概率论与数理统计

  • 第八章 假设检验
    • 8.1 基本概念
      • 一、假设检验问题
      • 二、假设检验基本概念
      • 三、假设检验的思想与步骤
        • 1. 思想
        • 2. 步骤
      • 四、两类错误
    • 8.2 一个正态总体的参数假设检验
      • 一、μ\muμ的假设检验
        • UUU检验法：σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​已知，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​
        • TTT检验法：σ2\sigma^2σ2未知，检验H0:μ≠μ0H_0:\mu\not=\mu_0H0​:μ​=μ0​
        • 总结
      • 二、σ2\sigma^2σ2的假设检验
        • χ2\chi^2χ2检验法：μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​已知，检验σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​
        • χ2\chi^2χ2检验法：μ\muμ未知，检验σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​
        • 总结
    • 8.3 两个正态总体的参数假设检验
      • 均值μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1​,μ2​差异性检验
        • UUU检验法：σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​已知，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​
        • TTT检验法：σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​未知，σ12=σ22=σ2\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2σ12​=σ22​=σ2，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​
        • 总结
      • 方差σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​差异性检验

第八章 假设检验

8.1 基本概念

一、假设检验问题

总体的分布未知：

  • 分布类型未知（非参数假设→\rightarrow→非参数假设检验）
  • 参数未知（参数假设→\rightarrow→参数假设检验）

二、假设检验基本概念

  1. 假设（参数假设/非参数假设）
  2. 假设检验（检验假设成立与否）（参数假设检验/非参数假设检验）
  3. 假设检验问题（显著性假设检验问题/H0H_0H0​对H1H_1H1​假设检验问题）

三、假设检验的思想与步骤

举例：100个球（红白两色），张三：“有99个白球”，任取一球是红球，问张三说的对吗？
解：假设张三说得对——99白1红
P(任取一球为红球)=1/100P(任取一球为红球)=1/100P(任取一球为红球)=1/100
与“小概率实际不发生”，矛盾，因此认为张三说的不对

1. 思想

构造统计量⟹在H0成立时T\displaystyle\overset{在H_0成立时}{\Longrightarrow}T⟹在H0​成立时​T的分布已知
检验法则⟺P(T∈I)=α\Longleftrightarrow P(T\in I)=\alpha⟺P(T∈I)=α（小概率）

P((X1,⋯,Xn)∈W)=αP((X_1,\cdots,X_n)\in W)=\alphaP((X1​,⋯,Xn​)∈W)=α（H0H_0H0​的拒绝域）
P((X1,⋯,Xn)∈W‾)=1−αP((X_1,\cdots,X_n)\in \overline{W})=1-\alphaP((X1​,⋯,Xn​)∈W)=1−α（H0H_0H0​的接受域）

2. 步骤

第一步：提出H0H_0H0​与H1H_1H1​
第二步：假定H0H_0H0​成立，取统计量T∼T\simT∼已知分布
第三步：给α\alphaα找到拒绝域P((X1,⋯,Xn)∈W)=αP((X_1,\cdots,X_n)\in W)=\alphaP((X1​,⋯,Xn​)∈W)=α
第四步：由样本(x1,⋯,xn)(x_1,\cdots,x_n)(x1​,⋯,xn​)求出TTT的值，若(x1,⋯,xn)∈W⟹(x_1,\cdots,x_n)\in W\Longrightarrow(x1​,⋯,xn​)∈W⟹拒绝H0H_0H0​；若(x1,⋯,xn)∈W‾⟹(x_1,\cdots,x_n)\in \overline{W}\Longrightarrow(x1​,⋯,xn​)∈W⟹接受H0H_0H0​

四、两类错误

第一类错误：弃真
P(拒绝H0∣H0为真)=αP(拒绝H_0|H_0为真)=\alphaP(拒绝H0​∣H0​为真)=α
第二类错误：纳伪
P(接受H0∣H0为假)=βP(接受H_0|H_0为假)=\betaP(接受H0​∣H0​为假)=β

确保α\alphaα的前提下尽可能减小β\betaβ

例
【例1】某化工厂用包装机自动包装洗衣粉。
已知洗衣粉重量（克）X∼N(μ,22)X\sim N(\mu,2^2)X∼N(μ,22)，机器正常工作时，μ=500g\mu=500gμ=500g
某日开工后随机取9袋，其重量：500，499，502，506，498，498，497，510，503
假定σ=2\sigma=2σ=2不变，问包装机工作是否正常？
解：
重量不是恰好500g500g500g原因：

  • 随机误差（正常）
  • 条件误差（不正常）

提出H0:μ=500,h1:μ≠500H_0:\mu=500,h_1:\mu\not=500H0​:μ=500,h1​:μ​=500

假定H0H_0H0​成立，X∼N(500,4)X\sim N(500,4)X∼N(500,4)
X‾∼N(500,49)⟹U=X‾−5002/3∼N(0,1)\displaystyle\overline{X}\sim N(500,\frac{4}{9})\Longrightarrow U=\frac{\overline{X}-500}{2/3}\sim N(0,1)X∼N(500,94​)⟹U=2/3X−500​∼N(0,1)

P(∣U∣>uα2)=α\displaystyle P(|U|>u_{\frac{\alpha}{2}})=\alphaP(∣U∣>u2α​​)=α
x‾=19∑i=19xi=502\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{9}\sum\limits_{i=1}^{9}x_i=502x=91​i=1∑9​xi​=502
设α=0.05⇒uα2=1.96\alpha=0.05\Rightarrow u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96α=0.05⇒u2α​​=1.96

∣u∣=∣502−500∣2/3=3>uα2=1.96\displaystyle|u|=\frac{|502-500|}{2/3}=3>u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96∣u∣=2/3∣502−500∣​=3>u2α​​=1.96
与“小概率实际不发生”矛盾
拒绝H0H_0H0​，接受H1H_1H1​

【例2】某厂灯管，寿命X∼N(μ,40000)X\sim N(\mu,40000)X∼N(μ,40000)，平均寿命μ=1500\mu=1500μ=1500小时
采取新工艺后，抽25只，平均寿命x‾=1675\overline{x}=1675x=1675小时
问新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？
解：
H0:μ=1500H_0:\mu=1500H0​:μ=1500（原假设）
H1:μ>1500H_1:\mu>1500H1​:μ>1500（备择假设/对立假设）

8.2 一个正态总体的参数假设检验

X∼N(μ,σ2),(X1,X2,⋯,Xn)X\sim N(\mu,\sigma^2),(X_1,X_2,\cdots,X_n)X∼N(μ,σ2),(X1​,X2​,⋯,Xn​)为取自XXX的样本，检验水平α\alphaα

一、μ\muμ的假设检验

提出假设：

  1. H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not=\mu_0H0​:μ=μ0​,H1​:μ​=μ0​
  2. H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0H_0:\mu\leq\mu_0,H_1:\mu>\mu_0H0​:μ≤μ0​,H1​:μ>μ0​
  3. H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0H_0:\mu\geq\mu_0,H_1:\mu<\mu_0H0​:μ≥μ0​,H1​:μ<μ0​

UUU检验法：σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​已知，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​

（以双侧检验为例）
第一步：H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not=\mu_0H0​:μ=μ0​,H1​:μ​=μ0​

第二步：假定H0H_0H0​成立，X∼(μ0,σ02)X\sim(\mu_0,\sigma_0^2)X∼(μ0​,σ02​)
取统计量U=X‾−μσ0/μ∼N(0,1)\displaystyle U=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_0/\mu}\sim N(0,1)U=σ0​/μX−μ​∼N(0,1)

第三步：给定α\alphaα，由P{∣U∣>uα2}=α\displaystyle P\{|U|>u_{\frac{\alpha}{2}}\}=\alphaP{∣U∣>u2α​​}=α，查表得uα2u_{\frac{\alpha}{2}}u2α​​
拒绝域：W={(x2,⋯,xn)∣∣u∣>uα2}W=\{(x_2,\cdots,x_n)||u|>u_{\frac{\alpha}{2}}\}W={(x2​,⋯,xn​)∣∣u∣>u2α​​}

第四步：计算UUU的值∣u∣|u|∣u∣与uα2u_{\frac{\alpha}{2}}u2α​​比较，下结论——若∣u∣>uα2|u|>u_{\frac{\alpha}{2}}∣u∣>u2α​​，拒绝H0H_0H0​；若∣u∣<uα2|u|<u_{\frac{\alpha}{2}}∣u∣<u2α​​，接受H0H_0H0​；若∣u∣=uα2|u|=u_{\frac{\alpha}{2}}∣u∣=u2α​​，为慎重起见，再抽样，再检验。

例
【例1】某面粉厂用包装机包装面粉，每袋面粉的标准重量为10千克，现任取5袋：10.1，10，9.8，9.9，9.9，假设袋装面粉重X∼N(μ,0.12)X\sim N(\mu,0.1^2)X∼N(μ,0.12)，问包装机是否工作正常？（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:μ=10,H1:μ≠10H_0:\mu=10,H_1:\mu\not=10H0​:μ=10,H1​:μ​=10

假定H0H_0H0​成立，X∼N(10,0.12)X\sim N(10,0.1^2)X∼N(10,0.12)，U=X‾−100.1/5∼N(0,1)\displaystyle U=\frac{\overline{X}-10}{0.1/\sqrt{5}}\sim N(0,1)U=0.1/5​X−10​∼N(0,1)

α=0.05,P(∣U∣>uα2)=0.05⟹uα2=1.96\alpha=0.05,P(|U|>u_{\frac{\alpha}{2}})=0.05\Longrightarrow u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96α=0.05,P(∣U∣>u2α​​)=0.05⟹u2α​​=1.96
W={(x1,⋯,x5)∣∣u∣>1.96}W=\{(x_1,\cdots,x_5)||u|>1.96\}W={(x1​,⋯,x5​)∣∣u∣>1.96}

计算x‾=9.94,∣u∣=1.34<uα2=1.96\overline{x}=9.94,|u|=1.34<u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96x=9.94,∣u∣=1.34<u2α​​=1.96

接受H0H_0H0​，认为包装机工作正常

【例2】规定灯泡的平均寿命不低于1200小时。现任取5只灯泡侧寿命：1170,1210，1220，1180，1190，设灯泡寿命X∼N(μ,202)X\sim N(\mu,20^2)X∼N(μ,202)，问这批灯泡是否合格。（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:μ=1200,H1:μ<1200H_0:\mu=1200,H_1:\mu<1200H0​:μ=1200,H1​:μ<1200
假定H0H_0H0​成立，X∼N(1200,202)X\sim N(1200,20^2)X∼N(1200,202)
U=X‾−120020/5∼N(0,1)\displaystyle U=\frac{\overline{X}-1200}{20/\sqrt{5}}\sim N(0,1)U=20/5​X−1200​∼N(0,1)

α=0.05,W={(x1,⋯,x5)∣u<−uα}\alpha=0.05,W=\{(x_1,\cdots,x_5)|u<-u_\alpha\}α=0.05,W={(x1​,⋯,x5​)∣u<−uα​}
计算x‾=1194,u=1194−120020/5=−0.67>−1.64\overline{x}=1194,u=\displaystyle\frac{1194-1200}{20/\sqrt{5}}=-0.67>-1.64x=1194,u=20/5​1194−1200​=−0.67>−1.64
接受H0H_0H0​，认为该批次灯泡合格。

TTT检验法：σ2\sigma^2σ2未知，检验H0:μ≠μ0H_0:\mu\not=\mu_0H0​:μ​=μ0​

（以双侧检验为例）
第一步：提出H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not=\mu_0H0​:μ=μ0​,H1​:μ​=μ0​

第二步：假定H0H_0H0​成立，取T=X‾−μ0s/n∼t(n−1)\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)T=s/n​X−μ0​​∼t(n−1)

第三步：给定α\alphaα，由P(∣T∣>tα2(n−1))=α\displaystyle P(|T|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))=\alphaP(∣T∣>t2α​​(n−1))=α
拒绝域W={(x1,⋯,xn)∣∣t∣>tα2(n−1)}W=\{(x_1,\cdots,x_n)||t|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}W={(x1​,⋯,xn​)∣∣t∣>t2α​​(n−1)}

第四步：计算TTT的值，与tα2(n−1)t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)t2α​​(n−1)比较，下结论

例
【例1】从一批灯泡中取50只测寿命，x‾=1900\overline{x}=1900x=1900小时，S=490S=490S=490小时，以α=1%\alpha=1\%α=1%的水平检验这批灯泡的平均寿命是否是2000小时？（假设灯泡寿命X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)）
解：
提出H0:μ=2000,H1:μ≠2000H_0:\mu=2000,H_1:\mu\not=2000H0​:μ=2000,H1​:μ​=2000

假定H0H_0H0​成立，取T=X‾−2000s/50∼t(49)\displaystyle T=\frac{\overline{X}-2000}{s/\sqrt{50}}\sim t(49)T=s/50​X−2000​∼t(49)

α=0.01⟹tα2(49)=2.68\alpha=0.01\Longrightarrow t_{\frac{\alpha}{2}}(49)=2.68α=0.01⟹t2α​​(49)=2.68
W={(x1,⋯,x50)∣∣t∣>2.68}W=\{(x_1,\cdots,x_{50})||t|>2.68\}W={(x1​,⋯,x50​)∣∣t∣>2.68}

计算TTT的值：∣t∣=∣x‾−2000s/50∣=1.44<2.68\displaystyle |t|=|\frac{\overline{x}-2000}{s/\sqrt{50}}|=1.44<2.68∣t∣=∣s/50​x−2000​∣=1.44<2.68

接受H0H_0H0​，认为平均寿命为2000小时

总结

二、σ2\sigma^2σ2的假设检验

χ2\chi^2χ2检验法：μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​已知，检验σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​

（以双侧检验为例）
第一步：H0:σ2=σ02,H1:σ0≠σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma_0\not=\sigma_0^2H0​:σ2=σ02​,H1​:σ0​​=σ02​

第二步：假定H0H_0H0​成立，X∼N(μ0,σ02)X\sim N(\mu_0,\sigma_0^2)X∼N(μ0​,σ02​)，X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1​,⋯,Xn​为样本
取统计量χ2=∑i=1n(Xi−μ0)2σ02∼χ2(n)\displaystyle\chi^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)χ2=σ02​i=1∑n​(Xi​−μ0​)2​∼χ2(n)

第三步：给定α\alphaα，由P(χ2>χα22(n)=P(χ2>χ1−α22(n))=α2\displaystyle P(\chi^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)=P(\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n))=\frac{\alpha}{2}P(χ2>χ2α​2​(n)=P(χ2>χ1−2α​2​(n))=2α​，查表得χα22(n),χ1−α22(n)\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n),\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)χ2α​2​(n),χ1−2α​2​(n)
拒绝域W={χ2>χα22(n)或χ2<χ1−α22(n)}W=\{\chi^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)或\chi^2<\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)\}W={χ2>χ2α​2​(n)或χ2<χ1−2α​2​(n)}

第四步：计算χ2\chi^2χ2值，比较，下结论

χ2\chi^2χ2检验法：μ\muμ未知，检验σ2=σ02\sigma^2=\sigma_0^2σ2=σ02​

（以双侧检验为例）
第一步：H0:σ2=σ02,H1:σ0≠σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma_0\not=\sigma_0^2H0​:σ2=σ02​,H1​:σ0​​=σ02​

第二步：假定H0H_0H0​成立，X∼N(μ,σ02)X\sim N(\mu,\sigma_0^2)X∼N(μ,σ02​)，X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1​,⋯,Xn​为样本
取统计量χ2=∑i=1n(Xi−X‾)2σ02∼χ2(n−1)\displaystyle\chi^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)χ2=σ02​i=1∑n​(Xi​−X)2​∼χ2(n−1)

第三步：给定α\alphaα，由P(χ2>χα22(n−1)=P(χ2>χ1−α22(n−1))=α2\displaystyle P(\chi^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=P(\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1))=\frac{\alpha}{2}P(χ2>χ2α​2​(n−1)=P(χ2>χ1−2α​2​(n−1))=2α​，查表得χα22(n−1),χ1−α22(n−1)\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)χ2α​2​(n−1),χ1−2α​2​(n−1)
拒绝域W={χ2>χα22(n−1)或χ2<χ1−α22(n−1)}W=\{\chi^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)或\chi^2<\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}W={χ2>χ2α​2​(n−1)或χ2<χ1−2α​2​(n−1)}

第四步：计算χ2\chi^2χ2值，比较，下结论

例题
【例1】设成年男子身高X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，现从某团体随机抽20名：x‾=1.702,S=0.07\overline{x}=1.702,S=0.07x=1.702,S=0.07，试检验总体方差是否是0.006？（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:σ2=0.006,H1:σ2≠0.006H_0:\sigma^2=0.006,H_1:\sigma^2\not=0.006H0​:σ2=0.006,H1​:σ2​=0.006

假定H0H_0H0​成立，取χ2=(n−1)S20.006∼χ2(19)\displaystyle\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{0.006}\sim\chi^2(19)χ2=0.006(n−1)S2​∼χ2(19)
α=0.005⟹χα22(19)=χ0.0252(19)=32.9,χ1−α22(19)=χ0.9752(19)=8.91\alpha=0.005\Longrightarrow\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(19)=\chi^2_{0.025}(19)=32.9,\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(19)=\chi^2_{0.975}(19)=8.91α=0.005⟹χ2α​2​(19)=χ0.0252​(19)=32.9,χ1−2α​2​(19)=χ0.9752​(19)=8.91

计算χ2=(20−1)0.0720.006=15.571\displaystyle\chi^2=\frac{(20-1)0.07^2}{0.006}=15.571χ2=0.006(20−1)0.072​=15.571
8.91<15.571<32.98.91<15.571<32.98.91<15.571<32.9

接受H0H_0H0​，认为总体的方差是0.006

【例2】某种导线，要求电阻的标准差为0.005，现从一批导线中取9根，测得S=0.007S=0.007S=0.007，设总体正态分布，问在α=0.05\alpha=0.05α=0.05下能认为这批导线的标准差显著偏大吗？
解：
提出H0:σ2=0.0052,H1:σ2>0.0052H_0:\sigma^2=0.005^2,H_1:\sigma^2>0.005^2H0​:σ2=0.0052,H1​:σ2>0.0052

假定H0H_0H0​成立，X∼N(μ,0.0052)X\sim N(\mu,0.005^2)X∼N(μ,0.0052)
χ2=(n−1)S0.0052∼χ2(8)\displaystyle\chi^2=\frac{(n-1)S}{0.005^2}\sim\chi^2(8)χ2=0.0052(n−1)S​∼χ2(8)

α=0.05⟹χα2(8)=15.5\alpha=0.05\Longrightarrow\chi_{\alpha}^{2}(8)=15.5α=0.05⟹χα2​(8)=15.5

计算χ2=8×0.00720.0052=15.68>15.5\displaystyle\chi^2=\frac{8\times0.007^2}{0.005^2}=15.68>15.5χ2=0.00528×0.0072​=15.68>15.5

拒绝H0H_0H0​，认为导线的标准差显著偏大

总结

8.3 两个正态总体的参数假设检验

X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)X∼N(μ1​,σ12​)，X1,⋯,Xn1X_1,\cdots,X_{n_1}X1​,⋯,Xn1​​为样本，X‾\overline{X}X，S12S_1^2S12​
Y∼N(μ2,σ22)Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)Y∼N(μ2​,σ22​)，Y1,⋯,Yn2Y_1,\cdots,Y_{n_2}Y1​,⋯,Yn2​​为样本，Y‾\overline{Y}Y，S22S_2^2S22​

均值μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1​,μ2​差异性检验

  1. 假设H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​
  2. 假设H0:μ1≤μ2,H1:μ1≯μ2H_0:\mu_1\leq\mu_2,H_1:\mu_1\not>\mu_2H0​:μ1​≤μ2​,H1​:μ1​​>μ2​
  3. 假设H0:μ1≥μ2,H1:μ1≮μ2H_0:\mu_1\geq\mu_2,H_1:\mu_1\not<\mu_2H0​:μ1​≥μ2​,H1​:μ1​​<μ2​

UUU检验法：σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​已知，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​

（以双边检验为例）
第一步：提出H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​

第二步：假定H0H_0H0​成立
X‾−Y‾∼N(μ1−μ2,σ12n1+σ22n2)\displaystyle\overline{X}-\overline{Y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})X−Y∼N(μ1​−μ2​,n1​σ12​​+n2​σ22​​)
⟹\displaystyle\Longrightarrow⟹ 取 U=X‾−Y‾−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2=X‾−Y‾σ12n1+σ22n2∼N(0,1)U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)U=n1​σ12​​+n2​σ22​​​X−Y−(μ1​−μ2​)​=n1​σ12​​+n2​σ22​​​X−Y​∼N(0,1)

第三步：给定α\alphaα，由P(∣U∣>uα2)=αP(|U|>u_{\frac{\alpha}{2}})=\alphaP(∣U∣>u2α​​)=α，查表得uα2u_{\frac{\alpha}{2}}u2α​​
拒绝域W={(x1,⋯,xn1)(y1,⋯,yn2)∣∣u∣>uα2}W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1})(y_1,\cdots,y_{n_2})||u|>u_{\frac{\alpha}{2}}\}W={(x1​,⋯,xn1​​)(y1​,⋯,yn2​​)∣∣u∣>u2α​​}

第四步：计算∣u∣|u|∣u∣，∣u∣|u|∣u∣与uα2u_{\frac{\alpha}{2}}u2α​​比较，下结论

TTT检验法：σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​未知，σ12=σ22=σ2\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2σ12​=σ22​=σ2，检验H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H0​:μ=μ0​

（以双边检验为例）
第一步：提出H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​

第二步：假定H0H_0H0​成立，取T=X‾−Y‾(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−21n1+1n2∼t(n1+n2−2)\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)T=n1​+n2​−2(n1​−1)s12​+(n2​−1)s22​​​n1​1​+n2​1​​X−Y​∼t(n1​+n2​−2)

第三步：给定α\alphaα，由P(∣T∣>tα2)=αP(|T|>t_{\frac{\alpha}{2}})=\alphaP(∣T∣>t2α​​)=α，查表得tα2(n1+n2−2)t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)t2α​​(n1​+n2​−2)
拒绝域W={(x1,⋯,xn1)(y1,⋯,yn2)∣∣t∣>tα2}W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1})(y_1,\cdots,y_{n_2})||t|>t_{\frac{\alpha}{2}}\}W={(x1​,⋯,xn1​​)(y1​,⋯,yn2​​)∣∣t∣>t2α​​}

第四步：计算∣t∣|t|∣t∣，∣t∣|t|∣t∣与tα2t_{\frac{\alpha}{2}}t2α​​比较，下结论

例题
【例1】卷烟厂向化验室送去A,BA,BA,B两种烟草，化验尼古丁含量是否相同，从A,BA,BA,B各取5例化验：A：24，27，26，21，24；B：27，28，23，31，26，设A的尼古丁含量X∼N(μ1,5)X\sim N(\mu_1,5)X∼N(μ1​,5)，B的尼古丁含量Y∼N(μ2,8)Y\sim N(\mu_2,8)Y∼N(μ2​,8)，问两种烟草尼古丁平均含量是否有差异（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​

假设H0H_0H0​成立，σ12=5,σ22=8\sigma_1^2=5,\sigma_2^2=8σ12​=5,σ22​=8，取U=X‾−Y‾55+85∼N(0,1)\displaystyle U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{5}{5}+\frac{8}{5}}}\sim N(0,1)U=55​+58​​X−Y​∼N(0,1)

α=0.05⟹uα2=1.96\alpha=0.05\Longrightarrow u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96α=0.05⟹u2α​​=1.96
拒绝域W={(x1,⋯,xn1)(y1,⋯,yn2)∣∣u∣>1.96}W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1})(y_1,\cdots,y_{n_2})||u|>1.96\}W={(x1​,⋯,xn1​​)(y1​,⋯,yn2​​)∣∣u∣>1.96}

x‾=24.4,y‾=27\overline{x}=24.4,\overline{y}=27x=24.4,y​=27
∣u∣=1.612<uα2=1.96|u|=1.612<u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96∣u∣=1.612<u2α​​=1.96

接受H0H_0H0​，认为两种烟草尼古丁的平均含量无差异

【例2】要考察温度对针织品断裂强力的影响，为了比较70℃和80℃的影响有无差别，分别做5次试验：
70℃强力：20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，X∼N(μ1,σ2)X\sim N(\mu_1,\sigma^2)X∼N(μ1​,σ2)
80℃强力：17.7，20.3，20.0，18.1，19.0，Y∼N(μ2,σ2)Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)Y∼N(μ2​,σ2)
问两种温度下，强力是否有显著差异？（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​

假设H0H_0H0​成立，σ12=σ22=σ2\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2σ12​=σ22​=σ2未知，取T=X‾−Y‾4S12+4S22815+15∼t(8)\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{4S_1^2+4S_2^2}{8}}\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}\sim t(8)T=84S12​+4S22​​​51​+51​​X−Y​∼t(8)

α=0.05⟹tα2(8)=2.306\alpha=0.05\Longrightarrow t_{\frac{\alpha}{2}}(8)=2.306α=0.05⟹t2α​​(8)=2.306
拒绝域W={(x1,⋯,xn1)(y1,⋯,yn2)∣∣t∣>2.306}W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1})(y_1,\cdots,y_{n_2})||t|>2.306\}W={(x1​,⋯,xn1​​)(y1​,⋯,yn2​​)∣∣t∣>2.306}

x‾=20.3,y‾=19.02,(n1−1)S12=4.34,(n2−1)S22=5.188\overline{x}=20.3,\overline{y}=19.02,(n_1-1)S_1^2=4.34,(n_2-1)S_2^2=5.188x=20.3,y​=19.02,(n1​−1)S12​=4.34,(n2​−1)S22​=5.188
∣t∣=1.855<tα2(8)=2.306|t|=1.855<t_{\frac{\alpha}{2}}(8)=2.306∣t∣=1.855<t2α​​(8)=2.306

接受H0H_0H0​，认为两种温度下强力无显著差异

总结

方差σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2σ12​,σ22​差异性检验

  1. 假设H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2\not=\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​,H1​:σ12​​=σ22​
  2. 假设H0:σ12≤σ22,H1:σ12>σ22H_0:\sigma_1^2\leq\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2H0​:σ12​≤σ22​,H1​:σ12​>σ22​
  3. 假设H0:σ12≥σ22,H1:σ12<σ22H_0:\sigma_1^2\geq\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2<\sigma_2^2H0​:σ12​≥σ22​,H1​:σ12​<σ22​

μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1​,μ2​都未知，检验H0:σ12=σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​

（以双侧检验为例）
第一步：提出H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2\not=\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​,H1​:σ12​​=σ22​

第二步：假设H0H_0H0​成立，取F=S12/σ12S22/σ22=S12S22∼F(n1−1,n2−1)\displaystyle F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)F=S22​/σ22​S12​/σ12​​=S22​S12​​∼F(n1​−1,n2​−1)

第三步：给定α\alphaα，由P(F>Fα2)=P(F<F1−α2)=α2P(F>F_{\frac{\alpha}{2}})=P(F<F_{1-\frac{\alpha}{2}})=\frac{\alpha}{2}P(F>F2α​​)=P(F<F1−2α​​)=2α​
（计算时用到公式：F1−α2(n1−1,n2−1)=Fα2(n2−1,n1−1)F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)=F_{\frac{\alpha}{2}}(n_2-1,n_1-1)F1−2α​​(n1​−1,n2​−1)=F2α​​(n2​−1,n1​−1)）
拒绝域W={(x1,⋯,xn1)(y1,⋯,yn2)∣f>fα2(n1−1,n2−1)或f<f1−α2(n1−1,n2−1)}W=\{(x_1,\cdots,x_{n_1})(y_1,\cdots,y_{n_2})|f>f_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)或f<f_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)\}W={(x1​,⋯,xn1​​)(y1​,⋯,yn2​​)∣f>f2α​​(n1​−1,n2​−1)或f<f1−2α​​(n1​−1,n2​−1)}

第四步：计算FFF的值fff，比较，下结论

例题
【例1】从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率。设各煤矿含灰率都服从正态分布，n1=5,n2=4n_1=5,n_2=4n1​=5,n2​=4，得S12=7.505,S22=2.593S_1^2=7.505,S_2^2=2.593S12​=7.505,S22​=2.593，问两处煤矿含灰率的方差有无显著差异？（α=0.05\alpha=0.05α=0.05）
解：
提出H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2\not=\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​,H1​:σ12​​=σ22​

若H0H_0H0​成立，取F=S12S22∼F(4,3)\displaystyle F=\frac{S1^2}{S_2^2}\sim F(4,3)F=S22​S12​∼F(4,3)

α=0.05,F0.025(4,3)=15.10,F0.975(4,3)=1F0.025(3,4)=19.98\displaystyle\alpha=0.05,F_{0.025}(4,3)=15.10,F_{0.975}(4,3)=\frac{1}{F_{0.025}(3,4)}=\frac{1}{9.98}α=0.05,F0.025​(4,3)=15.10,F0.975​(4,3)=F0.025​(3,4)1​=9.981​

计算f=7.5052.593=2.894\displaystyle f=\frac{7.505}{2.593}=2.894f=2.5937.505​=2.894
0.1<f<15.10.1<f<15.10.1<f<15.1
接受H0H_0H0​，认为两处煤矿含灰率的方差无显著差异

【例2】甲乙两台机床产同一滚珠，其直径都服从正态分布。现从两台车床生产产品分别取8个和9个测量直径得S12=0.096,S22=0.026S_1^2=0.096,S_2^2=0.026S12​=0.096,S22​=0.026，问甲车床滚珠直径的方差是否不超过乙车床？
解：
提出H0:σ12=σ22,H1:σ12>σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​,H1​:σ12​>σ22​

若H0H_0H0​成立，取F=S12S22∼F(7,8)\displaystyle F=\frac{S1^2}{S_2^2}\sim F(7,8)F=S22​S12​∼F(7,8)
α=0.05,F0.05(7,8)=3.50\alpha=0.05,F_{0.05}(7,8)=3.50α=0.05,F0.05​(7,8)=3.50

计算FFF的值，f=0.0960.026=3.96>3.5\displaystyle f=\frac{0.096}{0.026}=3.96>3.5f=0.0260.096​=3.96>3.5
拒绝H0H_0H0​，认为甲车床生产滚珠直径的方差超过乙车床

【例3】若将【例1】中的问题修改为“问两处煤矿含灰率的平均值有无显著差异？”
解：
先检验：H0:σ12=σ22,H1:σ12≠σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2,H_1:\sigma_1^2\not=\sigma_2^2H0​:σ12​=σ22​,H1​:σ12​​=σ22​
F=S12S22∼F(4,3)⟹\displaystyle F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(4,3)\LongrightarrowF=S22​S12​​∼F(4,3)⟹接受H0⟹σ12=σ22H_0\Longrightarrow\sigma_1^2=\sigma_2^2H0​⟹σ12​=σ22​

再检验：H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not=\mu_2H0​:μ1​=μ2​,H1​:μ1​​=μ2​（σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma_2^2σ12​=σ22​且未知 条件下）

区间估计——参数未知，利用统计量估计未知的参数
假设检验——参数已知，利用统计量检验已知的参数是否靠谱

宋浩概率论与数理统计-第八章-笔记相关推荐

  1. 宋浩概率论与数理统计笔记（一）

    基本信息 本篇是根据宋浩老师在B站的概率论与数理统计完成,标明了每一个知识点所在的时间点. 在学数学的时候笔记必不可少,但频繁暂停记笔记又浪费时间,那你就借他山之石,快速掌握基本数学知识. 宋浩老师视 ...

  2. 宋浩-概率论与数理统计笔记

    有需要pdf版本的可以留言 没有更新假设检验部分,如有需要也可以更新.

  3. 宋浩概率论笔记（一）概率的基本概念

    本栏目开始更新宋浩老师的概率论与数理统计网课笔记,内容记得很详细,整体来说字迹比线性代数好一些(doge).      

  4. 概率论与数理统计（学习笔记）——平平无奇的知识点

    概率论与数理统计 第一章:随机事件及其计算 自然现象:确定性现象 随机现象:事先不能准确预知其结果的现象. 1.1.单位名称 样本点(ω):实验中可能出现的基本结果 样本空间(Ω): 全部样本点构成的 ...

  5. 《概率论与数理统计》—读书笔记

    概率论的基本概念 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科. 统计规律性:在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性. 随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中 ...

  6. 《概率论与数理统计》复习笔记

    最近整理了一下期末复习笔记,我们用的教材是人民邮电出版社慕课版的,希望可以帮助到一些需要的小伙伴!(开摆了,已经不想整理了/(ㄒoㄒ)/~~) 目录 第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其分布 ...

  7. 2021年秋季《概率论与数理统计》学习笔记

    多维随机变量及之后内容.概念理解和误区澄清性质笔记可参考本专栏其他博客. 20211002更新至2.4连续型随机变量 "概率的概率" 20210930更新 几何分布无记忆性证明 泊 ...

  8. 张宇1000题概率论与数理统计 第八章 统计量及其分布

    目录 AAA组 5.设X1,X2,⋯,Xn(n⩾2)X_1,X_2,\cdots,X_n(n\geqslant2)X1​,X2​,⋯,Xn​(n⩾2)为来自总体X∼N(0,1)X\sim N(0,1) ...

  9. 古典概型——概率论与数理统计（宋浩）

    事件的概率 1.2.1概率的初等描述 概率的定义:事件发生的可能性的大小(P(A)) 性质: P(Ω)=1,P(φ)=0(规范性) 0<=P(A)<=1(非负性) 有限可加:A1,A2,A ...

最新文章

  1. Codeforces Round #469 (Div. 2) A/B
  2. IE提示“存储空间不足，无法完成此操作”的错误
  3. Python基础教程：list相关操作
  4. calayer 与uiview
  5. java中的action是指什么_Struts2【开发Action】知识要点
  6. 只删除字符串前面的‘*’号。
  7. Google Chrome，另类的邪恶垄断？
  8. oracle数据库表用序列实现主键自增长
  9. Xilisoft iPad Magic Platinum for Mac如何制作铃声？将联系人传输到计算机/设备？
  10. 牛客网暑期ACM多校训练营（第四场）G Maximum Mode（思维）
  11. Mysql外键设置中CASCADE、NO ACTION、RESTRICT、SET NULL区别意义
  12. linux在gpt分区装系统,linux安装到GPT分区
  13. 高科技还是“智商税”？你怎么选
  14. 《被讨厌的勇气》摘抄
  15. python怎么读？如何正确的发音？
  16. m基于EM参数估计的Gamma随机过程电池剩余寿命预测matlab仿真
  17. （C++）将数据库文件导出XML文件以及解析XML文件生成数据库文件的处理方法
  18. java的equle怎么用,法语虚拟式现在时（Le Subjonctif Présent）用法总结（一）
  19. LVM(logical volume manager) 逻辑卷管理器
  20. 具有多个项目的可访问拖放

热门文章

  1. HDFS常用命令汇总
  2. 验证码输入错误怎么再次刷新验证码
  3. 视频剪辑需要专门报班去学吗？
  4. go 进阶 多路复用支持: 一. netpoller 初始化
  5. ARM中流水线分析——以三级流水线进行分析
  6. 如何理解电容电流超前电压90度
  7. [ESP8266]刷MQTT固件以及连接服务器失败的问题解决
  8. Javascript迭代、迭代、穷举、递归常用算法
  9. 支付宝小程序状态栏显示图片
  10. html实现放大镜效果,利用jquery实现放大镜特效