第一型曲线积分的思路总结

概念拆分研究

这一类的题目被积函数一般是二元函数，但实际上呢，因为是线性积分，所以被积函数的取值被夹在线上，因此，积分的区域–曲线的表达式可以带入被积函数。
这是我在学习这部分知识的时候对于可以带入的理解。
因此，一个看似二元的积分变成了伪二元，真一元。

但这并不是说问题就化简到了和求解一元积分一样的复杂度了，不然就不是第一型曲线积分了对吧！

坐标中一个弯弯曲曲的曲线，和平常一元积分笔笔直直的x轴或者y轴比起来，直觉上感受起来也应该多个系数什么的对吧。

没错，这个系数的计算一写好，第一型曲线将完全变成一元积分形式。

计算

直角坐标系下的计算

直角坐标系下，ds=(dx)2+(dy)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√{\rm d}s = \sqrt{{({\rm d}x)}^2 +{({\rm d}y)}^2 }

这个是非常自然的一种微元角度。
通常给定的积分曲线是可以化为：y=y(x)y = y(x) 型的
因此ds=1+(dydx‾‾‾‾‾‾‾‾√)2dx{\rm d}s = \sqrt{1+({{{\rm d}y}\over {\rm d}x}})^2{\rm d}x
等同于把dx提出来了{\rm d}x提出来了

dydx=y′(x){{\rm d}y \over {\rm d}x} = y'(x)

所以积分可以化为：
∫Lf(x,y)=∫baf(x,y(x))1+y′(x)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dx\int_Lf(x,y) = \int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+{y'(x)^2}} {\rm d}x

这是直角坐标系下的第一种。

同时从这个表达式可以看出来一点参数方程的影子：
x=x,y=y(x)x = x, y = y(x)

因此，下面推导的参数方程下的解法和上面这个如出一辙。

L: x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t)
首先还是看 ds{\rm d}s 如何表示。
ds=(dx)2+(dy)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√{\rm d}s = \sqrt{({\rm d}x)^2+({\rm d}y)^2}

变成关于dt{\rm d}t的形式。
ds=(dxdt)2+(dydt)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√⋅dt{\rm d}s = \sqrt{({{\rm d}x \over {\rm d}t})^2+({{\rm d}y \over {\rm d}t})^2}\cdot {\rm d}t
也即：
ds=(x′(t))2+(y′(t))2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√⋅dt{\rm d}s = \sqrt{({x'(t)})^2+({y'(t)})^2}\cdot {\rm d}t
因此，上来就是先求：
x′(t),y′(t)x'(t),y'(t)带入即可.
这个过程可以类比基本的x=x,y=y(x)x = x,y=y(x),x对x求导x对x求导得到1，y(x)对x求导得到的是y′(x)y(x)对x求导得到的是y'(x).
写太多数学表达式，真卡啊。。

极坐标下的计算

这个有趣的很，推导公式，手工画一张图如下：

如果由直角坐标系下的参数方程思想迁移过来，发现是有一些问题的，因为要是视θ\theta为参数，会得到一个这样的结果：
ds=1+(drdθ‾‾‾‾‾‾‾‾√)2dθ{\rm d}s = \sqrt{1+({{{\rm d}r}\over {\rm d}\theta}})^2{\rm d}\theta
也即：ds=1+(r′(θ))2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dθ{\rm d}s = \sqrt{1+(r'(\theta))^2 }{\rm d}\theta

不是我们想要的：
ds=r(θ)2+r′(θ)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dθ{\rm d}s = \sqrt{{r(\theta)^2}+r'(\theta)^2 }{\rm d}\theta

所以必须从第一原理的角度思考极坐标下的问题。

从而得到积分式为：
∫βαf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)r(θ)2+r′(θ)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dθ\int_\alpha^\beta f(r(\theta) \cos\theta,r(\theta) \sin\theta) \sqrt{{r(\theta)^2}+r'(\theta)^2}{\rm d}\theta.

以上便是常见的基础题目的求解。

技术题型的计算

主要分为三类：

带入边界方程
形心公式
对称性解题

暂时不展开。

update1:空间曲线的长度求法。

如果不特别说明一下，我想很多人心里会想，应该可以把这个方法发散到三维，但是心里同时很没底。所以更新这个点。

答案是OK的。

同样，一段空间中的ds=(dx)2+(dy)2+(dz)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√{\rm d}s = \sqrt{({\rm d}x)^2 + ({\rm d}y)^2 + ({\rm d}z)^2 }也是很自然的。
那么给定：
x=x(t)x = x(t)
y=y(t)y = y(t)
z=z(t)z = z(t)
可以得到：
ds=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dt{\rm d}s = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2+ (z'(t))^2 }{\rm d}t

那么：S=∫bads,t∈[a,b]S = \int_a^b {\rm d}s,t∈[a,b]便一目了然了~

当然不仅仅可以考察曲线的长度，也可以考察对空间曲线的积分，但是和二维的没有多大区别，前提是：理解这二者之间的关系。

以上。