高等数学笔记-乐经良老师-第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分-第四节-不定积分
2024-05-29 05:06:25
高等数学笔记-乐经良
第五章-积分(Ⅰ)-定积分与不定积分
第四节 不定积分
一、定义
- 不定积分的定义
- f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 的全体原函数称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 的不定积分，记为 ∫ f ( x ) d x \int f(x) d x ∫f(x)dx .
- 注意
- 若 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数，则 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x) d x=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C .
二、性质
- ( ∫ f ( x ) d x ) ′ = f ( x ) \left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) (∫f(x)dx)′=f(x) 或 d ( ∫ f ( x ) d x ) = f ( x ) d x d\left(\int f(x) d x\right)=f(x) d x d(∫f(x)dx)=f(x)dx
∫ f ′ ( x ) d x = f ( x ) + C \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C ∫f′(x)dx=f(x)+C 或 ∫ d f ( x ) = f ( x ) + C \int d f(x)=f(x)+C ∫df(x)=f(x)+C - 线性运算
- f ( x ) , g ( x ) f(x), \mathrm{g}(x) f(x),g(x) 有原函数, ∀ k ∈ R \forall k \in \mathbf{R} ∀k∈R, 则 ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x \int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx .
- $ \int[k f(x)] d x=k \int f(x) d x$ .
三、积分表
常数函数
- ∫ 0 d x = C \int 0 d x=C ∫0dx=C
幂函数
- ∫ x α d x = 1 α + 1 x α + 1 ( α ≠ − 1 ) \int x^{\alpha} d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1} \quad(\alpha \neq-1) ∫xαdx=α+11xα+1(α=−1)
- ∫ φ α ( x ) d ( φ ( x ) ) = φ α + 1 ( x ) α + 1 + C \int \varphi^{\alpha}(x)d(\varphi(x))=\frac{\varphi^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C ∫φα(x)d(φ(x))=α+1φα+1(x)+C
- ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C ∫x1dx=ln∣x∣+C
- ∫ 1 x + a d x = ln ∣ x + a ∣ + C \int \frac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C ∫x+a1dx=ln∣x+a∣+C
- ∫ x x 2 + a d x = 1 2 ln ∣ x 2 + a ∣ + C \int \frac{x}{x^2+a}dx=\frac12 \ln|x^2+a|+C ∫x2+axdx=21ln∣x2+a∣+C
- ∫ 1 ( x + a ) k d x = { ln ∣ x + a ∣ + C k = 1 ( x + a ) ( 1 − k ) 1 − k + C k ≠ 1 \int \frac{1}{(x+a)^k} d x=\begin{cases}\ln |x+a|+C & k=1 \\ \frac{(x+a)^{(1-k)}}{1-k}+C & k \neq 1\end{cases} ∫(x+a)k1dx={ln∣x+a∣+C1−k(x+a)(1−k)+Ck=1k=1
指数函数
- ∫ a x d x = 1 ln a a x + C \int a^{x} d x=\frac{1}{\ln a} a^{x}+C ∫axdx=lna1ax+C
- ∫ e x d x = e x + C \int e^{x} d x=e^{x}+C ∫exdx=ex+C
三角函数
- ∫ sin x d x = − cos x + C \int \sin x d x=-\cos x+C ∫sinxdx=−cosx+C
- ∫ cos x d x = sin x + C \int \cos x d x=\sin x+C ∫cosxdx=sinx+C
- ∫ tan x d x = − l n ∣ cos x ∣ + C \int \tan x d x=-ln|\cos x|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
- ∫ csc x d x = ∫ 1 s i n x d x = ln ∣ tan x 2 ∣ + C \int \csc x d x=\int \frac{1}{sinx}d x=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C ∫cscxdx=∫sinx1dx=ln∣tan2x∣+C
- ∫ sec x d x = ∫ 1 cos x d x = ln ∣ tan ( x 2 + π 4 ) ∣ + C = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \int \sec x d x=\int \frac{1}{\cos x}d x=\ln|\tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C ∫secxdx=∫cosx1dx=ln∣tan(2x+4π)∣+C=ln∣secx+tanx∣+C
- ∫ cot x d x = ∫ 1 tan x d x = ln ∣ sin x ∣ + C \int \cot x d x=\int \frac{1}{\tan x}d x=\ln|\sin x|+C ∫cotxdx=∫tanx1dx=ln∣sinx∣+C
- ∫ sec 2 x d x = ∫ 1 c o s 2 x d x = tan x + C \int \sec ^{2} x d x=\int\frac{1}{cos^2x}dx=\tan x+C ∫sec2xdx=∫cos2x1dx=tanx+C
- ∫ csc 2 x d x = ∫ 1 s i n 2 x d x = − 1 t a n x + C = − cot x + C \int \csc ^{2} x d x=\int\frac{1}{sin^2x}dx=-\frac{1}{tan x}+C=-\cot x+C ∫csc2xdx=∫sin2x1dx=−tanx1+C=−cotx+C
- ∫ sec x tan x d x = ∫ s i n x c o s 2 x d x = 1 c o x + C = sec x + C \int \sec x \tan x d x=\int\frac{sinx}{cos^2x}dx=\frac{1}{cox}+C=\sec x+C ∫secxtanxdx=∫cos2xsinxdx=cox1+C=secx+C
- ∫ csc x cot x d x = ∫ c o s x s i n 2 x d x = − 1 s i n x + C = − csc x + C \int \csc x \cot x d x=\int\frac{cosx}{sin^2x}dx=-\frac{1}{sinx}+C=-\csc x+C ∫cscxcotxdx=∫sin2xcosxdx=−sinx1+C=−cscx+C
反三角函数
- ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C ∫1−x2 dx=arcsinx+C
- ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin x ∣ a ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+C ∫a2−x2 dx=arcsin∣a∣x+C
- ∫ d x 1 + x 2 = arctan x + C \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x+C ∫1+x2dx=arctanx+C
- ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan x a + C \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C ∫a2+x2dx=a1arctanax+C
对数函数
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ∣ x − a x + a ∣ + C \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C ∫x2−a2dx=2a1ln∣∣x+ax−a∣∣+C
∫ d x x 2 ± a 2 = ln ∣ x 2 ± a 2 + x ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}=\ln \left|\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}+x\right|+C ∫x2±a2 dx=ln∣∣x2±a2 +x∣∣+C
∫ d x x 2 + a 2 = ln ( x 2 ± a 2 + x ) + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}=\ln \left(\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}+x\right)+C ∫x2+a2 dx=ln(x2±a2 +x)+C
∫ d x x 2 − a 2 = ln ∣ x 2 − a 2 + x ∣ + C \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}=\ln \left|\sqrt{x^{2} - a^{2}}+x\right|+C ∫x2−a2 dx=ln∣∣x2−a2 +x∣∣+C
其他复杂初等函数
- ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x ∣ a ∣ + C \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac x2 \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{|a|}+C ∫a2−x2 dx=2xa2−x2 +2a2arcsin∣a∣x+C
- ∫ x x 2 + a d x = 1 2 ln ∣ x 2 + a ∣ + C \int \frac{x}{x^2+a}dx=\frac 12 \ln|x^2+a|+C ∫x2+axdx=21ln∣x2+a∣+C
- ∫ x x 2 + a d x = x 2 + a + C \int \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}dx=\sqrt{x^2+a}+C ∫x2+a xdx=x2+a +C
四、不定积分的积分法
01 不定积分的换元法
(1) 不定积分的凑微分法（第一换元法）
- 凑微分法
- 若 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C , φ ( x ) \int f(x) d x=F(x)+C, \varphi(x) ∫f(x)dx=F(x)+C,φ(x) 可导, 则 ∫ f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x = F ( φ ( x ) ) + C \int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=F(\varphi(x))+C ∫f(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))+C
- 过程
- ∫ f ( φ ( x ) ) φ ′ ( x ) d x ⇒ ∫ f ( φ ( x ) ) d φ ( x ) ⇒ F ( φ ( x ) ) + C \int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x \Rightarrow \int f(\varphi(x)) d \varphi(x) \Rightarrow F(\varphi(x))+C ∫f(φ(x))φ′(x)dx⇒∫f(φ(x))dφ(x)⇒F(φ(x))+C
- 注意
- 观察哪部分可凑成 φ ′ d x = d φ \varphi^{\prime} d x=d \varphi φ′dx=dφ，而使得微分号前剩下的部分恰好是 φ \varphi φ 的可积表达式
- 常用的凑微分
- φ ′ ( x ) d x = d φ ( x ) \varphi'(x)dx=d\varphi(x) φ′(x)dx=dφ(x)
- ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a ∫ f ( a x + b ) d ( a x + b ) \int f(ax+b)dx=\frac1a \int f(ax+b)d(ax+b) ∫f(ax+b)dx=a1∫f(ax+b)d(ax+b)
- 2 x d x = d x 2 2xdx=dx^2 2xdx=dx2
- c o s x d x = d s i n x cosxdx=dsinx cosxdx=dsinx
- s e c 2 x d x = 1 c o s 2 x d x = d t a n x sec^2xdx=\frac{1}{cos^2x}dx=dtanx sec2xdx=cos2x1dx=dtanx
(2) 不定积分的第二换元法
- 第二换元法
- 若 ∫ f ( ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C \int f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t=F(t)+C ∫f(ψ(t))ψ′(t)dt=F(t)+C，且 ψ \psi ψ 单调可导， ψ ′ ≠ 0 \psi^{\prime} \neq 0 ψ′=0，则 ∫ f ( x ) d x = F ( ψ − 1 ( x ) ) + C \int f(x) d x=F\left(\psi^{-1}(x)\right)+C ∫f(x)dx=F(ψ−1(x))+C
- 过程
- 对 ∫ f ( x ) d x \int f(x) d x ∫f(x)dx 作变量代换 x = ψ ( t ) x=\psi(t) x=ψ(t)
- ⇒ ∫ f ( ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t \Rightarrow \int f(\psi(t)) \psi^{\prime}(t) d t ⇒∫f(ψ(t))ψ′(t)dt 可积
- ⇒ F ( t ) + C \Rightarrow F(t)+C ⇒F(t)+C
↑ \uparrow ↑
t = ψ − 1 ( x ) t=\psi^{-1}(x) t=ψ−1(x)
02 不定积分的分部积分法
- 概述
- ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u dv=u v-\int vdu ∫udv=uv−∫vdu
- ∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int u v^{\prime} d x=u v-\int u^{\prime} v d x ∫uv′dx=uv−∫u′vdx
- 过程
- ∫ u v ′ d x ⇒ ∫ u d v = u v − ∫ v d u ⇒ u v − ∫ u ′ v d x \int u v^{\prime} d x \Rightarrow \int u d v=u v-\int v d u \Rightarrow u v-\int u^{\prime} v d x ∫uv′dx⇒∫udv=uv−∫vdu⇒uv−∫u′vdx
- 适用
- 适用于被积函数为两类函数乘积的积分
- 如何选择 v ′ v' v′
- 一般而言依如下次序： e α x , sin x ( e^{\alpha x}, \sin x( eαx,sinx( 或 cos x ) , x m \cos x), x^{m} cosx),xm
- 凑微分优先权
- 反三角 > 对数函数 > 幂函数 > 三角函数 > 指数函数
- 规律
- 保证 u u u 尽量简单
- 将被积函数中尽量多的式子凑微分
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