高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第一节-微分中值定理
高等数学笔记-乐经良老师
第四章 微分中值定理和导数的应用
第一节 微分中值定理
可微函数基本定理
一、费马定理
极值
- 若在点 x0x_{0}x0 的邻域，有 f(x)≤f(x0),f(x) \leq f\left(x_{0}\right),f(x)≤f(x0),称 f(x0)f\left(x_{0}\right)f(x0) 是 f(x)f(x)f(x) 的一个极大值，称 x0x_{0}x0 为 f(x)f(x)f(x) 的一个极大值点。
- 类似地，有极小值的概念。
费马定理
- 若 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_{0}x0 处取得极值，且 x0x_{0}x0 可导，则 f′(x0)=0f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0f′(x0)=0
几何解释
- 几何上看很自然在曲线的“峰”与“谷”处切线呈水平。
二、罗尔定理
- 罗尔定理
- 若 f(x)f(x)f(x) 满足：
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)∈D[a,b] ——区间内可导
(3) f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b) ——端点函数值相等
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使 f’(ξ)=0f^{’}(\xi)=0f’(ξ)=0
- 若 f(x)f(x)f(x) 满足：
- 几何解释
三、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
若 f(x)f(x)f(x) 满足：
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D(a,b)f(x)\in D(a,b)f(x)∈D(a,b) ——区间内可导
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使 f’(ξ)=f(b)−f(a)b−af^{’}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f’(ξ)=b−af(b)−f(a) 或 f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)
几何解释
定理的另一种形式
- 函数的有限增量公式
- ∃θ∈(0,1)\exists \, \theta \in(0,1)∃θ∈(0,1)，f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δxf(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta xf(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx
推论
- (1) f′(x)≡0(x∈I)⇒f(x)≡c(x∈I)f^{\prime}(x) \equiv 0 \, (x \in I) \Rightarrow f(x) \equiv c \, (x \in I)f′(x)≡0(x∈I)⇒f(x)≡c(x∈I)
- (2) f′(x)≡k(x∈I)⇒f(x)=kx+b(x∈I)f^{\prime}(x) \equiv k \, (x \in I) \Rightarrow f(x)=kx+b \, (x \in I)f′(x)≡k(x∈I)⇒f(x)=kx+b(x∈I)
- (3) 导数极限定理：函数在 U(x0)U(x_0)U(x0) 上连续，在 U∘(x0)\stackrel{\circ}{U}(x_0)U∘(x0) 内可导，且 limx→x0f′(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f'(x_0)x→x0limf′(x0) 存在，则 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导，且 f′(x0)=limx→x0f(x0)f'(x_0)=\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x_0)f′(x0)=x→x0limf(x0)
说明
- 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
- 定理可证方程开区间内有根。
- 定理可证不等式（不等式中出现函数增量）。
四、柯西中值定理
柯西中值定理
若 f(x)f(x)f(x) 满足：
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)∈D[a,b] ——区间内可导，且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使 f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a) .
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，当 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 时，形式同拉格朗日中值定理。
定理可证方程有根（出现两个函数增量）。
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