跟着陶哲轩一起学数学(二): 罗素悖论

2024-05-09 08:41:03

罗素悖论的产生

分类公理:

y 属于 {x : P(x) 为 真}  <=> P(y)为真

看上去好像没什么毛病，但是它导致了一个逻辑上的一个矛盾:
当P(x) 表示下述命题时:

P(x)  <=>  "x 是一个集合， 并且 x 不属于 x"

简单来说，当x是一个不包含自身的集合，使得P(x)为真
于是我们可以构造这样一个集合U:

U := { x : P(x) 为真 } = { x : x 是一个集合， 且 x 不属于 x }

我们对U进行讨论: 它是否包含自身?
看到这里的时候我已经懵逼了，还有集合是包含自身的? 那不会违反集合的同一性了吗?

是否存在包含自身的集合?

根据陶哲轩的说法，实际上是存在的，这就是其中一个例子:
如果定义一个 S 表示由所有集合构成的集合，因为S自身是一个集合，因此 S 属于 S.

所以包含自身的集合是存在的!

于是我们入正题:
如果U不包含自身，由分类公理得P(U)为真: U是一个集合且 U 不属于 U
如果 U 包含自身, 由分类公理会认为P(U)为真: U是一个集合且 U 不属于 U，而实际上P(U)为假。
于是，由分类公理得，当P(U)为真时，可以得出 U 属于 U 和 U 不属于 U的结论，产生了矛盾.

如何使得罗素悖论不会出现

很简单, 我认为罗素悖论的存在是因为它考虑了集合可以包含于自身，于是我们可以规定集合不能包含于自身，而这个公理就叫做正则性.

启示

虽然书上写着这是选学的内容，但是兴趣还是吸引了我。学完了集合的基础知识后，让我更加"底层"地学习了集合，实际上那些集合的运算都是根据选择公理和分类公理定义的。

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