【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ | 布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 ) ★
文章目录
- 一、NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★
- 二、布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路
一、NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★
布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) , 是历史已经找到了一个 NP\rm NPNP 完全问题 ;
布尔逻辑公式 : 原子命题变元 x,y,⋯\rm x , y , \cdotsx,y,⋯ 通过 联结词 合取 ∧\land∧ , 析取 ∨\lor∨ , 否定 ¬\lnot¬ , 将这些变元联结在一起 , 得到一个布尔逻辑公式 ;
参考 离散数学 - 数据逻辑 - 命题与联结词 博客 : 【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 )
布尔逻辑公式可满足 , 指的是 存在一个赋值 , 该赋值是从原始命题到真和假的映射 , 是语法到语义的纽带 , 该赋值使得布尔逻辑公式取值为真 , 则称该 布尔逻辑公式可满足 ;
存在一个赋值 , 使得布尔逻辑公式为真 , 该布尔逻辑公式就是可满足的 ;
将 所有 可满足的布尔逻辑公式 , 放在一起 , 组成一个整体 , 称为 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) ;
布尔可满足性问题 是 NP\rm NPNP 完全的 ;
二、布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路
布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 :
① 首先证明 布尔可满足性问题 是 NP\rm NPNP 问题 ;
证明该步骤 , 只需要验证 , 给定布尔逻辑公式 , 给定一个赋值 , 验证该公式在该赋值的情况下 , 取值为真即可 ;
验证过程所花的时间与联结词个数有关 , 联结词的个数 , 肯定布会超过布尔逻辑公式的长度 ,
验证所花费的时间一定是 多项式时间 ,
因此 布尔可满足性问题 在 NP\rm NPNP 中 ;
② 再证明 布尔可满足性问题 SAT\rm SATSAT 是最难的 NP\rm NPNP 问题 ;
将 布尔可满足性问题 与 NP\rm NPNP 中每个计算问题 进行比较 ,
证明 NP\rm NPNP 中的任何计算问题 , 其难易程度 , 布会超过 布尔可满足性问题 ,
即 NP\rm NPNP 中的任何计算问题 , 都可以在 多项式时间规约到 SAT\rm SATSAT , 即 ≤SAT\rm \leq SAT≤SAT ,
该证明是很难的 ;
从 NP\rm NPNP 中 任选一个计算问题 A\rm AA ,
A\rm AA 是 NP\rm NPNP 的 , 一定存在一个 非确定性图灵机 可以判定 ( 解决 ) 该问题 , 该 非确定性图灵机 的计算复杂度一定是个多项式 O(nk)\rm O(n^k)O(nk) ,
证明该问题 A\rm AA 一定可以在 多项式时间规约到 SAT\rm SATSAT , 符号化表示 : A≤SAT\rm A \leq SATA≤SAT ,
给定一个 字符串 w\rm ww , 可以被 非确定性图灵机 N\rm NN 接受 , 从 字符串 w\rm ww 和 非确定性图灵机 N\rm NN 出发 , 在 多项式时间 内构造出一个逻辑公式 ,
非确定性图灵机 N\rm NN 接受 字符串 w\rm ww , 当且仅当 构造出的逻辑公式是可满足的 ;
构造该逻辑公式 :
构造如下表格 , 将整个 非确定性图灵机 N\rm NN 在字符串上作一个计算 , 计算的分支 , 通过一个表格装进去 ;
表格的 长和宽 都是 nk\rm n^knk ,
使用 布尔逻辑公式 表达该表格 , 使得它可以满足一定的条件 ;
引入如下概念 :
引入字符集 : N\rm NN 是非确定性图灵机 , 其中 Q\rm QQ 是 N\rm NN 的状态集 , Γ\GammaΓ ( 伽马 ) 是 N\rm NN 的带子的字符集 , 则有 字符集 C=Q∪Γ∪{#}\rm C = Q \cup \Gamma \cup \{ \# \}C=Q∪Γ∪{#} ;
引入原子命题变元 : xi,j,s\rm x_{i,j,s}xi,j,s , 其中 i,j\rm i , ji,j 都是 [1,nk]\rm [1, n^k][1,nk] 区间内的值 , 每个 s\rm ss 都是 字符集 C\rm CC 中的字符 ;
上述 xijs\rm x_{ijs}xijs 变元的含义是 , 如果该命题变元 xijs\rm x_{ijs}xijs 取值为真 , 当且仅当 i,j\rm i,ji,j 格子 ( 水平为 i\rm ii , 垂直为 j\rm jj 的格子 Cell ) 对应的字符是 s\rm ss ;
得到布尔逻辑公式 : 上述表格中的格子中 , 任何格子 , 只包含一个字符 , 并且只能包含一个字符 , 该公式的长度是多项式长度 ; 公式如下 :
ϕcell=∧1≤i,j≤nk[(∨s∈Cxi,j,s)∧(∨s,t∈Cs≠t(¬xi,j,s∨¬xi,j,t))]\rm \phi_{cell} =\begin{matrix} \land \\ \rm 1 \leq i,j \leq n^k \end{matrix} [ ( \begin{matrix}\rm \lor \\ \rm s \in C \end{matrix} x_{i,j,s}) \land ( \begin{matrix}\rm \lor \\ \rm s , t \in C \\ \rm s \not= t \end{matrix} (\lnot x_{i,j,s} \lor \lnot x_{i,j,t} ) ) ]ϕcell=∧1≤i,j≤nk[(∨s∈Cxi,j,s)∧(∨s,t∈Cs=t(¬xi,j,s∨¬xi,j,t))]
开始格局 : 表格中的第一行是 开始格局 , 在所有的表格中 , 一定包含了一个接受格局 , 其中一定包含了有一个状态 , 是接受状态 ;
ϕstart=x1,1,#∧x1,2,q0∧x1,3,w1∧⋯∧x1,n+2,wn∧x1,nk−1,B∧x1,nk,#\rm \phi_{start} = x_{1,1,\#} \land x_{1,2,q_0} \land x_{1,3,w_1} \land \cdots \land x_{1 , n+2 , w_n}\land x_{1 , n^k-1 , B} \land x_{1 , n^k , \#}ϕstart=x1,1,#∧x1,2,q0∧x1,3,w1∧⋯∧x1,n+2,wn∧x1,nk−1,B∧x1,nk,#
ϕaccept=∨1≤i,j≤nkxi,j,qaccept\rm \phi_{accept} = \lor _{1 \leq i,j \leq n^k} x_{i,j, q_{accept}}ϕaccept=∨1≤i,j≤nkxi,j,qaccept
转换函数 : 存在一个 2×3\rm 2 \times 32×3 的窗口 , 如果是合法的话 , 该表格中的内容 , 刚好是 非确定性图灵机 的 计算树 中的计算分支内容 ;
ϕmove=⋀1<i≤nk1<j<nk(窗口(i,j)是合法的)\rm \phi_{move} = \begin{matrix}\rm \bigwedge \\ \rm 1 < i \leq n^k \\ \rm 1 < j < n^k \end{matrix} \ \ \ ( 窗口 \ (i , j) \ 是合法的 )ϕmove=⋀1<i≤nk1<j<nk (窗口 (i,j) 是合法的)
⋁a1,⋯,a6legalwindow=(xi,j−1,a1∧xi,j,a2∧xi,j+1,a3∧xi+1,j−1,a4∧xi+1,j,a5∧xi+1,j+1,a6)\rm \begin{matrix}\rm \bigvee \\ \rm a_1 , \cdots , a_6 \\ \rm legal \\ \rm window \end{matrix} = ( x_{i, j-1, a_1} \land x_{i, j, a_2} \land x_{i, j+1, a_3} \land x_{i +1, j-1, a_4} \land x_{i + 1, j, a_5} \land x_{i + 1, j + 1, a_6} )⋁a1,⋯,a6legalwindow=(xi,j−1,a1∧xi,j,a2∧xi,j+1,a3∧xi+1,j−1,a4∧xi+1,j,a5∧xi+1,j+1,a6)
合并命题公式集合 : 将上述构造出的所有的命题公式 , 放在一起 , 就得到如下公式 :
ϕ=ϕcell∧ϕstart∧ϕaccept∧ϕmove\rm \phi = \phi_{cell} \land \phi_{start} \land \phi_{accept} \land \phi_{move}ϕ=ϕcell∧ϕstart∧ϕaccept∧ϕmove
ϕ\rm \phiϕ 的长度是 多项式长度 ,
可以将 NP\rm NPNP 中的任何计算问题 在 多项式时间中规约到 SAT\rm SATSAT 问题 ( 布尔可满足性问题 ) , 布尔可满足性问题 是 P\rm PP 中最难的问题 , 因此该问题是 NP\rm NPNP 完全问题 ;
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