【概率论与数理统计】猴博士笔记 p26-28 F、f的性质、一、二维连续型求期望、方差

2024-06-03 06:19:43

F、f的性质

做法：

上述公式的原理：

做一些题目来练习套公式。
例1：

解：
P{X≤2}=F(2)=1−e−2P\{X\le2\}=F(2)=1-e^{-2} P{X≤2}=F(2)=1−e−2
例2：

解：
P{0≤X≤2}=F(2)−F(0−)=F(2)−F(0)=1−e−2P\{0\le X\le2\}=F(2)-F(0^{-})=F(2)-F(0)=1-e^{-2} P{0≤X≤2}=F(2)−F(0−)=F(2)−F(0)=1−e−2

例3：

解：
大概就是这样判断：

F(1.5,2.5)=P{X≤1.5,Y≤2.5}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}=14+0=14F(1.5,2.5)=P\{X\le 1.5,Y\le2.5\} \\=P\{X=1,Y=1\}+P\{X=1,Y=2\} \\=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4} F(1.5,2.5)=P{X≤1.5,Y≤2.5}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}=41+0=41
例4：

解：
可以用到的三条性质：
F(+∞)=1，F(−∞)=0，F(X0+)=F(X0)（右连续型）F(+∞)=1，F(-∞)=0，F(X_0^{+})=F(X_0)（右连续型） F(+∞)=1，F(−∞)=0，F(X0+)=F(X0)（右连续型）
这道题里F(-∞)=0没用上。

例5：

解：
用到的公式：带有-∞的都是0.
F(+∞,+∞)=1，F(−∞,−∞)=0,F(x,−∞)=0,F(−∞,y)=0F(+∞,+∞)=1，F(-∞,-∞)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0 F(+∞,+∞)=1，F(−∞,−∞)=0,F(x,−∞)=0,F(−∞,y)=0

例6：

解：
∫−∞+∞f(x)dx=1\displaystyle \int^{+∞}_{-∞}{f(x)dx}=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1

例7：

解：
∬f(x)dxdy=1\displaystyle \iint{f(x)dxdy}=1 ∬f(x)dxdy=1
二重积分符号下面有个D没打出来。

一维连续型求期望、方差

做法：

练习套公式。
例1：

解：

例2：有很多分部积分法，建议把这个方法复习一下再往下做。

解：
EX：

注意：求xe^-x要用分部积分法：
∫udv=uv−∫vdu\displaystyle \int udv=uv-\displaystyle \int vdu ∫udv=uv−∫vdu

E(X²):

EY:

其他：（上面的积分部分都要用分部积分法）

二维连续型求期望、方差

有两种做法：
方法一是把二维降成一维，然后用上节课的方法做。
本节主要用方法二：求什么就乘什么，然后求其总体的二重积分。

例1：

解：
EX：

E(X²)

EY:

其余步骤都一样。

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