POJ 3696 欧拉函数+快速幂

题目的意思大概就是问是否存在一串全是8的数字是L的倍数

直接想没有什么想法，要想到用简洁的形式将这个数字表示出来，对于每一位都是8的数字我们可以用
X=8*(10^k-1)/9的形式表示出来，那么题目的意思就是求X使L|X，我们先处理一下8和L，即除去他们的最大公约数，然后就是L’|(10^k-1)/9，即就是10^k-1|9L’我们用L’'表示9L’

问题就转化成了要求10^k-1%L’’==0，10^k=1（mod L’’）(其实找的是在模L’'剩余系中10的阶)

如果10和L’'不互质那么10没有阶

由欧拉定理我们得知，10^f(L’’)=1（mod L’’），因此阶一定是f(L’’)的因子，其中f(n)代表的是n的欧拉函数，因此我们从小到大查找欧拉函数值的所有因子直到找到阶

在这种思路下有如下代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<climits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+5;ll L;ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);
}ll phi(ll x)
{ll ret=1;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ret*=(i-1);x/=i;while(x%i==0){ret*=i;x/=i;}}if(x==1) break;}if(x>1) ret*=(x-1);return ret;
}ll mult(ll a,ll b,ll t)
{a%=t; b%=t;ll ret=0;while(b){if(b&1){ret+=a; if(ret>t) ret-=t;}a<<=1; b>>=1;if(a>t) a-=t;}return ret;
}ll quick_pow(ll a,ll b,ll t)
{ll ret=1;a%=t;while(b){if(b&1) ret=mult(ret,a,t);a=mult(a,a,t);b>>=1;}return ret;
}int main()
{int Case=0;while(~scanf("%lld",&L) && L){++Case;ll t=gcd(8,L);L=L/t*9;ll ans;if(L%2==0 || L%5==0){ans=0;}else{t=phi(L);ans=-1;//printf("t=%lld\n",t);ll tt=sqrt(t)+1;for(ll i=1;i<=tt;i++){if(t%i==0 && quick_pow(10,i,L)==1){ans=i;break;}}if(ans<0)for(ll i=tt;i>0;i--){if(t%i==0 && quick_pow(10,t/i,L)==1){ans=t/i;break;}}}printf("Case %d: %lld\n",Case,ans);}return 0;
}

这里求欧拉函数值的用了p为素数，f(p^k)=(k-1)*p^k-1。然后在遍历欧拉函数因子的时候用到一个技巧：任何一个数的因子都可以和另一个因子相乘得到这个数，这两个因子中一个大一个小，小的一定小于等于sqrt(n)，因此我们在查找因子的时候不要遍历1—n，而是先遍历1—sqrt(n)查找较小的因子，如果没有找到，再从sqrt(n)—1,查找相对应的较大的因子，这样就将原来O(n)的复杂度降低为O(logn)的复杂度,十分巧妙

这里放一个优化版本的

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<climits>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+5;ll L;ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);
}ll phi(ll x)
{ll ret=x;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ret=ret/i*(i-1);x/=i;while(x%i==0){x/=i;}}if(x==1) break;}if(x>1) ret=ret/x*(x-1);return ret;
}ll mult(ll x, ll y, ll p)
{long double d=1;d=d*x/p*y;return ((x*y-((ll)d)*p)%p+p)%p;
}ll quick_pow(ll a,ll b,ll t)
{ll ret=1;a%=t;while(b){if(b&1) ret=mult(ret,a,t);a=mult(a,a,t);b>>=1;}return ret;
}int main()
{int Case=0;while(~scanf("%lld",&L) && L){++Case;ll t=gcd(8,L);L=L/t*9;ll ans;if(L%2==0 || L%5==0){ans=0;}else{t=phi(L);ans=-1;//printf("t=%lld\n",t);ll tt=sqrt(t)+1;for(ll i=1;i<=tt;i++){if(t%i==0 && quick_pow(10,i,L)==1){ans=i;break;}}if(ans<0)for(ll i=tt;i>0;i--){if(t%i==0 && quick_pow(10,t/i,L)==1){ans=t/i;break;}}}printf("Case %d: %lld\n",Case,ans);}return 0;
}

主要优化了快速幂中long long 乘法部分和欧拉函数值的求值.

这里欧拉函数值的求法用到欧拉函数容斥原理求法.即
f(n)=n∗(p1−1)/p1∗(p2−1)/p2∗.....∗(pk−1)/pkf(n)=n*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*.....*(pk-1)/pkf(n)=n∗(p1−1)/p1∗(p2−1)/p2∗.....∗(pk−1)/pk这里pi为n的素因子

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