跟着陶哲轩一起学数学(一): 习题3.1.6: 证明德摩根定律

2024-05-08 21:25:33

证明德摩根定律

X / (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)

和

X \ (A 交 B)  = (X \ A) U (X \ B)

不妨先设几个数据一下看看定律是否正确:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
易得
A U B 为 {1, 2, 3, 4, 6}
X \ (A U B) 为 {5}
X \ A 为 {5, 6}
X \ B 为 {1, 5}
因此 (X \ A) U (X \ B) 为 {5}
所以 X \ (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)

再来看看第二个:
A 交 B 为 {2, 4}
X \ (A 交 B) 为 {1, 5, 6}
(X \ A) U (X \ B) 为 {1, 5, 6}
所以 X \ (A 交 B) = (X \ A) U (X \ B)

可以看出上述集合遵守德摩根定律

证明过程

看了<<陶哲轩实分析>>前面部分的证明套路, 个人理解就是进行分类讨论，我们就来讨论X / (A U B)是否为空集：
1.当 X \ (A U B) 不为空集时且存在元素x属于 X \ (A U B):
先看等式左边:
根据差集公理可知x 属于 X 且x 不属于 (A U B)
又根据并集公理得 x 属于 X 且x 不属于 A 且x 不属于 B
再看右边:
还记得有这么一个定义:

x 属于 S1 交 S2 <=> x属于S1 且 x 属于S2

所以x 属于 (X \ A) 交 (X \ B)就可以看做是:

x 属于 (X \ A) 且 x 属于 (X \ B)

又由差集定义得:

A \ B := {x 属于 A : x 不属于 B}

可知:

x 属于 X 且 x 不属于 A, x 属于 X 且 x 不属于 B

天啊! 与右式得出的结论相等!
当然这只是 X \ (A U B) 不为空集时的情况.
2.当 X \ (A U B) 为空集时
用反证法可知(X \ A) 交 (X \ B)也为空集

综上, X \ (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)成立.

同样，用刚刚的思想就可以证明等式2，由于篇幅问题，过程就不写了，请读者自行推理!

启示

这几天读了<<陶哲轩实分析>>后，发现推导过程都离不开公理和定义，结论都是由公理和定义得出的。所有思考数学问题时，从公理和定义出发，问题总会被解决!

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