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苏佳园:二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现
l所构成,其中xj?j?x?h,?x?h?J;tn?n?t?n?.
3.2插值函数的选择
选择不同的插值函数对偏微分方程进行估计,可得到不同的差分方程,进而稳定性和精度会有所不同。
用Taylor级数展开方法是最常用的方法,下面建立差分格式的同时引入一些基本概念及术语。
我们主要从对流方程的初值问题
?u??u?a?0,x?R,t?0,? (3.1) ?x??t??u(x,0)?g(x),x?R,和扩散方程的初值问题
?u?2u?a2,?t?xu(x,0)?g(x),(其中a?0)进行讨论。
x?R,t?0, (3.2) x?R.
假定偏微分方程初值问题的解u(x,y)是充分官话的,由Taylor级数展开有
u(xj,tn?1)?u(xj,tn)?un????(?t),?t?tj?u(xj,tn?1)?u(xj,tn?1)2??un???(?t),2?t?tj?u(xj?1,tn)?u(xj,tn)?(3.3) ?un???(h),h?xj?u(xj,tn)?u(xj?1,tn)??un???(h),?h?xj?u(xj?1,tn)?u(xj?1,tn)2?un???(h),?2h?xj?u(xj?1,tn)?2u(xj,tn)?u(xj?1,tn)n2?2u????(h).22h?xj?
????????????n其中???n或用,表示看括号内的函数在节点(xj,tn)处取的值。利用(3.3)表达式???jj中的第1式和第3式有
u(xj,tn?1)?u(xj,tn)?
?au(xj?1,tn)?u(xj,tn)h6
?u?un?[?a]j??(??h). ?t?x如果u(x,t)是满足偏微分方程(3.1)的光滑解,则
[?u?u?a]nj?0. ?t?x由此看一看出,偏微分方程(3.1)在u(xj,tn)处可以近似的用下面的方程来代替
?1nun?ujjnun?uj?1j?n?ah?0, (3.4)
j?0,?1,?2,?,n?0,1,2?.
其中uj为u(xj,tn)的近似值。(3.4)式称为逼近微分方程(3.1)的有限差分方程或简称差分方程。
差分方程再加上初始条件的离散型式就可以按时间逐层推进,算出各层的值。差分格式(3.4)和初始条件的离散形式结合在一起构成了一个差分格式。
3.3方程组的建立
将离散后的差分方程转化为方程组的形式,便于求解。
3.4方程组的求解
利用矩阵的解法求解方程组,再用MATLAB对矩阵求解方法进行程序化,以便对以后类似的方程进行求解。
隐式差分格式方程矩阵化后,得到的矩阵是严格的对角占优三对角矩阵,我们可以根据线性方程组的求解方法对其求解。其中这要应用的是追赶法,追赶法对于此类线性方程组的求解非常方便,用MATLAB对追赶法进行编程,就可以轻松实现矩阵的求解,进而解出差分方程的近似解。
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第4章 二维热传导方程
4.1 网格剖分
在区域D:?(x,y,t)0?x?X,0?y?Y,0?t?T?中,我们设二维热传导方程的初始值和边界条件如下:
2u?2u??u???t?a(2?2),0?x?X,0?y?Y,0?t?T,?x?y???u(x,y,0)?u0(x,y),0?x?X,0?y?Y??u(x0,y,t)?f(y,t),u(xX,y,t)?g(y,t),??u(x,y0,t)?h(x,t),u(x,yY,t)?k(x,t),其中a为正常数。
(4.1)
通过已知方程,建立一个关于时间和步长的函数,这样就把初始区域划分为一个网格图。 先将定义域
D:?(x,y,t)0?x?X,0?y?Y,0?t?T?
剖分为网格
Dh?{(xj,yh,tn)xj?j?x,j?0,1,?,J,J?x?X;yl?l?y,l?0,1?,J,J?y?Y;tn?n?t,n?0}.其中?t?
T为时间步长,?x?X,?y?Y分别为x轴和y轴的空间步长。 NMxMy4.2 稳定性分析
利用有限差分格式进行计算时是按时间层逐层推进的。那么计算第n?1层上的值时要用到第n层上计算出来的结果值,而计算第n层结果值时的舍入误差必然会影响到第n?1层的值。从而就要分析这种误差传播的情况。希望误差不至于越来越大,以至掩盖差分格式的解的面貌,这便是稳定性问题。
我们先考虑一维差分格式
?1nnnun?u?a?(u?ujjj?1j) (4.2)
的稳定性,其中??
?t为网格比,假设a?0差分格式从初层开始计算,当初始数据?x8
存在误差时考察这个误差在以后计算中的在传播情况。为方便起见,不考虑计算过程中的舍入误差。及确定初始数据误差绝对值为?,则差分格式在(xj,tn)处的误差为
nnmm?n(?1)n?m??Cm(1?a?)(?a?)m?0nn???Cm(1?a?)m(a?)m?n m?0?(1?a?)n?.于是,对于固定网格比?及a?0的情况,差分格式的解的误差随时间步长的步数
n的增加而增加。初始数据的误差将必定掩盖了差分格式的解的面貌,所以我们认为
差分格式(4.2)时不稳定的。
差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关,而且还与网格比的大小有关。差分格式的稳定性在差分方法的研究中具有特别的意义,我们再做进一步的叙述。
定义4.1[8] 为了度量误差及其他应用,引入范数
nhu00n???n2???(uj)h?, ?j????n12设uj有一个误差?j,则uj就有误差?j。如果存在一个正常数K,使得当
?t??t0,n?t?T时,一致的有
?n?K?0,
则称差分格式是稳定的。
差分格式一旦具有稳定性,就可以用差分格式计算出偏微分方程的近似解来。 一维热传导方程的各种类型的差分格式可以推广到二维热传导方程,利用向前差分格式
?1nun?ujjnnun?2u?uj?1jj?1?t对(4.1)式进行离散,引入记号
?h2
nnn?x2un?u?2u?ujlj?1,ljlj?1,l,nnn?y2un?u?2u?ujlj,l?1jlj,l?1. (4.3)
其中unjl为差分方程在节点(j,l,n)的计算值。
差分格式
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?1nun?ujljl
?t?a(?x2unjl?x2?2n?yujl?y2), (4.4)
利用Taylor级数展开易得差分格式(4.4)的截断误差为?(?t??x2??y2)。
t为方便稳定性的判断,设?x??y?h,令???2,为网格比。即改写为:
hn?1n2n2n ujl?ujl?a?(?xujl??yujl), (4.5)
用Fourier方法来分析(4.4)式的稳定性。令
nik1jhik2lhun?vee, jl把此式带入(4.5)式中有
vn?1n?1?2a?(cosk1h?1)?2a?(cosk2h?1)v,
??因此差分格式(4.5)的增长因子是
2k1h2k2hG(?t,k)?1?4a?(sin?sin),
22其中k?(k1,k2)。如果a??件是
14,则有G(?t,k)?1由此得出差分格式(4.4)的稳定性条
a??14.
容易看出在二维情况下采用这样的显式格式是不适合的,为此我们再转向考虑隐式格式。用一维向后差分格式
nn?1uj?uj?tnnnuj?1?2uj?uj?1?2h
的直接推广是
n?1unjl?ujl?t?a(?x2unjl?x2??y2unjl?y2),
(4.6)
此格式的截断误差仍为?(?t??x2??y2),仍用Fourier方法来分析这个格式的稳定性,仿前可以得出其增长因子是:
G(?t,k)?1,khkh2221?4a?(sin1?sin)2210
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