量子寄存器、量子状态叠加与并行处理的关系

叠加态的数学定义：
∣x⟩=α1∣x1⟩+α2∣x2⟩+⋯+αn∣xn⟩\mathinner{|x\rangle}=\alpha_1\mathinner{|x_1\rangle}+\alpha_2\mathinner{|x_2\rangle}+\cdots+\alpha_n\mathinner{|x_n\rangle}∣x⟩=α1∣x1⟩+α2∣x2⟩+⋯+αn∣xn⟩
其中，αi,i=1,2,⋯,n\alpha_i,i=1,2,\cdots,nαi,i=1,2,⋯,n为振幅，{∣x1⟩,∣x2⟩,⋯,∣xn⟩}\{\mathinner{|x_1\rangle},\mathinner{|x_2\rangle},\cdots,\mathinner{|x_n\rangle}\}{∣x1⟩,∣x2⟩,⋯,∣xn⟩}是基态，∣α1∣2+∣α2∣2+⋯+∣αn∣2=1|\alpha_1|^2+|\alpha_2|^2+\cdots+|\alpha_n|^2=1∣α1∣2+∣α2∣2+⋯+∣αn∣2=1，且一般为正交归一基，那么，对叠加态的一次运算，就相当于对nnn个基态同时进行一次运算。
由此可见，量子叠加态是实现真正意义物理意义上并行计算的物质基础。
定义：量子寄存器——量子比特的集合
其是位串，其长度决定了它可以存储的信息量。因为叠加时，寄存器中的每个量子位是∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩和∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩的叠加，所以长度为nnn个量子位的寄存器是所有2n2n2n个可能的用nnn位表示的长度量子位串的叠加。那么，长度为nnn的量子寄存器，对应到线性代数，就是其状态空间是nnn为基向量的线性组合，每个长度为2n2n2n，那么，我们可以得出：
∣ψn∣=∑i=02n−1ai∣i⟩|\psi_n|=\sum\limits_{i = 0}^{{2^{n - 1}}} {{a_i}}\mathinner{|i\rangle}∣ψn∣=i=0∑2n−1ai∣i⟩
例：
若U∣0⟩=12(∣0⟩+∣1⟩)U\mathinner{|0\rangle}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})U∣0⟩=21(∣0⟩+∣1⟩)，则一个长度为444的量子位寄存器的扩展为：
U⊗U⊗U⊗U⊗∣0000⟩=U∣0⟩⊗U∣0⟩⊗U∣0⟩⊗U∣0⟩=12(∣0⟩+∣1⟩)⊗12(∣0⟩+∣1⟩)⊗12(∣0⟩+∣1⟩)⊗12(∣0⟩+∣1⟩)=14(∣0000⟩+∣0001⟩+∣0010⟩+∣0011⟩+∣0100⟩+∣0101⟩+∣0110⟩+∣0111⟩+∣1000⟩+∣1001⟩+1010⟩+∣1011⟩+∣1100⟩+∣1101⟩+∣1110⟩+∣1111⟩)=14(∣0⟩+∣1⟩+∣2⟩+∣3⟩+∣4⟩+∣5⟩+∣6⟩+∣7⟩+∣8⟩+∣9⟩+∣10⟩+∣11⟩+∣12⟩+∣13⟩+∣14⟩+∣15⟩)U\otimes U\otimes U\otimes U\otimes\mathinner{|0000\rangle}\\=U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\otimes U\mathinner{|0\rangle}\\=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle})\\=\frac{1}{4}(\mathinner{|0000\rangle}+\mathinner{|0001\rangle}+\mathinner{|0010\rangle}+\mathinner{|0011\rangle}+\mathinner{|0100\rangle}+\mathinner{|0101\rangle}+\mathinner{|0110\rangle}+\mathinner{|0111\rangle}+\mathinner{|1000\rangle}+\mathinner{|1001\rangle}+\mathinner{1010\rangle}+\mathinner{|1011\rangle}+\mathinner{|1100\rangle}+\mathinner{|1101\rangle}+\mathinner{|1110\rangle}+\mathinner{|1111\rangle})\\=\frac{1}{4}(\mathinner{|0\rangle}+\mathinner{|1\rangle}+\mathinner{|2\rangle}+\mathinner{|3\rangle}+\mathinner{|4\rangle}+\mathinner{|5\rangle}+\mathinner{|6\rangle}+\mathinner{|7\rangle}+\mathinner{|8\rangle}+\mathinner{|9\rangle}+\mathinner{|10\rangle}+\mathinner{|11\rangle}+\mathinner{|12\rangle}+\mathinner{|13\rangle}+\mathinner{|14\rangle}+\mathinner{|15\rangle})U⊗U⊗U⊗U⊗∣0000⟩=U∣0⟩⊗U∣0⟩⊗U∣0⟩⊗U∣0⟩=21(∣0⟩+∣1⟩)⊗21(∣0⟩+∣1⟩)⊗21(∣0⟩+∣1⟩)⊗21(∣0⟩+∣1⟩)=41(∣0000⟩+∣0001⟩+∣0010⟩+∣0011⟩+∣0100⟩+∣0101⟩+∣0110⟩+∣0111⟩+∣1000⟩+∣1001⟩+1010⟩+∣1011⟩+∣1100⟩+∣1101⟩+∣1110⟩+∣1111⟩)=41(∣0⟩+∣1⟩+∣2⟩+∣3⟩+∣4⟩+∣5⟩+∣6⟩+∣7⟩+∣8⟩+∣9⟩+∣10⟩+∣11⟩+∣12⟩+∣13⟩+∣14⟩+∣15⟩)
由此可以得出，经过444次基本操作得到161616个量子态，nnn次基本操作得到包含2n2^n2n个数之的急促你的态，而在经典计算机中，nnn次操作仅得到包含111个数值的寄存器的态。

不确定性原理

首先，给出两个概念的定义
定义：对易和反对易——算符AAA和BBB如果满足条件AB=BAAB=BAAB=BA，则称为对易的；如果AB=−BAAB=-BAAB=−BA，则称为反对易的。
定义：对易子和反对易子——量子算符的对易子定义为：[A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA[A,B]=AB−BA，对易关系即[A,B]=0[A,B]=0[A,B]=0；反对易子的定义为{A,B}=AB+BA\{A,B\}=AB+BA{A,B}=AB+BA，反对易关系即{A,B}=0\{A,B\}=0{A,B}=0
现在，就能给出不确定性原理的定义了
定义：不确定性原理——不能通过测量同时确定两个不对易的物理量
比如位置和动量，因为对其中一个的测量行为会干扰被测对象的状态，导致另一个物理量无法确定。如果知道一个粒子的位置xxx，那么就完全无法确定它的动量ppp，这种关系可以用式子表示为：ΔxΔp≥h2\Delta x\Delta p\geq \frac{h}{2}ΔxΔp≥2h，其中，h≈6.62607015×10−34J⋅sh\approx6.62607015\times10^{-34}J\cdot sh≈6.62607015×10−34J⋅s是普朗克常数。

下面，我们通过一个详细的例子来理解一下不确定性原理。

假设你现在有一颗神奇的糖，它的味道有时酸，有时甜；它的颜色有时红，有时蓝。你只有品尝它的时候才会知道它的味道，看到它的时候才会知道它的颜色。
先以味道为例：当我们去品尝糖的味道时，它的量子态就随机落到了“甜”或“不甜”两个本征态的其中一个上，在平面上表示，“甜”和“不甜”就分别对应着∣a1⟩,∣a2⟩\mathinner{|a_1\rangle},\mathinner{|a_2\rangle}∣a1⟩,∣a2⟩两个向量，如下图所示：

如果我们品尝了糖的味道、发现是甜的，那么它的状态就落到了味道的本征态∣a1⟩\mathinner{|a_1\rangle}∣a1⟩上。而根据前面的描述，现在糖的颜色就变得不确定了，处于“红”和“蓝”两个本征态的叠加。为了从数学上描述这一点，我们给出另一对基底，记为∣b1⟩,∣b2⟩\mathinner{|b_1\rangle},\mathinner{|b_2\rangle}∣b1⟩,∣b2⟩，它们分别对应颜色的“红”和“蓝”两个本征态。假定∣a1⟩,∣a2⟩，∣b1⟩,∣b2⟩\mathinner{|a_1\rangle},\mathinner{|a_2\rangle}，\mathinner{|b_1\rangle},\mathinner{|b_2\rangle}∣a1⟩,∣a2⟩，∣b1⟩,∣b2⟩的“几何”关系图如下

根据线性基底变换，我们可以得到
{∣a1⟩=12(∣b1⟩−∣b2⟩)∣a2⟩=12(∣b1⟩+∣b2⟩)\left\{ \begin{array}{l} \mathinner{|a_1\rangle}= \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\mathinner{|b_1\rangle}-\mathinner{|b_2\rangle})\\ \mathinner{|a_2\rangle}= \frac{1}{{\sqrt 2 }}(\mathinner{|b_1\rangle}+\mathinner{|b_2\rangle}) \end{array} \right. {∣a1⟩=21(∣b1⟩−∣b2⟩)∣a2⟩=21(∣b1⟩+∣b2⟩)
即，当糖的味道确定时，颜色就处在了叠加态中，所以，接下来再去测量它的颜色，就会随机得到“红”或“蓝”的结果。而这两个结果的概率，就是叠加系数的模平方，于是可以算出两个结果分别对应的概率：P(∣b1⟩)=(12)2=12,P(∣b2⟩)=(12)2=12P(\mathinner{|b_1\rangle})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2},P(\mathinner{|b_2\rangle})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}P(∣b1⟩)=(21)2=21,P(∣b2⟩)=(21)2=21，也就是说，我们各以12\frac{1}{2}21的概率得到“红”或“蓝”的结果。

由此，我们可以得到正确的理解不确定性关系的方式是：一旦量子的位置确定，它的动量就处于叠加状态，没有确定的值，直到我们去测量它的动量。

本周就到这里了，谢谢大家。

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