第二章：1、复合函数求导

1、复合函数求导

复合函数就是多个函数把它嵌套起来。复合函数关键理解就是：内层函数的输出是外层函数的输入。

复合函数的求导法则：链式法则

因为复合函数是一层一层的由内向外的复合而得；那么复合函数的求导链式法则就是由外层向内层逐步的求导，即一层一层的求下去。

对于一般的映射可以理解成输出是一个向量， $h=f\circ g$ 这个映射满足 $Jh(u^{0})=Jf(x^{0})\cdot Jg(u^{0})$ 其中 $Jf$ 是 $f$ 的雅克比矩阵，这个矩阵的第一行第一列呢因为 $f$ 是一个映射，这个第一行第一列是 $f_{1}$ 关于 $x_{1}$ 求偏导。第一行第二列是 $f_{1}$ 关于 $x_{2}$ 求偏导。第二行第一列就是 $f_{2}$ 关于 $x_{1}$ 求偏导，第二行第二列就是 $f_{2}$ 关于 $x_{2}$ 求偏导。如果有了复合函数h的雅克比矩阵，其实是拿到了这个映射h的整个的复合函数求导。整个复合函数的求导等于 $f$ 的雅克比矩阵乘以 $g$ 的雅克比矩阵。

由外向内在求导，第一层是y关于 $x_{1}$ 求偏导，内部一层就是关于 $u$ 在求偏导。

Jacobian Matrix(雅可比矩阵)：

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

具体查看：https://wenku.baidu.com/view/4707bfd176a20029bd642d8c.html

2、重积分：连续的分割求和取极限。

一元积分(一重积分)是想求的曲边梯形的面积。即分割求和取极限(把它分割成一个个的小矩形，让这些矩形的宽度趋于0，算这些矩形的面积)

二重积分：求体积(曲面下曲边柱体的体积)(先求曲线下每一小块的面积 $\triangledown A_{i}$ ，再求每一小块对应的高度，最后求体积；思想：分割求和取极限)。

三重积分：（分割定义域，分割成一小块一小块的，每一小块的体积叫做 $\triangledown V_{i}$ ，每一小块的体积乘上这一小块的位置所处的函数值，乘完之后后，求和取极限这个就是三重积分。）

三重积分可视化展示的话需要的是4个轴，画4维物体。分别是X，Y，Z，f。相当于在四维空间中画一个三维的物体。

三重积分的应用，有一个铁块，知道每一小块的密度之后，求铁块的质量，f就是密度，他随着每一小块的位置不同密度不一样，想要计算这个铁块的质量就得使用三重积分。

二重积分可以算面积，三重积分可以算体积，如何算体积呢？答：对这个区域做积分，被积的函数等于1。如下：

在直角坐标系下;dv=dxdydz；在极坐标系下：dv=rdrdθdz

3、偏导数与全微分

微分：局部线性化。求微分就是局部线性化。

如果一个函数他是可以微分的，这就说明这个函数在局部(这个小的局部放大的看就是近似一个平面，平面的方程是 $z-z_{0}=A(x-x_{0})+B(y-y_{0})$ ，假设我们取的点是 $z_{0}=f(x_{0},y_{0})$ 那么在这个点附近我们可以使用平面 $\triangle z=A\triangle x+B\triangle y$ 来代替， $\triangle x,\triangle y,\triangle z$ 就变成了一个局部坐标系，之后让 $\triangle x,\triangle y$ 都趋近与0，把 $\triangle$ 写成 $d$ ，这个函数的全微分就是 $dz=Adx+Bdy$ 其中A和B就是平面方程的两个系数，此时 $\triangle z(\triangle x,\triangle y)$ 其实 $\triangle z$ 是 $\triangle x$ 和 $\triangle y$ 的函数，而且是一个线性函数，因为是一个平面，要求A的话就让 $\triangle y$ 等于0， $\triangle z$ 对 $\triangle x$ 求导，也就是偏z和偏x，就是偏导；B同理。)

一元函数的话，局部线性化之后就是一个一次函数；如果是二元函数的话，局部线性化之后就是一个平面。

一元函数的导数他是一个数，多元函数的导数他是一个矩阵，叫做雅克比矩阵。

雅克比矩阵描述的是说：在这一点局部的坐标变换最接近于哪一个线性变换，这就是雅克比矩阵的几何意义。

雅克比矩阵行列式。雅克比矩阵的行列式就叫雅克比值。

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重积分换元一定要乘以一个雅克比，来保证他们的面积是相同的。类比于一元积分换元时要多乘以一个导数。这个导数确实就是雅克比矩阵行列式（1x1矩阵的行列式就是这个数字本身了）。

极坐标与直角坐标：极坐标就是一个圈一个圈的跟雷达似的。

PS：多元函数微分的宗旨就是局部线性化，求全微分。输出量就是输入量的线性组合，组合的系数就是求偏导数。

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