复合函数求导的链式法则

2024-05-26 07:51:26

定义

若有两个一元函数 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) ，我们可以把 ggg 的函数值作为 fff 的自变量，得到一个新的函数称为 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 的复合函数，记为 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]。

如果我们已知上述两个函数 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 的导函数 f′(x)f^{\prime}(x)f′(x) 和 g′(x)g^{\prime}(x)g′(x) ，那么我们可以通过以下公式求复合函数 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)] 的导数。f[g(x)]′=f′[g(x)]g′(x)f[g(x)]^{\prime}=f^{\prime}[g(x)] g^{\prime}(x)f[g(x)]′=f′[g(x)]g′(x)

多重复合函数

以 f[g(h(x))]f[g(h(x))]f[g(h(x))] 为例，要对多重复合函数 f[g(h(x))]f[g(h(x))]f[g(h(x))] 求导，可以先对 g[h(x)]g[h(x)]g[h(x)] 求导得 g′[h(x)]h′(x)g^{\prime}[h(x)] h^{\prime}(x)g′[h(x)]h′(x) ，再得到 f[g(h(x))]′=f′[g(h(x))]g′[h(x)]h′(x)f[g(h(x))]^{\prime}=f^{\prime}[g(h(x))] g^{\prime}[h(x)] h^{\prime}(x)f[g(h(x))]′=f′[g(h(x))]g′[h(x)]h′(x) 其它任意多重的复合函数求导同理可得。

链式法则

至于复合函数的求导公式为什么称为链式法则，原因是如果把表示过程用导数的另外一种符号表示如下:dy=dydudu=dydududxdx\mathrm{d} y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \mathrm{~d} u=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} xdy= dudy du= dudy dxdu dx 得到：dydx=dydududx\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} dxdy= dudy dxdu

举例

求函数 f(x)=(x2+1)3f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}f(x)=(x2+1)3 的导数。

可设 g(x)=x2+1,h(g)=g3g(x)=x^{2}+1, h(g)=g^{3}g(x)=x2+1,h(g)=g3，那么则有 h(g(x))=g(x)3h(g(x))=g(x)^{3}h(g(x))=g(x)3 。

则求解过程为，f′(x)=[h(g(x))]′=h′(g(x))g′(x)=3(g(x))2(2x)=3(x2+1)2(2x)=6x(x2+1)2f^{\prime}(x)=[h(g(x))]^{\prime}=h^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)=3(g(x))^{2}(2 x)=3\left(x^{2}+1\right)^{2}(2 x)=6 x\left(x^{2}+1\right)^{2}f′(x)=[h(g(x))]′=h′(g(x))g′(x)=3(g(x))2(2x)=3(x2+1)2(2x)=6x(x2+1)2

复合函数求导的链式法则相关推荐

偏导数，方向导数，梯度，多元复合函数求导
偏导数方向导数梯度在某一点上的偏导数与方向导数的结果是一个数值. 在某一点上的梯度是一个向量. 多元函数多元复合函数求导(链式法则) 例1 例2 例3
第二章：1、复合函数求导
1.复合函数求导复合函数就是多个函数把它嵌套起来.复合函数关键理解就是:内层函数的输出是外层函数的输入. 复合函数的求导法则:链式法则因为复合函数是一层一层的由内向外的复合而得:那么复合函数的求导 ...
复合函数求导经典例题_简单复合函数求导法则(最经典).ppt
简单复合函数的求导法则 * 青铜峡一中王彦文知识回顾 Title 函数导函数 1.导数公式表 2.导数的四则运算法则: 设函数 u(x).v(x) 是 x 的可导函数,则推论:[c· f(x) ...
两边同时取对数求复合函数_【函数与导数】复合函数求导的几个妙用
已经消失一段时间了~ 最近开始学习导数,接触到了一些比较神奇的结论和方法. 如果有时间的话,会慢慢归类整理上来. 复合函数求导是高考中必须掌握的东西,内容如下:设 ,对求导得: 而用复合函数求导法可 ...
复合函数求导经典例题_复合函数求导练习试题.doc
WORD格式可编辑专业技术资料整理分享复合函数求导练习题一．选择题(共26小题) 1．设,则f′(2)=( ) A．B．C．D． 2．设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点( ...
两边同时取对数求复合函数_e2x求导(复合函数求导例题大全)
ln(ex +√(1 +e2x))'=1/[e^内x+√容(1+e^2x)]*[e^x+√(1+e^2x]'=[e^x+e^2x/√(1+e^2x)]/[e^x+√(1+e^2x)]==[e^x+e^ ...
复合函数求导定义证明_复合函数求导法则证明方法的探讨
第期总第期年月黎明职业大学学报名哪哪工犯性洲关] 复合函数求导法则证明方法的探讨黄永正摘要法则 .关键词本文论述复合函数求导法则证明的另一种方法 , 并用此方法论证参 ...
复合函数求导经典例题_【2017年整理】多元函数求导经典例题.ppt
[2017年整理]多元函数求导经典例题多元函数习题课;一学习要求;(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;;偏导数的应用;二.主要内容; ...
9.4 多元复合函数求导
本篇内容为多元复合函数的求导法则,内容其实难度还是不大的,但是作者看的时候有点费力,可能是因为我脑子慢吧,这篇写的时候我会尽可能的写的好理解一点,不管是我以后重新看还是大家拿去看都能省点心. emmm ...

最新文章

热门文章