量子算法

什么是量子算法

例如我们求解一个问题，一个111千克的铁球，从333米高的地方丢下来，多久接触地面？经典计算机的算法会例用物理学公式直接计算，而量子计算机却是“模拟真实情况”，假设有个铁球，实际丢几次。使用量子算法，类似于一种实验过程，发挥其物理特性，按我们设计的算法退出叠加态，退出叠加态的量子，有些推成了111，有些成000，最后测量到的011000110001100就是计算结果。由于量子算法利用了量子的物理特性，所以我们可以让叠加态的量子高概率的塌陷到我们想要的结果上。

量子计算机不能独立于经典计算机独立存在。因为量子计算机的计算过程其实就是把算法设计成一个实验，而实验才是提速的原因。其实本质就是换个思路把传统的计算设计成了实验，然后观察实验结果。所以全过程应该是用经典计算机进行一些状态的预处理，然后转化为合适的实验让量子计算机实现，实验完成后再用经典计算机处理实验结果，如果结果不理想(因为实验会有误差的存在)，那就再做一次实验，最终获得想要的结果。

量子计算机对比经典计算机：

接下来，我们会学习三个经典的量子算法

三个经典量子算法

Grover、Shor、HHL算法

Grover算法

背景

199619961996年，计算机科学家GroverGroverGrover提出一个量子搜索算法，通常成为GroverGroverGrover算法。该算法指的是从nnn个未分类的元素种寻找出某个特定的元素，其本质是一个搜索遍历问题。由于很多问题都可以看成一个搜索问题，因此GroverGroverGrover算法的用途十分广泛，再量子计算领域中的影响仅次于ShorShorShor算法。

基本原理

假设在NNN个元素的空间中搜索，方便起见，假定N=2N=2N=2，且搜索问题恰好有MMM个解，这个问题的特里可以方便地表示为一个输入xxx的函数f(x)f(x)f(x)，xxx是从000到N−1N-1N−1的整数，fff的定义是：若xxx是搜索问题的一个解，则f(x)=1f(x)=1f(x)=1，若xxx不是解，则f(x)=0f(x)=0f(x)=0。于是，搜索问题可归结为判决函数：
f:Ω⟶{0,1}f:\Omega\longrightarrow\{0,1\} f:Ω⟶{0,1}
对每个输入都可计算出来的条件下，从NNN元的可能解集合Ω\OmegaΩ中找出一个满足f(x)=1f(x)=1f(x)=1的点xxx的问题。函数fff称为一个OracleOracleOracle(黑匣子)。

例题

假设有一个映射：1,2,⋯,N→{0,1}1,2,\cdots,N\to\{0,1\}1,2,⋯,N→{0,1}，有一个函数f(x)→{0,1}f(x)\to\{0,1\}f(x)→{0,1}。当N=4N=4N=4时，假如，f(1)=0,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1f(1)=0,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1f(1)=0,f(2)=1,f(3)=0,f(4)=1，我们的目的就是找到f(x)=1f(x)=1f(x)=1的解，这就是一个搜索问题。在这个例题中2,42,42,4就是搜索解，二七只要搜索到一个解即可。但是，这个目标如何找得到呢？

假设被查找的集合为：{∣i⟩}={∣0⟩,∣1⟩,⋯,∣N−1⟩}\{|i\rangle\}=\{|0\rangle,|1\rangle,\cdots,|N-1\rangle\}{∣i⟩}={∣0⟩,∣1⟩,⋯,∣N−1⟩}且有一个量子OracleOracleOracle可以识别搜索问题的解，识别的结果通过OracleOracleOracle的一个量子比特给出，可以将OracleOracleOracle定义为：∣x⟩∣q⟩⟶Oracle∣x⟩∣q⊗f(x)⟩|x\rangle|q\rangle\stackrel{Oracle}{\longrightarrow}|x\rangle|q\otimes f(x)\rangle∣x⟩∣q⟩⟶Oracle∣x⟩∣q⊗f(x)⟩
其中，∣q⟩|q\rangle∣q⟩是一个结果寄存器。通过OracleOracleOracle，当搜索的索引为目标结果时，结果寄存器翻转；不是目标结果时，结果寄存器不变。因此，可以通过判断结果寄存器的值来确定搜索的对象是否为目标值。
简单来说，OracleOracleOracle的大致功能可以作如下定义：
Oω∣x⟩={∣x⟩,ifx≠ω−∣x⟩,ifx=ωO_\omega|x\rangle= \left\{ \begin{array}{lr} |x\rangle,if\quad x\ne\omega \\ -|x\rangle,if\quad x=\omega \end{array} \right. Oω∣x⟩={∣x⟩,ifx=ω−∣x⟩,ifx=ω
配合两个寄存器，OracleOracleOracle对量子态的具体操作为：先将初态制备在态∣0⟩⊗n∣1⟩|0\rangle\otimes^n|1\rangle∣0⟩⊗n∣1⟩上，∣0⟩⊗n|0\rangle\otimes^n∣0⟩⊗n为查询寄存器，∣1⟩|1\rangle∣1⟩为结果寄存器。经过HHH门操作后，可以将查询寄存器的量子态，变为所有结果的叠加态，即得到所有结果的索引，且记过寄存器变为H∣1⟩=(∣0⟩−∣1⟩)/2H|1\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}H∣1⟩=(∣0⟩−∣1⟩)/2，再使其通过OracleOracleOracle，可以对每一个索引进行检验，若是目标结果，则将结果寄存器的量子态进行0、10、10、1翻转，即：
12(∣1⟩−∣0⟩)=−12(∣1⟩−∣0⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)=-\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle) 21(∣1⟩−∣0⟩)=−21(∣1⟩−∣0⟩)
而查询寄存器不变。当检验的索引不是目标结果时，结果寄存器不变。因此，OracleOracleOracle可以换一种表示方式：
∣x⟩(∣0⟩−∣1⟩2)⟶Oracle(−1)f(x)∣x⟩∣∣0⟩−∣1⟩2>|x\rangle\left(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\right) \stackrel{Oracle}{\longrightarrow} (-1)^{f(x)}|x\rangle\left|\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\right> ∣x⟩(2∣0⟩−∣1⟩)⟶Oracle(−1)f(x)∣x⟩∣∣∣∣2∣0⟩−∣1⟩⟩
由此可得，OracleOracleOracle的作用是通过改变解的相位，标记搜索问题的解。
当查询寄存器由初态经过HHH门后，其将变成所有肯情况的等额叠加态，即包含着所有搜索问题的解与非搜索问题的解，记为：
∣0⟩⊗n⟶Hadamard∣ψ⟩=1N∑x∣x⟩|0\rangle\otimes^n\stackrel{Hadamard}{\longrightarrow} |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_x|x\rangle ∣0⟩⊗n⟶Hadamard∣ψ⟩=N1x∑∣x⟩
再将所有非搜索问题(N−M)(N-M)(N−M)的解定义为一个量子态∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩，记为：
∣α⟩=1N−M∑x1∣x⟩|\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{N-M}}\sum\limits_{x_1}|x\rangle ∣α⟩=N−M1x1∑∣x⟩
那么，令∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩为最终的量子态，且∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩与∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩正交，初态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩可重新表示为：
∣ψ⟩=N−MN∣α⟩+MN∣β⟩|\psi\rangle=\sqrt{\frac{N-M}{N}}|\alpha\rangle+\sqrt{\frac{M}{N}}|\beta\rangle ∣ψ⟩=NN−M∣α⟩+NM∣β⟩
此时，初态属于∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩与∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩张成的空间，如图所示，可以用平面向量表示着三个量子态

我们已经知道OracleOracleOracle的作用是通过改变解的相位，标记搜索问题的解。相当于在∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩内每一个态前均增加一个符号，将所有的符号提出来，有：
∣ψ⟩⟶OracleN−MN∣α⟩−MN∣β⟩|\psi\rangle\stackrel{Oracle}{\longrightarrow} \sqrt{\frac{N-M}{N}}|\alpha\rangle-\sqrt{\frac{M}{N}}|\beta\rangle ∣ψ⟩⟶OracleNN−M∣α⟩−NM∣β⟩
对应在上图二维坐标系中，OracleOracleOracle作用后相当于将∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩作关于∣α⟩|\alpha\rangle∣α⟩轴的对称(第一种对称操作)。此时，还不能将量子态从∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩变为∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩，还需要另一种对称操作，即量子态关于∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩对称的操作(第二种对称操作)。

首先将量子态经过一个HHH门，然后再对量子态进行一个相位变换，∣0⟩⊗n|0\rangle\otimes^n∣0⟩⊗n态的系数保持不变，其他的量子态的系数增加一个负号，相当于2∣0⟩⟨0∣−I=[100−1]2|0\rangle\langle0|-I=\left[\begin{array}{l}1&0\\0&-1 \end{array}\right]2∣0⟩⟨0∣−I=[100−1]变换(HouseholderHouseholderHouseholder算符)。如果取∣0⟩=[10]|0\rangle=\left[\begin{array}{l}1\\0\end{array}\right]∣0⟩=[10]，不难发现2∣0⟩⟨0∣−I2|0\rangle\langle0|-I2∣0⟩⟨0∣−I对应于PauliPauliPauli算符σz\sigma_zσz，即Z−GateZ-GateZ−Gate演算。最后，再经过一个HHH门。此时，便实现了将量子态关于∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩对称的操作

这两种对称操作，合在一起称为一次GroverGroverGrover迭代。假设初态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩可以表示为：
∣ψ⟩=cosθ2∣α⟩+sinθ2∣β⟩|\psi\rangle=cos\frac{\theta}{2}|\alpha\rangle+sin\frac{\theta}{2}|\beta\rangle ∣ψ⟩=cos2θ∣α⟩+sin2θ∣β⟩
对比前面初态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩的表示，不难发现cosθ2=N−MNcos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{N-M}{N}}cos2θ=NN−M。再根据上图，不能看出，每一次GroverGroverGrover迭代，可以是使量子态逆时针旋转θ\thetaθ，那么，进行kkk次GroverGroverGrover迭代后，末态为：
Gk∣ψ⟩=cos(2k+12θ)∣α⟩+sin(2k+12)∣β⟩G^k|\psi\rangle=cos\left(\frac{2k+1}{2}\theta\right)|\alpha\rangle+sin\left(\frac{2k+1}{2}\right)|\beta\rangle Gk∣ψ⟩=cos(22k+1θ)∣α⟩+sin(22k+1)∣β⟩
经过多次迭代操作，可以使末态在∣β⟩|\beta\rangle∣β⟩态上的概率足够大，进而满足精确度的要求，则迭代的次数RRR满足：R≤π4NMR\le\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{N}{M}}R≤4πMN
结合振幅示意图，可以更加清晰的看出算法的一次迭代过程

第一步：初始化，产生一个等幅度的状态叠合：
∣0n,0⟩→对前n个分量并行执行量子Fourier变换12n∑x=02n−1∣x,0⟩|0^n,0\rangle\xrightarrow{对前n个分量并行执行量子Fourier变换}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,0\rangle ∣0n,0⟩对前n个分量并行执行量子Fourier变换2n1x=0∑2n−1∣x,0⟩
第二步：完成对判决函数的并行计算
12n∑x=02n−1∣x,0⟩→将第一分量的变换结果⊗到第二分量F:∣x,b⟩→∣x,b⊗f(x)⟩12n∑x=02n−1∣x,f(x)⟩\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,0\rangle\xrightarrow[将第一分量的变换结果\otimes到第二分量]{F:|x,b\rangle\to|x,b\otimes f(x)\rangle}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,f(x)\rangle 2n1x=0∑2n−1∣x,0⟩F:∣x,b⟩→∣x,b⊗f(x)⟩将第一分量的变换结果⊗到第二分量2n1x=0∑2n−1∣x,f(x)⟩
第三步：对最后分量做“GGG操作”变换，标出真解
12n∑x=02n−1∣x,f(x)⟩→对二分量做“G操作”变换12n∑x=02n−1(−1)f(x)∣x,f(x)⟩\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,f(x)\rangle\xrightarrow{对二分量做“G操作”变换}\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}(-1)^{f(x)}|x,f(x)\rangle 2n1x=0∑2n−1∣x,f(x)⟩对二分量做“G操作”变换2n1x=0∑2n−1(−1)f(x)∣x,f(x)⟩
第三步达到的效果是只有真解的幅才是负值。
第四步：对∣x,f(x)⟩|x,f(x)\rangle∣x,f(x)⟩的第一分量执行DDD变换，增大真解bbb对应的状态∣b,1⟩|b,1\rangle∣b,1⟩的出现概率。其中DDD变换的变换矩阵D=(dij)2n×2nD=(d_{ij})_{2^n\times2^n}D=(dij)2n×2n为：
dij={21−n−1,若i=j;21−n,若i≠j.d_{ij}=\left\{\begin{array}{l}2^{1-n}-1,若i=j;\\2^{1-n},若i\ne j.\end{array}\right. dij={21−n−1,若i=j;21−n,若i=j.
即幅度的变化规律(a0,a1,⋯,a2n−1)→(a0′,a1′,⋯,a2n−1′)(ai(a_0,a_1,\cdots,a_{2^n-1})\to(a_0^{'},a_1^{'},\cdots,a_{2^n-1}^{'})(a_i(a0,a1,⋯,a2n−1)→(a0′,a1′,⋯,a2n−1′)(ai是∣i⟩|i\rangle∣i⟩的幅度)))为：
ai′=∑j=02n−1dijaj=diiai+∑j:j≠idijaj=(21−n−1)ai+21−n∑j:j≠iaj=21−n∑j=02n−1aj−aia_i^{'}=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}d_{ij}a_j=d_{ii}a_i+\sum\limits_{j:j\ne i}d_{ij}a_j=(2^{1-n}-1)a_i+2^{1-n}\sum\limits_{j:j\ne i}a_j=2^{1-n}\sum\limits_{j=0}^{2^n-1}a_j-a_i ai′=j=0∑2n−1dijaj=diiai+j:j=i∑dijaj=(21−n−1)ai+21−nj:j=i∑aj=21−nj=0∑2n−1aj−ai
第四步：达到的效果是真解的出现概率变大！
第五步：重复执行第三步到第四步kkk次后进行观察，得到观察结果∣x,1⟩|x,1\rangle∣x,1⟩，并将xxx作为真解输出。

注意：
(1)迭代次数kkk的值必须预先设定；k≈π42nM−12k\approx\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^n}{M}}-\frac{1}{2}k≈4πM2n−21
(2)整个算法只计算一次f(x)f(x)f(x)

两个问题：(1)迭代次数kkk的值如何设定？(2)GroverGroverGrover算法的成功率是多少？
假设第二步后的结果是
φ0=12n∑x=02n−1∣x,f(x)⟩\varphi_0=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,f(x)\rangle φ0=2n1x=0∑2n−1∣x,f(x)⟩
mmm次迭代后为
φm=φ(km,lm)=km∑i:f(i)=1∣i⟩+lm∑i:f(i)=0∣i⟩\varphi_m=\varphi(k_m,l_m)=k_m\sum\limits_{i:f(i)=1}|i\rangle+l_m\sum\limits_{i:f(i)=0}|i\rangle φm=φ(km,lm)=kmi:f(i)=1∑∣i⟩+lmi:f(i)=0∑∣i⟩
由1=∣φm∣2=km2×M+lm2×(2n−M)1=|\varphi_m|^2=k_m^2\times M+l_m^2\times(2^n-M)1=∣φm∣2=km2×M+lm2×(2n−M)，令km2×M=sin2θm，lm2×(2n−M)=cos2θmk_m^2\times M=sin^2\theta_m，l_m^2\times(2^n-M)=cos^2\theta_mkm2×M=sin2θm，lm2×(2n−M)=cos2θm，得：
km=1Msinθm,lm=±12n−Mcosθmk_m=\frac{1}{\sqrt{M}}sin\theta_m,l_m=\pm\frac{1}{\sqrt{2^n-M}}cos\theta_m km=M1sinθm,lm=±2n−M1cosθm

定理111假设mmm次迭代后为φm=φ(km,lm)=km∑i:f(i)=1∣i⟩+lm∑i:f(i)=0∣i⟩\varphi_m=\varphi(k_m,l_m)=k_m\sum\limits_{i:f(i)=1}|i\rangle+l_m\sum\limits_{i:f(i)=0}|i\rangleφm=φ(km,lm)=kmi:f(i)=1∑∣i⟩+lmi:f(i)=0∑∣i⟩，则有
km=1Msin(2m+1)θ,lm=12n−Mcos(2m+1)θk_m=\frac{1}{\sqrt{M}}sin(2m+1)\theta,l_m=\frac{1}{\sqrt{2^n-M}}cos(2m+1)\theta km=M1sin(2m+1)θ,lm=2n−M1cos(2m+1)θ
其中θ=arcsinM2n⇒sinθ=M2n,cosθ=1−M2n\theta=arcsin\sqrt{\frac{M}{2^n}}\Rightarrow sin\theta=\sqrt{\frac{M}{2^n}},cos\theta=\sqrt{1-\frac{M}{2^n}}θ=arcsin2nM⇒sinθ=2nM,cosθ=1−2nM

证明：若m=0,φ0=12n∑x=02n−1∣x,f(x)⟩,k0=12n=1M×M2n=1Msinθ,l0=12n=12n−M×1−M2n=12n−Mcosθm=0,\varphi_0=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum\limits_{x=0}^{2^n-1}|x,f(x)\rangle,k_0=\frac{1}{\sqrt{2^n}}=\frac{1}{\sqrt{M}}\times\sqrt{\frac{M}{2^n}}=\frac{1}{\sqrt{M}}sin\theta,l_0=\frac{1}{\sqrt{2^n}}=\frac{1}{\sqrt{2^n-M}}\times\sqrt{1-\frac{M}{2^n}}=\frac{1}{\sqrt{2^n-M}}cos\thetam=0,φ0=2n1x=0∑2n−1∣x,f(x)⟩,k0=2n1=M1×2nM=M1sinθ,l0=2n1=2n−M1×1−2nM=2n−M1cosθ
故当m=0m=0m=0，定理111成立。
现证m+1m+1m+1也成立。由于ax′′=2l−n[∑j:f(j)=0aj−∑j:f(j)=1aj]−(−1)f(x)axa_x^{''}=2^{l-n}[\sum\limits_{j:f(j)=0}a_j-\sum\limits_{j:f(j)=1}a_j]-(-1)^{f(x)}a_xax′′=2l−n[j:f(j)=0∑aj−j:f(j)=1∑aj]−(−1)f(x)ax，故km+1=2l−n[∑j:f(j)=0lm−∑j:f(j)=1km]+km=2l−n(2n−M)lm+(1−2l−nM)km=2(2n−m)2nlm+2n−2M2nkmk_{m+1}=2^{l-n}[\sum\limits_{j:f(j)=0}l_m-\sum\limits_{j:f(j)=1}k_m]+k_m=2^{l-n}(2^n-M)l_m+(1-2^{l-n}M)k_m=\frac{2(2^n-m)}{2^n}l_m+\frac{2^n-2M}{2^n}k_mkm+1=2l−n[j:f(j)=0∑lm−j:f(j)=1∑km]+km=2l−n(2n−M)lm+(1−2l−nM)km=2n2(2n−m)lm+2n2n−2Mkm

故定理111得证。
由定理111得，km=1Msin(2m+1)θ,θ=arcsinM2n≈M2nk_m=\frac{1}{\sqrt{M}}sin(2m+1)\theta,\theta=arcsin\sqrt{\frac{M}{2^n}}\approx\sqrt{\frac{M}{2^n}}km=M1sin(2m+1)θ,θ=arcsin2nM≈2nM
观察φm\varphi_mφm，概率的实数解为km2=1Msin2(2m+1)θ,km2×M=sin2(2m+1)θk_m^2=\frac{1}{M}sin^2(2m+1)\theta,k_m^2\times M=sin^2(2m+1)\thetakm2=M1sin2(2m+1)θ,km2×M=sin2(2m+1)θ。当(2m+1)θ≈π/2(2m+1)\theta\approx\pi/2(2m+1)θ≈π/2，概率≈1\approx1≈1
m=π4θ−12≈π42nM−12≈O(2n/M)m=\frac{\pi}{4\theta}-\frac{1}{2}\approx\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^n}{M}}-\frac{1}{2}\approx O(\sqrt{2^n/M}) m=4θπ−21≈4πM2n−21≈O(2n/M)
即当GroverGroverGrover算法的迭代次数为m=π4θ−12≈π42nM−12≈O(2n/M)m=\frac{\pi}{4\theta}-\frac{1}{2}\approx\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{2^n}{M}}-\frac{1}{2}\approx O(\sqrt{2^n/M})m=4θπ−21≈4πM2n−21≈O(2n/M)，成功率接近111
小结：GroverGroverGrover算法的流程图

本周的学习就到这，下周我们将继续学习三大算法的第二个ShorShorShor算法

《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记7相关推荐

《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6
<基于张量网络的机器学习入门>学习笔记6 密度算符(密度矩阵) 具体到坐标表象在纯态上在混合态上纯态下的密度算符混合态下的密度算符密度算符的性质量子力学性质的密度算符描述第一 ...
《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记5
<基于张量网络的机器学习入门>学习笔记5 量子概率体系事件互斥事件概率与测量不相容属性对相容属性对量子概率与经典概率的区别量子测量量子概率体系我们将经典的实数概率扩展到复 ...
《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记4
<基于张量网络的机器学习入门>学习笔记4 量子概率将概率复数化分布与向量的表示事件与Hilbert空间不兼容属性及其复数概率表示为什么一定要复数概率量子概率将概率复数化在经 ...
《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记8(Shor算法)
<基于张量网络的机器学习入门>学习笔记8 Shor算法来源 Shor算法的大致流程因数分解周期求取与量子傅里叶变换(QFT) Shor算法来源 1994 1994 1994年,应用 ...
《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记2
<基于张量网络的学习入门>学习笔记2 量子逻辑门单量子逻辑门恒等操作泡利-X门(Pauli-X gate) 泡利-Y门(Pauli-Y gate) 泡利-Z门(Pauli-Z gat ...
《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1
<基于张量网络的学习入门>学习笔记1 量子力学的三大奥义什么是量子量子力学的三大奥义--叠加.测量和纠缠第一大奥义:量子的叠加态第二大奥义:量子的测量第三大奥义:量子的纠缠态量 ...
Kaggle教程机器学习入门学习笔记
机器学习入门学习笔记 [跳转]<Kaggle教程机器学习入门>系列课程目录 >> 决策树简介:是在已知各种情况发生概率的基础上,通过构成决策树来求取净现值的期望值大于等于零 ...
机器学习入门学习笔记：（4.2）SVM的核函数和软间隔
前言之前讲了有关基本的SVM的数学模型(机器学习入门学习笔记:(4.1)SVM算法).这次主要介绍介绍svm的核函数.软间隔等概念,并进行详细的数学推导.这里仅将自己的笔记记录下来,以便以后复习查看 ...
机器学习入门学习笔记：（3.2）ID3决策树程序实现
前言之前的博客中介绍了决策树算法的原理并进行了数学推导(机器学习入门学习笔记:(3.1)决策树算法).决策树的原理相对简单,决策树算法有:ID3,C4.5,CART等算法.接下来将对ID3决策树算法 ...

《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记7