2015年9月17日，美国加州大学洛杉矶分校的数学家陶哲轩（Terence Tao）宣布破解埃尔德什猜想（the Erdős Discrepancy Problem），整个数学界为之兴奋。

同样的兴奋也传到包括笔者在内的普通数学爱好者的圈子。在陶哲轩将证明提交到论文预印网站www.arXiv.com 后的短短几个小时后，笔者的微信朋友圈、微博和知乎的时间线都被“陶哲轩攻克埃尔德什猜想”这条消息刷屏。

图1：1992年秋天，埃尔德什（Paul Erdös）在一场学生学术讨论会上。

来源：Wikimedia

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 埃尔德什差异问题

“埃尔德什差异问题”之所以备受关注，大概有两个原因，其一是，它的命题有一种数学所独有的简洁的美感——这个命题是如此的通俗易懂，没有任何数学背景的人也几乎可以轻松理解。可以用最通俗的方法描述这个问题：　　

首先，随意抛一枚硬币，如果得到正面，则记为1，得到反面，则记为 -1。将硬币抛无限多次，则得到一组由1和-1组成的无穷数列，比如

　　-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,…

其次，任意取一个自然 N，也就是说，N 可以为 0,1,2,3,4,5……然后，我们在上面无穷数列中取出从头开始的连续几个倍数，得到一个有限数列。比如，如果我们取N = 2, 我们可以取出无穷数列中第2个和第4个数，可以取第2，4，6个数，也可以取第2，4，6，8个数… 以取出第2，4，6，8个数为例，则我们从上面的无限数列中得到

　　1,1,1,-1

随后，我们可以计算所取出的子数列的和的绝对值。在上述例子中，和的绝对值为：

　　abs(1+1+1+(-1)) = 2。

（编者注：abs表示求绝对值）

在此基础上，“埃尔德什差异问题”就是：如果我继续抽取下去：取第2,4,6,8,10……个数，我们能使得新的数列和的绝对值大于任意给定的自然数C吗？

这个看似简单的命题，却长时间未被攻克。80多年前，埃尔德什曾悬赏奖金500美元，希望有人能够证明他的猜想，可直到他1996年去世，都无人挑战成功。“埃尔德什差异问题”上次出现在人们视野中的时候还是2014年，当时英国计算机专家阿列克谢•利什特沙（Alexei Lisits）和鲍里斯•科涅夫（Boris Konev）宣布，借助计算机证明了埃尔德什猜想的一个特殊情况，即C小于等于2 的情况。其运算数据量达13GB之多。

图2：为证明 C = 2，什特沙和科涅夫在论文中构建的自动机。

图片来源：什特沙和科涅夫论文中的图一https://arxiv.org/abs/1402.2184

这时，陶哲轩来了。但凡对数学稍有了解，你一定听闻过他的大名：陶哲轩12 岁获得 IMO 金牌，21岁获得博士学位，24岁被评为正教授，31岁获得菲尔兹奖。大概每一个数学爱好者都浏览过他的博客，拜读过他所撰写的 Analysis I and II, An introduction to measure theory 等条理清晰又自成体系的教材。从开始接触“埃尔德什差异问题”到最终完成证明，陶哲轩仅花了两周的时间。由传奇的人物解决了传奇的问题，这大概是“埃尔德什差异问题”备受关注原因之二。　　

在伟大的数学工作中，其伟大往往是由猜想的提出者和证明者互相成就的。埃尔德什差异问题的提出者埃尔德什，又是何许人也呢？

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 数学界的伯乐

如果你上网搜索，就会看到如下的保罗•埃尔德什：1984年沃尔夫奖获得者，20世纪最伟大的数学家之一；其一生参与了1 475篇高质量论文的写作，是历史上发表论文数量第二多的数学家（第一为欧拉）；他在数论、集合、几何等多个领域提出和解决了许多棘手的难题，建立了离散数学领域；虽然他从没有碰过电脑却为计算机科学打下了基础；他一生获得了众多荣誉，是多个著名学术机构的成员，包括英国皇家学会，美国国家科学院……

然而，以上只是冰冷的事实集合而已。想要了解一个有血有肉的埃尔德什，或许我们可以从他与陶哲轩的交集入手，一窥前者的数学界地位和人格魅力……

这两位传奇人物的互相成就，远早于“埃尔德什差异问题”的解决。

2013年，正值埃尔德什的百年诞辰。陶哲轩在其个人社交网络贴出了一张颇有意义的照片：一位头发花白、身着西装的老人与一个穿着蓝灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿着纸张，另一只拿着笔的手放在鼻子下面，小男孩也低头注视着纸面。因为过于专注，两人都没有注意到镜头。照片中的老人就是埃尔德什，小男孩则是时年10岁的陶哲轩。这是陶哲轩第一次见到埃尔德什。六年之后，16岁的陶哲轩在埃尔德什的推荐下前往普林斯顿大学攻读博士学位。

图3：埃尔德什（左）在仔细检阅10岁的陶哲轩（右）写的论文。

图片来源：美国数学协会(AMS)博客

http://blogs.ams.org/blogonmathblogs/2015/09/29/that-time-terrence-tao-won-500-from-paul-erdos/#sthash.96yUryE2.dpbs

而当陶哲轩证明出“埃尔德什差异问题”后，媒体问他是否会领取埃尔德什80年前悬赏的500美元奖金时，陶哲轩是这样回答的：“埃尔德什在世的时候，传统的做法不是兑换现金，而是将支票裱起来。”

以上两个故事足以说明埃尔德什对陶哲轩的影响之大。事实上，陶哲轩仅仅是埃尔德什所发掘的众多数学新星中的一位。“埃尔德什对数学做出了巨大贡献，但我认为他更大的贡献在于他造就了大量的数学家。”英国卡尔加里大学的数学家理查德•盖伊（Richard Guy）说。

埃尔德什发掘的数学人才不胜枚举。1974年，埃尔德什在印度见到大学生克里希纳斯瓦米•阿拉底（Krishnaswami Alladi），被阿拉底的天分所打动，遂为其写推荐信，使其获得了加州大学洛杉矶分校的校长奖学金。后来，阿拉底成为了美国佛罗里达大学数学教授、《拉马努金期刊》主编和拉马努金奖金委员会主席。1980年代，当听说一个名为格伦•怀特尼（Glen Whitney） 的年轻人想去哈佛读书，但差一点学费后，埃尔德什安排与他相见，并借给这个年轻人1 000美金。十年后，怀特尼在密歇根大学谋得了教职，可以还钱了，埃尔德什却说：“拿那1 000美元做我做过的事情。”如今，怀特尼已成为了美国国家数学博物馆（National Museum of Mathematics）的馆长，致力于面向大众，尤其是青少年的数学科普。

1984年，埃尔德什获得了来自沃尔夫数学奖的5万美金奖金，仅仅留下720美金后，将其余大部分捐给了以其父母名义设立的奖学金，用以资助数学天才……可以说，埃尔德什是几辈数学家的伯乐。

图4：美国国家数学博物馆。

图片来源：纽约时报。

http://www.nytimes.com/2013/07/30/science/science-events-math-games-and-cloud-machines.html?_r=0

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令人又爱又恨的合作者

“拉尔夫，你还活着吗？”一天清晨，埃尔德什趿拉着拖鞋，站在孟菲斯大学数学家福德里的卧室门前叩响他的房门字，这并不是因为福德里生病了，而是埃尔德什在喊他起床工作。
这就是埃尔德什的工作方式—— 他总是充当不速之客的角色，出人意料的敲开某个数学家的家门：“我的脑袋打开了！” 然后闪进房间，通宵达旦与对方一起探讨数学问题，有时甚至会邀请上更多的人一起探讨。

他常常在一个合作者家中呆上几天，然后前往下一个合作者那里。他会在凌晨四点在厨房演奏一出锅碗瓢勺的打击乐，然后当主人睡眼惺忪的走到他面前，兜头便说，“设N是整数，K是......”

“等他呆上一两个星期后你都快要崩溃了，但他走后的几天里，你还会不断接到他的电话：‘证明完成了吗？你把它交给打字员了吗？’”福德里说。

然而当埃尔德什消失一段时间后，他的合作者更多的是怀念。1936年，匈牙利数学家安德鲁•瓦兹索尼（Andrew Vazsonyi）想把一个经典图论问题“哥尼斯堡七桥问题”推广到无限维，研究了很长时间后依然只得到了定理的必要条件，无法找到充分条件。适逢埃尔德什也在匈牙利，身为好友的两人几乎天天见面。“但是我犯了一个致命的错误，我在电话里把自己的研究告诉了他。”瓦兹索尼回忆道。仅仅在20分钟之后，他便接到了埃尔德什的电话，被告知已经找到了解决方法。随后，埃尔德什就离开了。瓦兹索尼在被埃尔德什访问期间“不堪其扰”后无奈地说道：“他离开后出现了一个空白。我无法继续图论的研究工作。”埃尔德什就是这样让一些合作者又爱又恨。

其实，埃尔德什并不是一个以自我为中心的人——他对合作者的“骚扰”更多是出于他对数学单纯的热爱。事实上，埃尔德什富有爱心、温暖、也热爱社交，这也可以从他与合作者的交往上体现出来。曾有一次，埃尔德什的朋友数学家斯塔尼斯拉夫•马尔钦•乌拉姆（Stanisław Marcin Ulam）因大脑发炎需要开颅手术。手术后，乌拉姆的智力下降的很厉害。这天，乌拉姆的妻子扶着他刚刚迈出医院大门，就看到埃尔德什上蹿下跳地出现了。

“真高兴你还活着，要不然我不但要为你写讣告，还要独自完成咱们的论文。你现在回家吗？咱们一起走吧。”埃尔德什说。

接着他和乌拉姆一起上了车，一路上不停的缠着乌拉姆讨论数学。刚一到家，又缠着乌拉姆与他下棋。这让乌拉姆的妻子非常担心，不过她很快发现埃尔德什是希望借此帮助乌拉姆恢复智力和对数学的信心。接着他在乌拉姆家呆了两周。

“我对埃尔徳什的帮助终身难忘，是他帮助斯坦在数学上又踏踏实实的站稳了脚跟。”乌拉姆的妻子如此说道。

埃尔德什去世的时候，仅仅留下了25 000美金。而他还在计划与其他数学家一起讨论如何拿这些钱去帮助其他数学家们。

直到1996年，埃尔德什去世，他与485名合作者一共发表了近1 500余篇论文，也因此成为了世界上发表论著仅次于欧拉的数学家。因其发表论文数量之多，合作人数之多，在数学界便有“埃尔德什数”（简称“埃数”）用于表示研究者与埃尔德什间的合作距离。埃尔德什本人的“埃数”为0，与其直接合作者为1，与“埃数”为1者合作过的人的“埃数”为2，以此类推。其中，爱因斯坦的“埃数”为2。

在数学界，“埃数”为1 是一个在数学界令人羡慕的殊荣，美国密歇根州奥克兰大学的科学家还专门建立了名为“埃数工程”的项目以跟踪“埃数”。当埃尔德什去世，许多曾经与其共事却未发表论文的科学家后悔不已。麻省理工学院的数学家卡罗•罗塔（Gian-Carlo Rota）便是之一。他曾经向埃尔德什请教问题，却仅在发表的论文中对其致谢，而未将其列入作者名单。“对此，我将遗憾终身。我的埃数只能是2了。”罗塔说。

　　图5：Erdos与他的合作者的图谱。

https://blogs.harvard.edu/michaellaw/2013/11/29/the-economics-profession-why-are-there-star-economists/

值得一提的是，虽然发表论作诸多，埃尔德什并不在意合作论文的优先权。他的好友，数学家葛立恒（Ronald Graham）这样评价他：“他原是与人分享他的数学成绩，因为他的目的不是为了让自己第一个去证明它，而是有人能使问题得到解决。有他也好，没他也好。他周游世界，将自己的猜想和真知灼见与其他数学家分享。”

4

流浪的朝圣者

“我马上会到你那里去。”埃尔徳什总会在火车站写下这样的信，然后发给下一个拜访者，他的身旁是一个破旧的衣箱和一个从布达佩斯中心商店购买的土黄色塑料包。一个里面装着几件简单的衣物，一个里面装者数学资料，这是他的全部家当。

埃尔徳什没有固定住所，没有地址，没有车，没有保险，没有结婚。他从一个数学会议到另一个数学会议，从一所大学到另一所大学，超过25个国家留下了他的足迹。“我现在在澳大利亚，明天去匈牙利，设K为最大的整数以满足.......”这是埃尔徳什与不少数学家的邮件的典型开头。他一直行走在在路上，从不在一个地方久留，像是一个流浪汉，也像一个朝圣者。他的座右铭是 “另一个屋檐，另一个证明”。他的好友，英国数学家Bela Bollobas这样回忆道：“从1934年，他从来没有连续7天不挪被窝的。”

埃尔德什的对流浪的热衷始于他青年时期的求学经历。埃尔徳什1913年出生在布达佩斯的一个犹太家庭。21岁便拿到了布达佩斯大学数学博士学位。其在大学期间在数论领域所做的杰出工作，引起了在柏林的数学家 Issai Schur 和曼彻斯特的 Louis Mordell的注意。在他的原计划中，他打算先去曼彻斯特大学开展博士后研究，再去德国，但是不巧的是希特勒第一个到了那里。从此，埃尔徳什开始了自己“流浪的一生”。

在英国期间，他辗转于曼彻斯特、剑桥、布里斯托等学府。后又在美国辗转于普林斯顿高等研究院、普渡大学、圣母大学等学校。一般的数学工作者，总希望谋求一份稳定的终身教职，以顺利的开展研究。但埃尔德什骨子里总是想要流浪，即使得到了终身教职，他也不愿留下。20世纪50年代初，当美国圣母大学以优厚待遇聘请其为终身教授的时候，他在朋友的劝说下勉强答应，后又因离开美国而辞职。

讽刺的是，他从圣母大学的离去和数学并没有什么关系，其真实的原因有些让人哭笑不得——在他离开圣母大学后，他曾在9年内被禁止入境美国。

1954年，埃尔德什应邀去阿姆斯特丹参加学术会议，便向美国移民局申请再入境许可证。移民局就派了一位官员去埃尔德什任教的圣母大学。当时麦卡锡主义盛行，移民局的官员便问他了一些关于共产主义的问题。

移民局官员问：你对马克思评价如何？

埃尔德什：我没有资格对他说三道四。但是毫无疑问他是个伟人。

这个回答并没有让移民局感到满意，然而埃尔德什对于另一个问题的回答更是另移民局官员心生怀疑。

移民局官员问：如果你能肯定匈牙利政府会让你离开，你还会访问匈牙利吗？

埃尔德什回答：当然了，我妈还在那，还有好多朋友在那。

然而在麦肯锡时代，承认想去一个共产主义国家探访亲友无疑是大忌。因此移民局决定，埃尔德什若出国，将在9年内不许返回美国。

毫无疑问，埃尔德什对于移民局的做法非常不满——对于埃尔德什，被剥夺了旅行的权利就好像是剥夺了呼吸的权利一样。“我没有取得在入境签证就离开了美国。我想我这样做完全是按照美国最优良的传统行事：你不能让自己任凭政府摆布。”埃尔德什说。

离开美国后，他也未能被欧洲长期收留，最后在以色列找到一份工作。但是他拒绝加入以色列国籍，并保留匈牙利护照，宣布他自己是个世界公民。

在20世纪50年代时，曾有朋友问埃尔德什：“你行走江湖的数学家生涯究竟还要维持多久？”他的回答是：“起码40年”。

这一语成谶，直到1996年辞世，埃尔德什都在路上。

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视数学为生命的情种

与许多数学家在晚年选择颐养天年不同，即便是在生命的尽头，埃尔德什依然没有离开过数学。1993年，医生准备为80岁的埃尔德什做手术，来移植一只角膜。躺在手术台上的埃尔德什他忽然生气的冲医生说：“你们为什么把灯关了？！”他之所以生气是因为，他以为自己在手术中还能用另一只眼睛看书，而医生却把灯关了。于是埃尔徳什在手术室里和医生吵了起来。

面对这位倔强的老人，医生只好给孟菲斯大学数学系打电话：“你们能否派一个数学家过来，以便能够在手术过程中埃尔徳什能谈论数学？”数学系答应了，最终手术得以进行。

一旦他住进医院，病房就会变成会议室。病床上堆满了论文，数学家们像是连着线一样在病房进进出出，他们分成三堆，病床上的埃尔德什用英文和一堆人交流、匈牙利文跟一堆人交流、德文和另一堆人交流。有时候还会因为病房不能容下太多人而转院。

埃尔德什从不忌讳谈论死亡。他非常羡慕数学家欧拉的死，因为欧拉在离开前仍在研究数学。早在埃尔德什去世前很久，他便为自己设计了“完美的离开”。在一场完成数学演讲之后，一个古怪的听众举手提问。这时候埃尔德什会回答：“交给下一代人们来完成吧！”然后闭上眼睛，便倒地长辞。

然而，埃尔德什的对自己死亡的设计并没有美梦成真。1996年9月，83岁的埃尔徳什因心脏病在波兰华沙的医院去世。

死亡对埃尔德什意味着什么呢？也许，并不意味着什么。在他发明的语言系统里，如果一个人离开了数学，就会被定义为“死亡”，而真正的死亡则被定义为“离开”。所以，他一直没有死——因为他从来没有离开过数学，也离不开数学。在他生命的最后几年，朋友劝他休息的时候，他总是说“坟墓里有的是休息时间”。但事实上，也许并非如此，因为他也曾说过：“也许一旦我离开了这个世界，我就可以同时在不同的地方了。也许我将可以与阿基米德和欧几里德合作了！”

作家保罗·霍夫曼（Paul Hoffman）写过一本埃尔德什的传记：The Man Who Loved Only Numbers，中文译作《数字情种》。在笔者看来，这真是一个再恰当不过的译名。埃尔德什就是这样的一个人：一位乐于提携后辈的数学界的伯乐，一位高产、苛求、又顽皮的论文合作者，一位在满世界穿梭中追求真知的浪子，而这一切，完完全全的源自他对数学最单纯的热爱——他不但是数学家，更是视数学为生命的数字情种。

　　　图6：The Man Who Loved Only Numbers （《数字情种》的英文原版）。

来源：维基百科

参考文献：　　　

1. 保罗•霍夫曼. 数字情种: 埃尔德什传 [M].上海.上海科学教育出版社.2009

2. 布鲁斯•谢克特. 我的大脑敞开了: 数学怪才爱多士 [M].上海.上海世纪出版集团.2005

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来源 | 财新网

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