logistic回归模型是一种线性生成模型。本文将介绍logistic回归模型相关的知识，为了更好地理解模型的决策边界函数，本文同时分析了多元变量的协方差对概率分布的影响。

本文脉络:logistic回归模型的含义

logistic模型的决策边界函数分析

logistic模型的参数最优化

logistic回归模型与感知机模型的比较

总结

logistic回归模型的含义

我们把分类模型分成两个阶段，推断阶段和决策阶段，推断阶段对联合概率分布建模，然后归一化，得到后验概率。决策阶段确定每个新输入x的类别。

我们用推断阶段的方法来推导logistic回归模型，首先对类条件概率密度

和类先验概率分布

建模，然后通过贝叶斯定理计算后验概率密度。

考虑二分类的情形，类别C1的后验概率密度;

令

则:

式中的

就是logistic函数

因此，logistic回归的值等于输入变量为x的条件下类别为C1的概率

(1) 当

分类结果为C1

(2) 当

分类结果为C2

结论：logistic回归值表示所属类的后验概率，无论是二分类还是多分类，分类结果都是后验概率最大所对应的类。

logistic的决策边界函数分析

决策边界函数，简而言之，就是函数的两侧是不同的分类结果。

可定性的分析协方差的三种情况与分布图的关系。

(a) 图表示正常的协方差矩阵的高斯分布图。

(b) 图表示协方差矩阵是对角矩阵的高斯分布图。

(c) 图表示协方差矩阵是对角矩阵且对角元素都相等的高斯分布图。

logistic的决策边界函数分析

logistic曲线如下图，红色直线(a=0)表示决策边界函数:

假设类条件概率密度是高斯分布，即P(x|Ck),然后求解后验概率的表达式，即P(Ck|x)。我们知道，logistic回归值就是所求的后验概率。

假设类条件概率密度的协方差相同，类条件概率密度为:

由上面的推导公式得后验概率为:

其中:

由后验概率

的表达式可知，当类条件的协方差矩阵相等时，决策边界函数是随x线性变化的直线。

结论：如下图，若两类的条件概率密度的协方差相同时(如C1和C2的协方差相同)，则决策边界函数是直线；若两类的条件概率密度的协方差不相同时(如C1和C3，C2和C3)，则决策边界函数是曲线。判断协方差矩阵是否相同可以根据分布图形形状是否相同来判断，如C1和C2的协方差相同，C3和C1、C2的协方差不相同。

假设类条件概率密度符合高斯分布且具有相同的协方差矩阵，则决策边界函数是一条直线；若类条件概率密度符合更一般的指数分布且缩放参数s相同，决策边界函数仍然是一条直线。

logistic模型的参数最优化

logistic模型损失函数

logistic回归模型的含义是后验概率分布，因此可以从概率的角度去设计损失函数。

考虑两分类情况，假设有N个训练样本，logistic模型是

表示后验概率y=1的概率，则

表示y=0的概率，变量

取值1或0，且分别代表模型

因此，似然函数

损失函数

logistic模型的参数最优化

损失函数最小化等价于模型参数的最优化，如下图:

利用梯度下降法求最优解，学习速率

:

具体求法本文不介绍，只给出算法的思想。

为了避免过拟合问题，则在原来的损失函数增加正则项，然后利用梯度下降法求最优解，这里也不展开。

logistic模型与感知机模型的比较

logistic模型与感知机模型的相同点

由上面的分析可知，假设类条件概率分布的协方差相同，则logistic模型的决策边界函数是随x线性变化的直线，因此，感知机模型与logistic模型的分类策略一样，即决策边界函数是一样的。如下图:

感知机模型：当点落在直线上方，y>0,则分类结果为C1；反之为C2。

logistic模型：当点落在上方，y>0，则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1；反之为C2。

考虑到对输入变量x进行非线性变换

,感知机和logistic模型的分类策略仍一样，决策边界函数相同，如下图:

感知机模型:当点落在圆外，y>0，则分类结果为C1；反之为C2。

logistic模型：当点落在圆外，y>0，则后验概率P(C1|X)>0.5,分类结果为C1；反之为C2。

logistic模型与感知机模型的异同点

(1) logistic回归模型限制值的范围在0~1,感知机模型对值范围没有限制，因此logistic模型相比感知机模型，对异常点有更强的鲁棒性。如下图，当有异常数据时，logistic模型要好于感知机模型。

(2) 感知机模型用误分类点到超平面的距离衡量损失函数，而logistic模型则从概率角度去衡量损失函数。

总结

logistic回归的含义是后验概率分布，用概率的角度去设计似然函数，logistic模型相比于感知机模型对异常数据具有更好的鲁棒性。