一、独立集问题

无向图的独立集 , 指的是在无向图中找到点集的子集 , 使得它们两两之间 , 没有边相连 ;

下图中的无向图中 , 黄色的点集是独立集 ;

独立集问题也是一个 NP\rm NPNP 完全问题 ;

二、独立集问题是 NP 完全问题证明思路

证明一个命题是 NP\rm NPNP 完全问题 :

① 证明是 NP\rm NPNP 问题 : 首先证明该问题是 NP\rm NPNP 问题 ;

② 证明是最难的 NP\rm NPNP 问题 : 然后证明所有的 NP\rm NPNP 问题 , 可以在多项式时间内规约到该命题中 ; 也可以使用一个已经证明的 NP\rm NPNP 完全问题 , 在多项式时间内规约到需要被证明的命题 ;

证明独立集题是 NP\rm NPNP 完全的 , 从已知的 NP\rm NPNP 完全问题出发 , 已知的 NP\rm NPNP 完全问题就是 3-SAT 问题 ,

如果 3-SAT 问题是 NP\rm NPNP 完全的话 ,

只要证明 3-SAT 问题可以在多项式时间内规约到独立集问题中 , 3-SAT ≤\leq≤ 独立集问题 ,

就可以证明独立集问题是 NP\rm NPNP 完全问题 ;

将 3-SAT 问题可以在多项式时间内规约到独立集问题中 ,

给定一个 3-SAT 问题的布尔逻辑公式 ,

ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z)\rm \phi = ( x \lor y \lor \lnot z) \land ( \lnot x \lor \lnot y \lor z ) \land ( \lnot x \lor y \lor \lnot z)ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z)

构造一个无向图 ,

使得布尔逻辑公式是可满足的 , 当且仅当 , 无向图中有一个 k\rm kk 独立集 ;

k\rm kk 独立集就是无向图中 k\rm kk 个节点子集 , 每两个节点之间都没有边相连 ;

证明过程 : 从给定的 3-SAT 布尔逻辑公式 ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z)\rm \phi = ( x \lor y \lor \lnot z) \land ( \lnot x \lor \lnot y \lor z ) \land ( \lnot x \lor y \lor \lnot z)ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z) 中 , 构造出一个无向图出来 , 使得该无向图可以满足 " 布尔逻辑公式是可满足的 , 当且仅当 , 无向图中有一个 k\rm kk 独立集 "

二、证明独立集问题是 NP 完全问题

任意给出一个 333 合取范式 ,

将上述公式转为无向图 : 合取范式每个子项 , 转换为三元组 , 如下图所示 ;

无向图构造原则 : 互为否定的点集 , 连接在一起 ,

没有边相连 : 下图中 x,¬y,¬z\rm x , \lnot y , \lnot zx,¬y,¬z 互相不为否定 , 三个点之间没有边相连 ;

没有边相连 : 下图中 y,¬x,¬x\rm y , \lnot x , \lnot xy,¬x,¬x 互相不为否定 , 三个点之间没有边相连 ;

有边相连 : 下图中 ¬z,z,¬z\rm \lnot z , z , \lnot z¬z,z,¬z 有两个互相为否定 , 三个点之间有 222 条边相连 ;

有边相连 : 下图中 x,¬x,¬x\rm x , \lnot x , \lnot xx,¬x,¬x 有两个互相为否定 , 三个点之间有 222 条边相连 ,

构造好的无向图 :

如果 ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z)\rm \phi = ( x \lor y \lor \lnot z) \land ( \lnot x \lor \lnot y \lor z ) \land ( \lnot x \lor y \lor \lnot z)ϕ=(x∨y∨¬z)∧(¬x∨¬y∨z)∧(¬x∨y∨¬z) 布尔逻辑公式可满足 ,

当且仅当 ,

上述最终形成的无向图中 , 一定存在着一个 333 个节点组成的独立集 ;

布尔逻辑公式中 , 给定一组真值 ,

x=true,y=true,z=true\rm x=true , y=true , z=truex=true,y=true,z=true

那么 x,y,z,¬x,¬y,¬z\rm x , y, z , \lnot x , \lnot y , \lnot zx,y,z,¬x,¬y,¬z 中取值为真的就是独立子集 ,

因此 x,y,z\rm x , y, zx,y,z 是独立子集 ;

布尔逻辑公式中 , 给定一组真值 ,

x=false,y=随意,z=false\rm x=false , y=随意 , z=falsex=false,y=随意,z=false

那么 x,y,z,¬x,¬y,¬z\rm x , y, z , \lnot x , \lnot y , \lnot zx,y,z,¬x,¬y,¬z 中取值为真的就是独立子集 ,

因此一个 ¬x\rm \lnot x¬x 两个¬z\rm \lnot z¬z 组成的点集是独立子集 ;

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一、独立集问题

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