复合函数求导定义证明_复合函数的求导法则怎么证明？

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复合函数的求导法则证明：

例如：要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。

首先，根62616964757a686964616fe58685e5aeb931333365643661据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0

设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)

就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h

同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k

所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)

所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h

=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]

当h->0时，u和v都->0，这个容易看。

所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]

=f'(g(x))·g'(x)

然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)

证毕

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。

微积分课本里面有详细的证明过程：

对于y=f[g(x)], 设u=g(x),则可以得到y=f(u),对其两边求导后得到，dy/du=f'(u)-----(1).

同样的，对于u=g(x),可以得到du/dx=g'(x)------(2)

(1)，(2)相乘得到dy/dx=f'(u)g'(x)

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