一、顶点覆盖问题

顶点覆盖 ( Vertex Cover ) :

给定一个无向图 G\rm GG , G\rm GG 的点集覆盖定义 :

找到无向图 G\rm GG 的点集子集 V\rm VV ,

使得无向图 G\rm GG 中的任何一条边 , 都与点集子集 V\rm VV 的至少一个节点是接触的 ;

顶点覆盖问题 : 查看无向图 G\rm GG 中是否包含一个指定大小的满足上述要求的点集子集 V\rm VV ;

符号化表示 :

VERTEX−COVER={<G,K>∣G是无向图,包含k个节点的点集覆盖}\rm VERTEX-COVER = \{ <G, K> | G 是无向图 , 包含 k 个节点的点集覆盖 \}VERTEX−COVER={<G,K>∣G是无向图,包含k个节点的点集覆盖}

其中 k\rm kk 个节点的点集覆盖就是无向图中有 k\rm kk 个点的点集子集 , 满足点集覆盖要求 ;

点集覆盖是 NP\rm NPNP 完全问题 ;

二、哈密顿路径问题

哈密顿路径问题在图论中是很重要的问题 ;

在下图中 , 从某个顶点出发 , 将所有的顶点都走一遍, 并且每个顶点只能经过一次 ,

经过所有顶点的圈称为 哈密顿圈 ,

经过所有顶点的道路称为 哈密顿道路 , 又称为 哈密顿路径 ;

哈密顿路径问题就是找到无向图中的哈密顿路径 ;

涉及到的其它概念 :
…
途径 : 顶点和边的交替出现的序列 , 其顺序符合图中的位置即可 ;
迹 : 每个边不能相同的 途径 ;
路 : 每个点都不相同的 迹 ;
…
这三个概念 , 一个比一个严格 ;
…
闭途径 : 起点和终点相同的 途径 ;
闭迹 : 起点和终点相同的 迹 , 也称回路 ;
圈 : 起点和终点相同的 路 ;
…
GGG 指的是 Graphic 图 ;
EEE 指的是 Edge 边 ;
VVV 指的是 Vertext 顶点 ;

哈密顿路径 , 参考【图论】简单概念及公式入门 ( 完全图 | 二部图 | 连通图 | 欧拉回路 | 哈密顿圈 | 平面图 | 欧拉定理 ) 博客中的欧拉回路与哈密顿圈 ;

哈密顿路径问题是 NP\rm NPNP 完全的 ;

无向图中哈密顿路径是否存在 , 该问题也是 NP\rm NPNP 完全的 ;

前者是求出具体的哈密顿路径 , 后者求哈密顿路径是否存在 ;

三、旅行商问题

旅行商问题 : 无向图中 , 每条边都有一个权重 , 求是否有一条哈密顿路径的权重之和 , 不超过给定的自然数 W\rm WW ;

旅行商问题是 NP\rm NPNP 完全的 ;

四、子集和问题

子集和问题 : 给定一个自然数集合 , 给定一个自然数 t\rm tt , 问给定的自然数集合中 , 是否存在子集 , 使它们之和等于给定的自然数 t\rm tt ;

子集和问题是 NP\rm NPNP 完全的 ;

五、NP 完全问题

计算理论中的 NP\rm NPNP 完全问题 :

SAT\rm SATSAT 布尔可满足性问题 ;

dHAMPATH\rm dHAMPATHdHAMPATH 哈密顿路径问题 ;

TSP\rm TSPTSP 旅行商问题 ;

下图就是已知的 NP\rm NPNP 完全问题 ;

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