【计算理论】计算复杂性 ( 3-SAT 是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题证明思路 )
文章目录
- 一、3-SAT 是 NP 完全问题
- 二、团问题是 NP 完全问题
- 三、团问题是 NP 完全问题 证明思路
一、3-SAT 是 NP 完全问题
布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) , 是 NP\rm NPNP 完全的 ;
3-SAT 问题 也是 NP\rm NPNP 完全问题 ;
3-SAT 问题 的逻辑公式 , 是由一些合取范式 , 这些合取范式中 , 每个子项中 , 所包含的 原子逻辑命题 或其否定命题 的 个数一定为 3\rm 33 ;
合取范式概念参考 【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 ) ;
如下逻辑公式就是 3-SAT 问题逻辑公式 : 举例说明 :
(a1∨a2∨z1)∧(z1‾∨a3∨z2)∧(z2‾∨a4∨z3)∧⋯∧(zl−3‾∨al−1∨al)\rm ( a_1 \lor a_2 \lor z_1 ) \land ( \overline{z_1} \lor a_3 \lor z_2 ) \land ( \overline{z_2} \lor a_4 \lor z_3 ) \land \cdots \land ( \overline{z_{l-3}} \lor a_{l-1} \lor a_l )(a1∨a2∨z1)∧(z1∨a3∨z2)∧(z2∨a4∨z3)∧⋯∧(zl−3∨al−1∨al)
SAT 与 3-SAT 问题是相互等价的 , 如果一般的命题逻辑公式 (a1∨a2∨⋯∨al)\rm ( a_1 \lor a_2 \lor \cdots \lor a_l )(a1∨a2∨⋯∨al) 是可以满足的 , 当且仅当 (a1∨a2∨z1)∧(z1‾∨a3∨z2)∧(z2‾∨a4∨z3)∧⋯∧(zl−3‾∨al−1∨al)\rm ( a_1 \lor a_2 \lor z_1 ) \land ( \overline{z_1} \lor a_3 \lor z_2 ) \land ( \overline{z_2} \lor a_4 \lor z_3 ) \land \cdots \land ( \overline{z_{l-3}} \lor a_{l-1} \lor a_l )(a1∨a2∨z1)∧(z1∨a3∨z2)∧(z2∨a4∨z3)∧⋯∧(zl−3∨al−1∨al) 逻辑公式也是可以满足的 ;
二、团问题是 NP 完全问题
团问题是 NP 完全问题
团 是一个无向图 点集 的 子集 , 使得 该点集子集 中 任何两个节点之间都有边相连 ;
团问题 就是 判定无向图中 , 是否包含有 k\rm kk 个节点的 团 ;
上述团问题 , 是 NP\rm NPNP 问题 ;
给定一个无向图 , 其中有一个 n\rm nn 个节点组成的集合 , 验证该 n\rm nn 集合是否是团 ;
验证的方法就是看这 n\rm nn 元集中的节点之间两两之间是否有边相连即可 ;
验证所花的时间是多项式时间 , 该计算问题在 NP\rm NPNP 中 ;
三、团问题是 NP 完全问题 证明思路
证明一个命题是 NP\rm NPNP 完全问题 :
① 证明是 NP\rm NPNP 问题 : 首先证明该问题是 NP\rm NPNP 问题 ;
② 证明是最难的 NP\rm NPNP 问题 : 然后证明所有的 NP\rm NPNP 问题 , 可以在多项式时间内规约到 该命题中 ; 也可以使用一个已经证明的 NP\rm NPNP 完全问题 , 在多项式时间内规约到 需要被证明的命题 ;
证明 团问题 是 NP\rm NPNP 完全的 , 从已知的 NP\rm NPNP 完全问题出发 , 已知的 NP\rm NPNP 完全问题就是 3-SAT 问题 ,
如果 3-SAT 问题是 NP\rm NPNP 完全的话 ,
只要证明 3-SAT 问题 可以在 多项式时间内规约 到 团问题 中 , 3-SAT ≤\leq≤ 团问题 ,
就可以证明 团问题 是 NP\rm NPNP 完全问题 ;
将 3-SAT 问题 可以在 多项式时间内规约 到 团问题 中 ,
给定一个 3-SAT 问题 的 布尔逻辑公式 ,
ϕ=(x1∨x1∨x2)∧(x1‾∨x2‾∨x2‾)∧(x1‾∨x2∨x2)\rm \phi = ( x_1 \lor x_1 \lor x_2 ) \land ( \overline{x_1} \lor \overline{x_2} \lor \overline{x_2} ) \land ( \overline{x_1} \lor x_2 \lor x_2 )ϕ=(x1∨x1∨x2)∧(x1∨x2∨x2)∧(x1∨x2∨x2)
构造一个 无向图 ,
使得 布尔逻辑公式 是可满足的 , 当且仅当 , 无向图中有一个 k\rm kk 团 ;
k\rm kk 团就是无向图中 k\rm kk 个节点子集 , 每两个节点之间都有边相连 ;
证明过程 : 从 给定的 3-SAT 布尔逻辑公式 ϕ=(x1∨x1∨x2)∧(x1‾∨x2‾∨x2‾)∧(x1‾∨x2∨x2)\rm \phi = ( x_1 \lor x_1 \lor x_2 ) \land ( \overline{x_1} \lor \overline{x_2} \lor \overline{x_2} ) \land ( \overline{x_1} \lor x_2 \lor x_2 )ϕ=(x1∨x1∨x2)∧(x1∨x2∨x2)∧(x1∨x2∨x2) 中 , 构造出一个无向图 出来 , 使得该无向图可以满足 " 布尔逻辑公式 是可满足的 , 当且仅当 , 无向图中有一个 k\rm kk 团 "
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