质（三个）
    - 2）曲线积分处理方法
    - - 1. 化为定积分（代入参数方程）
      - 2. 格林公式（封闭平面曲线-平面）
      - 3. 斯托克斯公式（封闭空间曲线-曲面）
    - 3）曲面积分处理方法
    - - 1. 化为二重积分（投影法）
      - 2. 高斯公式（空间封闭曲面-体）
    - 4）利用保守场性质
    - - 1. 保守场的判断条件
- 二、表格化总结
- - （一）符号说明
  - （二）方程变换
  - （三）格林、高斯、斯托克斯公式
- 三、重要的例子
- - （一）挖点凑格林公式

一、基本框架

主要的内容为一般的三重积分、第一型曲线/曲面积分、第二型曲线/曲面积分

曲线、曲面积分表示积分区域是曲线、曲面

（一）三重积分

1）基本性质（7个）

可积函数必有界
线性性 / 可加性
保号性
估值定理
中值定理
一般对称性
轮换对称性

2）三种基本坐标系

1. 直角坐标系

2. 柱面坐标系

{x=rcosθy=rsinθz=z∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz\begin{aligned} &\begin{cases} x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \\ z=z \\ \end{cases} \\ \iiint_\Omega f(x,y,z)\ dxdydz&=\iiint_\Omega f(rcos\theta,rsin\theta,z)\ rdrd\theta dz \end{aligned} ∭Ωf(x,y,z) dxdydz⎩⎪⎨⎪⎧x=rcosθy=rsinθz=z=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z) rdrdθdz

3. 球坐标系

{x=rcosθsinφy=rsinθsinφz=rcosφ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(rcosθsinφ,rsinθsinφ,rcosφ)r2sinφdrdθdz\begin{aligned} &\begin{cases} x=rcos\theta sin\varphi \\ y=rsin\theta sin\varphi \\ z=rcos\varphi \\ \end{cases} \\ \iiint_\Omega f(x,y,z)\ dxdydz&=\iiint_\Omega f(rcos\theta sin\varphi,rsin\theta sin\varphi,rcos\varphi)\ r^2sin\varphi \ drd\theta dz \end{aligned} ∭Ωf(x,y,z) dxdydz⎩⎪⎨⎪⎧x=rcosθsinφy=rsinθsinφz=rcosφ=∭Ωf(rcosθsinφ,rsinθsinφ,rcosφ) r2sinφ drdθdz

3）基本处理方式

注意角度定限的时候需要 数形结合 的去分析函数

1. “先一后二”

例如，先对 zzz 积分，再对 XOYXOYXOY 面上积分；相当于把 zzz 方向上的积分值转化成了 XOYXOYXOY 面上的 面密度

一般当积分区域是个 柱形空间 的时候便于计算

2. “先二后一”

例如，先对 XOYXOYXOY 面积分，再对 zzz 积分；相当于把与 XOYXOYXOY 平行的平面积分值转化为了 zzz 的 线密度

一般当积分区域是个 旋转曲面 的时候便于计算

3. 逆用形心公式

相应的有线、面、体积分；有 x‾、y‾、z‾\overline x、\overline y、\overline zx、y、z
x‾=∭Ωxdv∭Ωdv⇒∭Ωxdv=x‾⋅V(V为Ω的体积)x‾=∬ΣxdS∬ΣdS⇒∬ΣxdS=x‾⋅S(S为Σ的面积)x‾=∫Γxds∫Γds⇒∫ΓxdS=x‾⋅lΓ(lΓ为Γ的长度)\begin{aligned} \overline x =\frac{\iiint_\Omega xdv}{\iiint_\Omega dv} &\Rightarrow \iiint_\Omega xdv=\overline x \cdot V\qquad(V\ 为 \ \Omega的体积) \\ \overline x =\frac{\iint_\Sigma xdS}{\iint_\Sigma dS} &\Rightarrow \iint_\Sigma xdS=\overline x \cdot S\qquad(S\ 为 \ \Sigma的面积) \\ \overline x =\frac{\int_\Gamma xds}{\int_\Gamma ds} &\Rightarrow \int_\Gamma xdS=\overline x \cdot l_\Gamma\qquad(l_\Gamma\ 为 \ \Gamma的长度) \end{aligned} x=∭Ωdv∭Ωxdvx=∬ΣdS∬ΣxdSx=∫Γds∫Γxds⇒∭Ωxdv=x⋅V(V 为 Ω的体积)⇒∬ΣxdS=x⋅S(S 为 Σ的面积)⇒∫ΓxdS=x⋅lΓ(lΓ 为 Γ的长度)

4. 换元法

类似于代入参数方程

（二）第一型曲线、曲面积分的一般处理方法

第一型曲线、曲面积分指被积函数是 标量场

其基本性质同一般的积分 / 三重积分

1）曲线积分化为定积分（代入参数方程）

1. 参数方程描述曲线

ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2dtds=\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2+[z^\prime(t)]^2}dt ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2dt

既然有参数方程，就存在 转化为参数方程 和 构造出参数方程

2. 极坐标方程描述曲线

ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2dtds=\sqrt{[r(\theta)]^2+[r^\prime(\theta)]^2}dt ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2dt

令 x=cosθ,y=sinθx=cos\theta,\ y=sin\thetax=cosθ, y=sinθ ，按照 ① 的方式代入，正好得到的就是极坐标的微元

2）曲面积分化为二重积分（投影法）

将 Σ\SigmaΣ 投影到某一平面 DDD
将 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 或 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 代入被积函数
把曲面积分化为二重积分
∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+(zx′)2+(zy′)2dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z^\prime_x)^2+(z^\prime_y)^2}dxdy ∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+(zx′)2+(zy′)2dxdy
空间曲面下的二重积分难以计算 / 定限，而投影之后可以把积分区域化为平面，于是能够定限 / 计算了

注意： 投影点不能重合，否则需要分段处理

3）边界方程代入被积函数

即积分区域是 用等式描述 的，就可以直接代入等式简化积分运算，例如下面的描述方式都可以直接带入：

空间曲线方程
{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)\begin{cases} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \\ z=\omega(t) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)
空间曲面方程
F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0
但是有些积分区域不是用等式描述的，所以不能带入，例如
不等式描述
D={(x,y)∣2x2+y2≤a2}D=\{(x,y) |2x^2+y^2\leq a^2\} D={(x,y)∣2x2+y2≤a2}
不过这个可以用变形的极坐标处理
上下限描述
如积分区域由 y=−x2+1y=-x^2+1y=−x2+1 和 y=0y=0y=0 围成
这个可以代入积分限直接求积分

4）利用对称性和轮换对称性

5）形心公式逆用

6）常见物理应用

1. 找重心 / 形心

参照形心公式

2. 求转动惯量

转动惯量核心公式 I=mr2I=mr^2I=mr2

3. 求引力

引力核心公式 F=GMmr2F = \frac{GMm}{r^2}F=r2GMm

（三）第二型曲线、曲面积分的一般处理办法

第二型曲线、曲面积分指被积函数是 矢量场

第二型积分的形式，如：
∫ΓF⃗(x,y,z)⋅dr⃗=∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\int_\Gamma\vec F(x,y,z)\cdot d\vec r=\int_\Gamma P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ∫ΓF(x,y,z)⋅dr=∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

【注】 ：不满足格林、高斯、斯托克斯公式条件时，可以割补区间使之满足条件

1）基本性质（三个）

线性性
可加性
有向性

2）曲线积分处理方法

1. 化为定积分（代入参数方程）

曲线由参数方程给出时（设参数 t：α→βt：\alpha \rightarrow \betat：α→β ）
本质上是 变量代换 ，如 dx→dx(t)→x′(t)dtdx \rightarrow dx(t) \rightarrow x^\prime(t)dtdx→dx(t)→x′(t)dt
∫ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβP[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)dt\int_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta{P[x(t),y(t)]x^\prime(t)+Q[x(t),y(t)]y^\prime(t)}\ dt ∫ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβP[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t) dt

2. 格林公式（封闭平面曲线-平面）

∮LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma ∮LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ

【注】 ：不满足格林、高斯、斯托克斯公式条件时，可以割补区间使之满足条件

3. 斯托克斯公式（封闭空间曲线-曲面）

【注】 ：不满足格林、高斯、斯托克斯公式条件时，可以割补区间使之满足条件

∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣dS=∬Σ∣cosαcosβcosγ∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣dS\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac\partial{\partial x} & \frac\partial{\partial y} & \frac\partial{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} dS= \iint_\Sigma \begin{vmatrix} cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ \frac\partial{\partial x} & \frac\partial{\partial y} & \frac\partial{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} dS ∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣dS=∬Σ∣∣∣∣∣∣cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R∣∣∣∣∣∣dS

其中 Σ\SigmaΣ 为光滑有向曲面片，LLL 为逐段光滑的 Σ\SigmaΣ 的边界，他的方向与 Σ\SigmaΣ 的法向量成右手系，P、Q、RP、Q、RP、Q、R 有连续一阶偏导数
(cosα,cosβ,cosγ)(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)(cosα,cosβ,cosγ) 为曲面 Σ\SigmaΣ 的单位法向量

3）曲面积分处理方法

1. 化为二重积分（投影法）

以投影到 XOY 面为例

将 Σ\SigmaΣ 投影到某一平面 DDD
将 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 或 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 代入被积函数
将 dxdydxdydxdy 改写成 ±dxdy\pm dxdy±dxdy ， Σ\SigmaΣ 方向向上（法向量与 Z 轴夹角为锐角）时取 +++ ，否则取 −-− ，于是得到

∬Σf(x,y,z)dxdy=±∬Df(x,y,z(x,y))dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)dxdy=\pm\iint_Df(x,y,z(x,y))dxdy ∬Σf(x,y,z)dxdy=±∬Df(x,y,z(x,y))dxdy

空间曲面下的二重积分难以计算 / 定限，而投影之后可以把积分区域化为平面，于是能够定限 / 计算了

注意： 投影点不能重合，否则需要分段处理

2. 高斯公式（空间封闭曲面-体）

∯ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv\oiint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv ∬ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv

Σ\SigmaΣ 是 Ω\OmegaΩ 的整个边界曲面的外侧

【注】 ：不满足格林、高斯、斯托克斯公式条件时，可以割补区间使之满足条件

4）利用保守场性质

当被积函数是个保守场的时候，积分值 与积分路径无关 ，于是可以自己构建便于计算的积分路径
但是注意不要经过无定义点，如被积函数是 1x2+y2\frac1{x^2+y^2}x2+y21 时的 (0,0)(0,0)(0,0) 点

1. 保守场的判断条件

判断向量场 F⃗=(P(x,y),Q(x,y))\vec F=(P(x,y),\ Q(x,y))F=(P(x,y), Q(x,y)) 为保守场的条件：
∂Q∂x=∂P∂y⟺∣∂∂x∂∂yPQ∣=0\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{vmatrix} =0 ∂x∂Q=∂y∂P⟺∣∣∣∣∂x∂P∂y∂Q∣∣∣∣=0
判断向量场 F⃗(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec F(P(x,y,z),\ Q(x,y,z),\ R(x,y,z))F(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) 为保守场的条件：
∂P∂y=∂Q∂x，∂P∂z=∂R∂x，∂Q∂z=∂R∂y⟺∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=0\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}，\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}，\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y} \\ \Longleftrightarrow \\ \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} = 0 ∂y∂P=∂x∂Q，∂z∂P=∂x∂R，∂z∂Q=∂y∂R⟺∣∣∣∣∣∣x^∂x∂Py^∂y∂Qz^∂z∂R∣∣∣∣∣∣=0

【注意】 诸如被积函数含有 1x2+y2\frac{1}{x^2+y^2}x2+y21 时，积分区域不含有 (0,0)(0,0)(0,0) 点，所以自行选择积分路径时，需要绕开 (0,0)(0,0)(0,0) 点

二、表格化总结

（一）符号说明

符号	含义	符号	含义
/	/	LLL	直线
dsdsds	曲线的弧长微元	Γ\GammaΓ	曲线
dσd\sigmadσ	平面的面积微元	DDD	平面
dSdSdS	曲面的面积微元	Σ\SigmaΣ	曲面
dvdvdv	物体的体积微元	Ω\OmegaΩ	空间区域

（二）方程变换

积分类型	方程变换
第一型曲线积分	ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2dtds=\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2+[z^\prime(t)]^2}dtds=[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2dt ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2dtds=\sqrt{[r(\theta)]^2+[r^\prime(\theta)]^2}dtds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2dt
第一型曲面积分	∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+(zx′)2+(zy′)2dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z^\prime_x)^2+(z^\prime_y)^2}dxdy∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+(zx′)2+(zy′)2dxdy （以投影到 XOY 为例）
第二型曲线积分	∫ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβP[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)dt\int_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta{P[x(t),y(t)]x^\prime(t)+Q[x(t),y(t)]y^\prime(t)}\ dt∫ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβP[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t) dt
第二型曲面积分	∬Σf(x,y,z)dxdy=±∬Df(x,y,z(x,y))dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)dxdy=\pm\iint_Df(x,y,z(x,y))dxdy∬Σf(x,y,z)dxdy=±∬Df(x,y,z(x,y))dxdy （以投影到 XOY 为例）

（三）格林、高斯、斯托克斯公式

名称	公式
格林公式	∮LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma∮LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ
斯托克斯公式	∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣dS=∬Σ∣cosαcosβcosγ∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣dS\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma\begin{vmatrix}dydz & dzdx & dxdy \\\frac\partial{\partial x} & \frac\partial{\partial y} & \frac\partial{\partial z} \\P & Q & R \\\end{vmatrix} dS=\iint_\Sigma\begin{vmatrix}cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\\frac\partial{\partial x} & \frac\partial{\partial y} & \frac\partial{\partial z} \\P & Q & R \\\end{vmatrix}dS ∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ∣∣∣∣∣∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣∣∣∣∣∣dS=∬Σ∣∣∣∣∣∣cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R∣∣∣∣∣∣dS
高斯公式	∯ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv\oiint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv∬ΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv

三、重要的例子

（一）挖点凑格林公式

本质上是复连通区域的格林公式
LLL 为曲线 x23+y23=a23,(a>0)x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23},\ (a>0)x32+y32=a32, (a>0) 求 ∮Lydx−xdy2x2+y2\oint_L \frac{ydx-xdy}{2x^2+y^2}∮L2x2+y2ydx−xdy 且取逆时针方向。

设曲线扣点

因为分母为 2x2+y22x^2+y^22x2+y2 所以在 (0,0)(0,0)(0,0) 点处分母为 0 ，不满足格林公式的应用条件。于是做一个 足够小的封闭曲线 把 (0,0)(0,0)(0,0) 点围住扣出去。考虑分母是 2x2+y22x^2+y^22x2+y2 ，为了便于计算（消掉分母）

所以设 L1L_1L1 为 2x2+y2=ε2，(ε是充分小的正数)2x^2+y^2=\varepsilon^2，(\varepsilon是充分小的正数)2x2+y2=ε2，(ε是充分小的正数) ，取顺时针方向

关于为什么取顺时针方向方向，格林公式 -> 环量=旋度之和

构造参数方程

参照极坐标的方式构造参数方程
{x=ε2cosθy=ϵsinθ\begin{cases} x=\frac{\varepsilon}{\sqrt2}cos\theta \\ y=\epsilon sin\theta \end{cases} {x=2εcosθy=ϵsinθ

代入原式

原式=∮L+L1−∮L1=0−∫L1原式=\oint_{L+L_1}-\oint_{L_1}=0-\int_{L_1} 原式=∮L+L1−∮L1=0−∫L1
这里可以证明被积函数是保守场，所以积分的起点与终点在同一点时，积分值一定为 0 ，此处可以用格林公式证明
所以
原式=−∫02πε22(cos2θ+sin2θ)ε2dθ=−2π原式=-\int_0^{2\pi}\frac{\frac{\varepsilon^2}{\sqrt2}(cos^2\theta+sin^2\theta)}{\varepsilon^2}d\theta=-\sqrt2\pi 原式=−∫02πε22ε2(cos2θ+sin2θ)dθ=−2π