【概率论与数理统计】猴博士笔记 p36-37 协方差、相关系数、不相关、相互独立时的期望和方差

2024-06-08 12:51:00

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协方差、相关系数
不相关、相互独立时的期望和方差

协方差、相关系数

接下来做几道例题，练习一下套公式：
例1：

解：
前4个就是简单的套公式：

第5个有点类似分配律：
Cov(2X+3Y,4X+5Y)=8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)+15Cov(Y,Y)Cov(2X+3Y,4X+5Y)=\\8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)+15Cov(Y,Y) Cov(2X+3Y,4X+5Y)=8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)+15Cov(Y,Y)

第6个：套用协方差相关的方差公式（不要用E(x²)-(EX)²）
D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2abCov(X,Y) D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)

第7个：
155\frac{\sqrt15}{5} 515

例2：

答案：3。

例3：

解：
A。

利用性质去做：

X+Y=n，即Y=-X+n，则A。

例4：

解：
由正态分布的性质得知：
EX=0,DX=1,EY=1,DY=4EX=0,DX=1,EY=1,DY=4 EX=0,DX=1,EY=1,DY=4
则：
设Y=aX+b,EY=aEX+b,DY=a2DX可得a=2或−2，b=1由于相关系数为1，则a>0所以答案为D设Y=aX+b,EY=aEX+b,DY=a^2DX \\可得a=2或-2，b=1 \\由于相关系数为1，则a>0 \\所以答案为D 设Y=aX+b,EY=aEX+b,DY=a2DX可得a=2或−2，b=1由于相关系数为1，则a>0所以答案为D

不相关、相互独立时的期望和方差

接下来开始练习套公式：
例1：

解：
B。

也可以：
Cov(X+Y,X−Y)=0即Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(X,Y)−Cov(Y,Y)=0即Cov(X,X)−Cov(Y,Y)=0即DX=DY即B选项\\ Cov(X+Y,X-Y)=0 \\ 即Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=0 \\即Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=0 \\即DX=DY \\即B选项 Cov(X+Y,X−Y)=0即Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(X,Y)−Cov(Y,Y)=0即Cov(X,X)−Cov(Y,Y)=0即DX=DY即B选项

例2：

解：
B。

例3：

解：
2。
已知相互独立，则D(X-Y)=DX+DY=4+2=6;
注意，不管括号里是+还是-，答案都是DX+DY。

例4：

解：
已知相关系数为0，则X，Y相互独立。

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