第二类曲线、曲面积分（对坐标的积分）计算公式总结

下面将列出常用正交坐标系下的第二类曲线、曲面积分的直接计算公式。以下默认被积函数为对应正交坐标系下形如 f⃗=(P,Q,R)\vec{f}=(P,Q,R)f=(P,Q,R) 的矢量函数。

一、第二类曲线积分

第二类曲线积分是在有向曲线的弧长上对矢量函数进行积分。

1. xyzxyzxyz 坐标系（直角坐标系）下的第二类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{x=x(s)y=y(s)z=z(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧x=x(s)y=y(s)z=z(s)(s∈(s,s))
并规定 (xs′,ys′,zs′)(x_s',y_s',z_s')(xs′,ys′,zs′) 的方向为正方向，则有
∫Γf⃗(x,y,z)⋅dl⃗=∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫s‾s‾(Pxs′+Qys′+Rzs′)ds\int_{\Gamma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}(Px_s'+Qy_s'+Rz_s')\mathrm{d}s ∫Γf(x,y,z)⋅dl=∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫ss(Pxs′+Qys′+Rzs′)ds
特殊地，若积分区域可以表示为
Γ:{x=x(z)y=y(z)z=z(z∈(z‾,z‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{array}\right.\\ (z\in(\underline{z},\overline{z})) Γ:⎩⎨⎧x=x(z)y=y(z)z=z(z∈(z,z))
并规定 (xz′,yz′,1)(x_z',y_z',1)(xz′,yz′,1) 的方向为正方向，则有
∫Γf⃗(x,y,z)⋅dl⃗=∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫z‾z‾(Pxz′+Qyz′+R)dz\int_{\Gamma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\\ =\int_{\underline{z}}^{\overline{z}}(Px_z'+Qy_z'+R)\mathrm{d}z ∫Γf(x,y,z)⋅dl=∫ΓPdx+Qdy+Rdz=∫zz(Pxz′+Qyz′+R)dz

2. rθϕr\theta\phirθϕ 坐标系（球坐标系，默认 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]θ∈[0,π] ）下的第二类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \theta=\theta(s)\\ \phi=\phi(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)(s∈(s,s))
并规定 (rs′,θs′,ϕs′)(r_s',\theta_s',\phi_s')(rs′,θs′,ϕs′) 的方向为正方向，则有
∫Γf⃗(r,θ,ϕ)⋅dl⃗=∫ΓPdr+Qrdθ+Rrsinθdϕ=∫s‾s‾(Prs′+Qrθs′+Rrsinθϕs′)ds\int_{\Gamma}\vec{f}(r,\theta,\phi)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}r+Qr\mathrm{d}\theta+Rr\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\phi\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}(Pr_s'+Qr\theta_s'+Rr\mathrm{sin}\theta\phi_s')\mathrm{d}s ∫Γf(r,θ,ϕ)⋅dl=∫ΓPdr+Qrdθ+Rrsinθdϕ=∫ss(Prs′+Qrθs′+Rrsinθϕs′)ds

3. rϕzr\phi{}zrϕz 坐标系（柱坐标系）下的第二类曲线积分

假定积分区域为
Γ:{r=r(s)ϕ=ϕ(s)z=z(s)(s∈(s‾,s‾))\Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \phi=\phi(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ:⎩⎨⎧r=r(s)ϕ=ϕ(s)z=z(s)(s∈(s,s))
并规定 (rs′,ϕs′,zs′)(r_s',\phi_s',z_s')(rs′,ϕs′,zs′) 的方向为正方向，则有
∫Γf⃗(r,ϕ,z)⋅dl⃗=∫ΓPdr+Qrdϕ+Rdz=∫s‾s‾(Prs′+Qrϕs′+Rzs′)ds\int_{\Gamma}\vec{f}(r,\phi,z)\cdot\vec{\mathrm{d}l}=\int_{\Gamma}P\mathrm{d}r+Qr\mathrm{d}\phi+R\mathrm{d}z\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}(Pr_s'+Qr\phi_s'+Rz_s')\mathrm{d}s ∫Γf(r,ϕ,z)⋅dl=∫ΓPdr+Qrdϕ+Rdz=∫ss(Prs′+Qrϕs′+Rzs′)ds

二、第二类曲面积分

第二类曲面积分是在有向曲面的面积上对矢量函数进行积分。

1. xyzxyzxyz 坐标系（直角坐标系）下的第二类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)
并规定 (xs′,ys′,zs′)×(xt′,yt′,zt′)(x_s',y_s',z_s')\times(x_t',y_t',z_t')(xs′,ys′,zs′)×(xt′,yt′,zt′) 的方向为正方向，则有
∬Σf⃗(x,y,z)⋅dσ⃗=∬ΣPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(xs′,ys′,zs′)×(xt′,yt′,zt′)]dsdt=∬Σ′[P(ys′zt′−zs′yt′)+Q(zs′xt′−xs′zt′)+R(xs′yt′−ys′xt′)]dsdt\iint_{\Sigma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}\sigma}=\iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\\ =\iint_{\Sigma'}(P,Q,R)\cdot[(x_s',y_s',z_s')\times(x_t',y_t',z_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ =\iint_{\Sigma'}[P(y_s'z_t'-z_s'y_t')+Q(z_s'x_t'-x_s'z_t')+R(x_s'y_t'-y_s'x_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(x,y,z)⋅dσ=∬ΣPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(xs′,ys′,zs′)×(xt′,yt′,zt′)]dsdt=∬Σ′[P(ys′zt′−zs′yt′)+Q(zs′xt′−xs′zt′)+R(xs′yt′−ys′xt′)]dsdt
特殊地，若积分区域可以表示为
Σ:{x=xy=yz=z(x,y)((x,y)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x\\ y=y\\ z=z(x,y) \end{array}\right.\\ ((x,y)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧x=xy=yz=z(x,y)((x,y)∈Σ′)
并规定 (1,0,zx′)×(0,1,zy′)=(−zx′,−zy′,1)(1,0,z_x')\times(0,1,z_y')=(-z_x',-z_y',1)(1,0,zx′)×(0,1,zy′)=(−zx′,−zy′,1) 的方向为正方向，则有
∬Σf⃗(x,y,z)⋅dσ⃗=∬ΣPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=∬Σ′(P,Q,R)⋅(−zx′,−zy′,1)dxdy=∬Σ′(−Pzx′−Qzy′+R)dxdy\iint_{\Sigma}\vec{f}(x,y,z)\cdot\vec{\mathrm{d}\sigma}=\iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\\ =\iint_{\Sigma'}(P,Q,R)\cdot(-z_x',-z_y',1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{\Sigma'}(-Pz_x'-Qz_y'+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σf(x,y,z)⋅dσ=∬ΣPdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=∬Σ′(P,Q,R)⋅(−zx′,−zy′,1)dxdy=∬Σ′(−Pzx′−Qzy′+R)dxdy

2. rθϕr\theta\phirθϕ 坐标系（球坐标系，默认 θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]θ∈[0,π] ）下的第二类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{r=r(s,t)θ=θ(s,t)ϕ=ϕ(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \theta=\theta(s,t)\\ \phi=\phi(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧r=r(s,t)θ=θ(s,t)ϕ=ϕ(s,t)((s,t)∈Σ′)
并规定 (rs′,θs′,ϕs′)×(rt′,θt′,ϕt′)(r_s',\theta_s',\phi_s')\times(r_t',\theta_t',\phi_t')(rs′,θs′,ϕs′)×(rt′,θt′,ϕt′) 的方向为正方向，则有
∬Σf⃗(r,θ,ϕ)⋅dσ⃗=∬ΣP(rdθ)∧(rsinθdϕ)+Q(rsinθdϕ)∧dr+Rdr∧(rdθ)=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(rs′,rθs′,rsinθϕs′)×(rt′,rθt′,rsinθϕt′)]dsdt=∬Σ′[Pr2sinθ(θs′ϕt′−ϕs′θt′)+Qrsinθ(ϕs′rt′−rs′ϕt′)+Rr(rs′θt′−θs′rt′)]dsdt\iint_{\Sigma}\vec{f}(r,\theta,\phi)\cdot\vec{\mathrm{d}\sigma}=\iint_{\Sigma}P(r\mathrm{d}\theta)\wedge(r\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\phi)+Q(r\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\phi)\wedge\mathrm{d}r+R\mathrm{d}r\wedge(r\mathrm{d}\theta)\\ =\iint_{\Sigma'}(P,Q,R)\cdot[(r_s',r\theta_s',r\mathrm{sin}\theta\phi_s')\times(r_t',r\theta_t',r\mathrm{sin}\theta\phi_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ =\iint_{\Sigma'}[Pr^2\mathrm{sin}\theta(\theta_s'\phi_t'-\phi_s'\theta_t')+Qr\mathrm{sin}\theta(\phi_s'r_t'-r_s'\phi_t')+Rr(r_s'\theta_t'-\theta_s'r_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(r,θ,ϕ)⋅dσ=∬ΣP(rdθ)∧(rsinθdϕ)+Q(rsinθdϕ)∧dr+Rdr∧(rdθ)=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(rs′,rθs′,rsinθϕs′)×(rt′,rθt′,rsinθϕt′)]dsdt=∬Σ′[Pr2sinθ(θs′ϕt′−ϕs′θt′)+Qrsinθ(ϕs′rt′−rs′ϕt′)+Rr(rs′θt′−θs′rt′)]dsdt

3. rϕzr\phi{}zrϕz 坐标系（柱坐标系）下的第二类曲面积分

假定积分区域为
Σ:{r=r(s,t)ϕ=ϕ(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)\Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \phi=\phi(s,t)\\ z=z(s,t)\\ \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ:⎩⎨⎧r=r(s,t)ϕ=ϕ(s,t)z=z(s,t)((s,t)∈Σ′)
并规定 (rs′,ϕs′,zs′)×(rt′,ϕt′,zt′)(r_s',\phi_s',z_s')\times(r_t',\phi_t',z_t')(rs′,ϕs′,zs′)×(rt′,ϕt′,zt′) 的方向为正方向，则有
∬Σf⃗(r,ϕ,z)⋅dσ⃗=∬ΣP(rdϕ)∧dz+Qdz∧dr+Rdr∧(rdϕ)=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(rs′,rϕs′,zs′)×(rt′,rϕt′,zt′)]dsdt=∬Σ′[Pr(ϕs′zt′−zs′ϕt′)+Q(zs′rt′−rs′zt′)+Rr(rs′ϕt′−ϕs′rt′)]dsdt\iint_{\Sigma}\vec{f}(r,\phi,z)\cdot\vec{\mathrm{d}\sigma}=\iint_{\Sigma}P(r\mathrm{d}\phi)\wedge\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}r+R\mathrm{d}r\wedge(r\mathrm{d}\phi)\\ =\iint_{\Sigma'}(P,Q,R)\cdot[(r_s',r\phi_s',z_s')\times(r_t',r\phi_t',z_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t\\ =\iint_{\Sigma'}[Pr(\phi_s'z_t'-z_s'\phi_t')+Q(z_s'r_t'-r_s'z_t')+Rr(r_s'\phi_t'-\phi_s'r_t')]\mathrm{d}s\mathrm{d}t ∬Σf(r,ϕ,z)⋅dσ=∬ΣP(rdϕ)∧dz+Qdz∧dr+Rdr∧(rdϕ)=∬Σ′(P,Q,R)⋅[(rs′,rϕs′,zs′)×(rt′,rϕt′,zt′)]dsdt=∬Σ′[Pr(ϕs′zt′−zs′ϕt′)+Q(zs′rt′−rs′zt′)+Rr(rs′ϕt′−ϕs′rt′)]dsdt

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