复合函数求导定义证明_复合函数求导法则证明方法的探讨
第 期 总第 期年 月 黎明职业大学学报名 哪 哪工犯 性洲关〕 复合函数求导法则证明方法的探讨黄 永 正 摘要法则 。关键词 本文论述复合函数求导法则证明的 另 一种方法 , 并用 此 方 法论证参数方程求导 复合函数 求导法则 证明 众所周知 , 复合函数求导法则的经典证明方法和参数方程求导法则 的经典证明一直延用至今 。 关于复合函数求导法则的经典证明方法 , 对初学高等数学的人来说往往感到 比较 抽象 , 难 以掌握 而关于参数方程求导法则的证明则存在必须先引用待学的 “ 隐函数存在定理 ” 的缺点 。 为此 , 我们给出这两个法则的另一种证明方法 。 一 、 关于复合函数求导法则的证明 法 则 如果 甲 劝 在点 甸可导 , 而 。 在点 。 甲 翔 可导 , 则复合 函数 师 〕在点 句可导 , 且其导数为 证 明 、改 ⋯。、 由于 甲 劝 在点 句可导 , 了 ’ 坳 · 甲‘ 甸 因此 细 , , 、 黑而 一 甲 、句 , , 根据函数在某点可导 , 必在该点连续的性质知道 , 当 △二号 时 , 有 △ 号 或 △ 二两种情况存在 。 同理 , 由于 在 吻 甲 翔 处可导 , 因此 鱼笠 一 山 , 例」 ‘二 ‘ 询 。 黎 明 职 业 大 学 学 报 性涎涎 年 情况一 当 酝分 时 , 细 , 翔处 二 鱼卫 , 二 , 全』 卫些 、 瑟萄 纽 盆苟 、 劫 酝 尹涌 全 细茄肠 细 ‘石一 △ 一 恕瓮 · , ‘“ ’ 于 询 ·丫 甸 , 。 瓮 ⋯ 二 一 、一 ,, 、 , · , 、 , 情况二 当 时 , 细 一 , 在 、处 , 这时有 、 ‘、 , 一 恕瓮一 , 又 , 在 询 甲 甸 可导 , 因而 于 询 有意义 。 由于 么一沁 时 , 如 , 从而导致 △ , 这时不妨令 业 。 , — , 翔 这时亦有 要 一 , , ·‘ “ ,。 人 二 甸综合上述两种情况 , 本法则得证 。 二 、 关于参数方程所确定的函数的导数 传统的由参数方程所确定 的函数的导数的推理 , 除要求条件 “ 一般地 , 若参数方程甲 , 二 少 , 所确定的 与 的 函数关系 , 又若函数 甲 劝 、 。 中 都可导 , 而且 工 丫 笋 ’ 外 , 还必须假定 “ 函数 二 , 具有单调连续反 函数 甲一 ’ 一 ‘ ” 这一条件 。 后面这一条件 , 对 尚未学 习过隐函数存在定理的学生来说 , 无疑是个障碍 。 采用类似上述的证明方法能摆脱束缚使问题顺利解决 。 证明 因为 工 甲 可导 , 且 丫 护 , 所以 改 和 纽 是同阶无穷小 只有 丫时 , 酞 才是 改 的高阶无穷小因而 , 改弓 时 , 有 么令 反之亦然 。 △月旦且 仁 鱼 』一 。 一丝二 一 瑟萄 怂 崖瑟菊 公改 第 期 复合函数求导法则证明方法的探讨 又 中 可导 , 少一 下 “ 业酝一改 蜘一腼蜘卫‘ 一 同理 , 我们还可证明由参数方程所确定的函数的二阶导数公式正只 一兰上上处担止更土史延立时 〔丫二 。。 止工 , 鱼上二 日七 , , , 一 山一粗 ‘ △ ‘ 改 一 思 一瓦一以 丫 〕 参 考 文 献 樊映川编者 高等数学 人民教育出版社 , 陈传璋等编著 数学分析 人民教育出版社 , 印 责任编辑 东 红
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