提示：本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生，文中题型方法为个人总结，为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨，但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误，欢迎批评指正。

一、关于第一型曲线积分与第一型曲面积分

对于已经熟知第一型曲线积分和第一型曲面积分定义的朋友们来说，我在这里主要提出五个问题，以帮助大家的理解和做题。

Q1：第一型曲线/曲面积分与重积分的区别

重积分是在某一个区域内进行积分，是“不等关系”；而曲线/曲面积分是在某一条线/某一个平面上进行积分，是“等号关系”。

Q2：曲线的弧长与曲面的面积

关于微元产生的原因，详见《高等微积分教材（下）》的3.5节等多个部分，此处对不同形式曲线曲面微元的形式进行了整理

首先是曲线的弧长（对于光滑的正则曲线而言）

1、以参数方程表示的形式： $x=x(t),y=y(t),z=z(t), t\in [\alpha ,\beta ]$

存在以下形式：

其中，上式表示的是空间曲线；下面表示平面曲线

2、以显式表示的曲线形式：

对于曲面的面积微元，有如下形式(光滑的正则曲面)

1、对于参数表示形式： $x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$

曲面的法向量为：

写成行列式的表示形式，则为：ds=

dxdy (中间行列式的值就是法向量的模长)

2、对于显式表示形式：

其中， $\Omega$ 为S在xy平面上的投影区域

Q3：第一型曲线积分和第一型曲面积分

1、第一型曲线积分

2、第一型曲面积分

（A,B,C）的定义见上文关于法向量的描述

Q4：做题时“范围的确定”

向某一个平面（如xoy平面）上做投影，求出投影区域内变量（如xy）的范围

问：为什么重积分进行计算时不能轻易做投影呢？

原因还要回到重积分和曲面积分的本质区别上，重积分是在一个区域内进行积分的，xyz的范围有时可能相互制约；但是对于曲面积分这样坐落于一个平面上的积分而言，直接将z=0，再求出xy的范围是完全可行的，尤其是在从dS到dxdy的范围变化过程中，更要把握好投影的范围。

Q5：几何意义

对于第一型曲线积分而言

1、单纯 $\int_{L}^{}dl$ 就是曲线L的弧长

2、对于 $\int_{L}^{}f(x,y)dl$ 而言，若f(x,y)是曲线的线密度，则该积分表示的就是这条曲线的质量；若f(x,y)表示高度，则该积分表示的就是这个柱面的面积

对于第一型曲面积分而言

1、单纯 $\iint_{S}^{}dS$ 表示曲面的面积

2、对于 $\iint_{S}^{}f(x,y)dS$ 而言，若f(x,y)是曲面的面密度，则这积分表示的是这个曲面的质量；若f(x,y)=1，则这个积分就是曲面S对xy平面的静力矩

二、第二型曲线积分与格林公式

1、第二类曲线积分

第二类曲线积分，是对一个向量值函数沿着某一条曲线进行积分，此向量值函数的表达式为： $F(x,y,z)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))$ ，则其从A点开始到B点的第二型曲线积分如下：

定义即为求解方法（）

2、格林公式

1、对于 $V(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))$ ，若 $X(x,y),Y(x,y)$ 在有界连通闭区域D上是连续可微的，则

（D的边界是逐段光滑的闭曲线，其正方向为逆时针方向，n为边界的单位外法向）

2、平面第二类曲线积分与路径无关的条件

3、原函数有关——恰当方程和积分因子

一个需注意的全微分

4、关于利用格林公式求积分

1、要关注定义域中使函数值不存在的部分，在某一个或某几个特殊点挖洞

2、对于非闭合区域，使用格林公式前要记得先将其补成闭合区域

3、这部分一定要多练习，注意在挖洞补洞过程中是加还是减

4、关于正向：人头朝上，沿着曲线正向走的时候，区域的内部在人的左手侧

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