【数学】第一型曲线积分

首先先学习弧长积分：【数学】弧长的积分公式，也即求曲线方程曲线的长度，求圆的周长公式

弧长积分的微元如下：

$ds=\sqrt{(dx^{2}+dy^{2})}$

【第一型曲线的参数方程】

我们假设 $xy$ 都是关于t的函数，有 $x(t)=x, y(t)=y$

$ds=\sqrt{(x'(t)^{2}+y'(t)^{2})}dt$

则积分公式为：

$S=\int_{s}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$

假若在曲线微元ds上，有密度函数 $\rho (x(t), y(t))$ ，则曲线积分：

$M=\int_{s}\rho (x(t), y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$

就是该曲线的质量。这就是第一类曲线积分。

【非参数方程】

有密度函数 $\rho f(x, y)$ ,则结合弧长公式有曲线积分：

$S=\sum_{i=a}^{b}(x_{i+1}-x_{i})\sqrt{1+f'(x)^2} =\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$ （弧长公式）

$M=\int_{a}^{b}\rho (x,y)\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$

【几何意义】

1、当 $\rho (x,y)$ 代表曲线的密度时，第一型积分就代表曲线的质量。

2、当 $\rho (x,y)$ =1时，则第一型积分计算的结果就是弧长。

3、当 $\rho (x,y)$ 为圆柱型母线的长度时，则第一型积分计算的就是圆柱型的表面积。

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