第一类曲线、曲面积分（对测度的积分）计算公式总结

下面将列出常用正交坐标系下的第一类曲线、曲面积分的直接计算公式。以下默认被积函数为 fff 。

一、第一类曲线积分

第一类曲线积分是在曲线弧长上对标量函数进行积分。

1. xyzxyzxyz 坐标系（直角坐标系）下的第一类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{x=x(s)y=y(s)z=z(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧x=x(s)y=y(s)z=z(s)(s∈(s,s))
则有
∫Γf(x,y,z)dl=∫s‾s‾f(x,y,z)xs′2+ys′2+zs′2ds\int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(x,y,z)\sqrt{x_s'^2+y_s'^2+z_s'^2}\mathrm{d}s ∫Γf(x,y,z)dl=∫ssf(x,y,z)xs′2+ys′2+zs′2ds
特殊地，若积分区域可以表示为
Γ:{x=x(z)y=y(z)z=z(z∈(z‾,z‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{array}\right.\\ (z\in(\underline{z},\overline{z})) Γ:⎩⎨⎧x=x(z)y=y(z)z=z(z∈(z,z))
则有
∫Γf(x,y,z)dl=∫z‾z‾f(x,y,z)xz′2+yz′2+1dz\int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{z}}^{\overline{z}}f(x,y,z)\sqrt{x_z'^2+y_z'^2+1}\mathrm{d}z ∫Γf(x,y,z)dl=∫zzf(x,y,z)xz′2+yz′2+1dz

2. rθϕr\theta\phirθϕ 坐标系（球坐标系，默认 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]θ∈[0,π] ）下的第一类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \theta=\theta(s)\\ \phi=\phi(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)(s∈(s,s))
则有
∫Γf(r,θ,ϕ)dl=∫s‾s‾f(r,θ,ϕ)rs′2+(rθs′)2+(rsin⁡θϕs′)2ds\int_{\Gamma}f(r,\theta,\phi)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(r,\theta,\phi)\sqrt{r_s'^2+(r\theta_s')^2+(r\sin\theta\phi_s')^2}\mathrm{d}s ∫Γf(r,θ,ϕ)dl=∫ssf(r,θ,ϕ)rs′2+(rθs′)2+(rsinθϕs′)2ds

3. rϕzr\phi{}zrϕz 坐标系（柱坐标系）下的第一类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{r=r(s)ϕ=ϕ(s)z=z(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \phi=\phi(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧r=r(s)ϕ=ϕ(s)z=z(s)(s∈(s,s))
则有
∫Γf(r,ϕ,z)dl=∫s‾s‾f(r,ϕ,z)rs′2+(rϕs′)2+zs′2ds\int_{\Gamma}f(r,\phi,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(r,\phi,z)\sqrt{r_s'^2+(r\phi_s')^2+z_s'^2}\mathrm{d}s ∫Γf(r,ϕ,z)dl=∫ssf(r,ϕ,z)rs′2+(rϕs′)2+zs′2ds

二、第一类曲面积分

第一类曲面积分是在曲面面积上对标量函数进行积分。

1. xyzxyzxyz 坐标系（直角坐标系）下的第一类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)
则有
∬Σf(x,y,z)dσ=∬Σ′f(x,y,z)(xs′yt′−ys′xt′)2+(ys′zt′−zs′yt′)2+(zs′xt′−xs′zt′)2dsdt\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(x,y,z)\sqrt{(x_s'y_t'-y_s'x_t')^2+(y_s'z_t'-z_s'y_t')^2+(z_s'x_t'-x_s'z_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(x,y,z)dσ=∬Σ′f(x,y,z)(xs′yt′−ys′xt′)2+(ys′zt′−zs′yt′)2+(zs′xt′−xs′zt′)2dsdt
特殊地，若积分区域可以表示为
Σ:{x=xy=yz=z(x,y)((x,y)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x\\ y=y\\ z=z(x,y) \end{array}\right.\\ ((x,y)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧x=xy=yz=z(x,y)((x,y)∈Σ′)
则有
∬Σf(x,y,z)dσ=∬Σ′f(x,y,z)1+zx′2+zy′2dxdy\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(x,y,z)\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σf(x,y,z)dσ=∬Σ′f(x,y,z)1+zx′2+zy′2dxdy

2. rθϕr\theta\phirθϕ 坐标系（球坐标系，默认 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]θ∈[0,π] ）下的第一类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{r=r(s,t)θ=θ(s,t)ϕ=ϕ(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \theta=\theta(s,t)\\ \phi=\phi(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧r=r(s,t)θ=θ(s,t)ϕ=ϕ(s,t)((s,t)∈Σ′)
则有
∬Σf(r,θ,ϕ)dσ=∬Σ′f(r,θ,ϕ)r2(rs′θt′−θs′rt′)2+r4sin⁡2θ(θs′ϕt′−ϕs′θt′)2+r2sin⁡2θ(ϕs′rt′−rs′ϕt′)2dsdt\iint_{\Sigma}f(r,\theta,\phi)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(r,\theta,\phi)\sqrt{r^2(r_s'\theta_t'-\theta_s'r_t')^2+r^4\sin^2\theta(\theta_s'\phi_t'-\phi_s'\theta_t')^2+r^2\sin^2\theta(\phi_s'r_t'-r_s'\phi_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(r,θ,ϕ)dσ=∬Σ′f(r,θ,ϕ)r2(rs′θt′−θs′rt′)2+r4sin2θ(θs′ϕt′−ϕs′θt′)2+r2sin2θ(ϕs′rt′−rs′ϕt′)2dsdt

3. rϕzr\phi{}zrϕz 坐标系（柱坐标系）下的第一类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{r=r(s,t)ϕ=ϕ(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \phi=\phi(s,t)\\ z=z(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧r=r(s,t)ϕ=ϕ(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)
则有
∬Σf(r,ϕ,z)dσ=∬Σ′f(r,ϕ,z)r2(rs′ϕt′−ϕs′rt′)2+r2(ϕs′zt′−zs′ϕt′)2+(zs′rt′−rs′zt′)2dsdt\iint_{\Sigma}f(r,\phi,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(r,\phi,z)\sqrt{r^2(r_s'\phi_t'-\phi_s'r_t')^2+r^2(\phi_s'z_t'-z_s'\phi_t')^2+(z_s'r_t'-r_s'z_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(r,ϕ,z)dσ=∬Σ′f(r,ϕ,z)r2(rs′ϕt′−ϕs′rt′)2+r2(ϕs′zt′−zs′ϕt′)2+(zs′rt′−rs′zt′)2dsdt

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