量子力学的三大奥义

什么是量子

定义量子是“离散变化的最小单元”
“离散变化”即指量子的变化是不能连续的，就像人一样，只有一个人，两个人等，不能出现1.5个人。因此，我们可以称某个只能离散变化的东西叫“量子化”的。

量子力学的三大奥义——叠加、测量和纠缠

第一大奥义：量子的叠加态

为了理解叠加态这个概念，首要要定义“态矢量”

定义：态矢量——表示量子力学状态的矢量
在量子力学里中的态，是矢量，我们用符号∣a⟩\mathinner{|a\rangle}∣a⟩表示态矢量，它由Hilbert空间中的列向量表示(相应的⟨a∣用Hilbert空间中的\mathinner{\langle a|}用Hilbert空间中的⟨a∣用Hilbert空间中的行向量表示表示表示)，其中“∣⟩\mathinner{|\quad\rangle}∣⟩”是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。
注： ∣a⟩\mathinner{|a\rangle}∣a⟩称为右矢，相应的⟨a∣\mathinner{\langle a|}⟨a∣称为左矢，两者互为对偶向量，统称为态向量(或态矢)

定义：经典位比特(比特)——一个经典位(比特)是可以处于两个完全不同状态的系统，这两个状态可以用二进制数000和111来表示
经典比特对应计算机的操作可以有“恒等”、“与”、“非”操作等，那么在量子计算机中或者量子计算领域,我们使用态矢量来作为“比特”。
在二维复数Hilbert空间中，经典比特的两个态可以用矢量的两个分量来表示，即用一堆正交归一的量子态来表示:
∣↑⟩≡(10)\mathinner{|\uparrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)∣↑⟩≡(10),经典比特000 \quad\quad ∣↓⟩≡(01)\mathinner{|\downarrow\rangle}\equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)∣↓⟩≡(01),经典比特111

通过线性代数的学习，我们知道，在一个线性空间中，如果给定一组线性无关的基底a1,a2,⋯，an,a_1,a_2,\cdots，a_n,a1,a2,⋯，an,则向量空间中的任意向量β\betaβ都可以表示为基底的线性组合：β=λ1a1+λ2a2+⋯+λnan\beta=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_nβ=λ1a1+λ2a2+⋯+λnan
量子世界中的态可以同时是两种态的叠加——既向上又向下。现在我们可以用线性组合来表示这个叠加的状态。将∣↑⟩\mathinner{|\uparrow\rangle}∣↑⟩和∣↓⟩\mathinner{|\downarrow\rangle}∣↓⟩看成某个抽象的二维空间中的基底，那么，叠加状态就是：∣φ⟩=α[10]+β[01]=[αβ]\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right] + \beta \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right]∣φ⟩=α[10]+β[01]=[αβ]
其中，α\alphaα和β\betaβ是复数,也叫做概率幅或者几率幅，并且满足∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1∣α∣2+∣β∣2=1这样的一个态就被称为量子比特。

定义：量子比特——一个量子比特是一个可以在二维复数Hilbert空间中描述的两级量子体系
根据叠加原理，量子比特的任何态都可以写成如下形式：
∣φ⟩=α∣↑⟩+β∣↓⟩(∣α∣2+∣β∣2=1)\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)∣φ⟩=α∣↑⟩+β∣↓⟩(∣α∣2+∣β∣2=1)
式中的α,β,∣α∣2,∣β∣2\alpha,\beta,|\alpha|^2,|\beta|^2α,β,∣α∣2,∣β∣2分别为叠加态坍缩的000和111的概率，并且服从归一化条件

除此之外，我们还在一个Bloch球中来便是量子比特，即
∣φ⟩=eiγ(cos⁡θ2∣0⟩+eiϕ(sin⁡θ2∣1⟩)\mathinner{|\varphi\rangle}={e^{i\gamma }}(\cos \frac{\theta }{2}\mathinner{|0\rangle}+{e^{i\phi }}(\sin \frac{\theta }{2}\mathinner{|1\rangle})∣φ⟩=eiγ(cos2θ∣0⟩+eiϕ(sin2θ∣1⟩)(可借助欧拉公式进行理解:eix=cos⁡x+isin⁡x{e^{ix}} = \cos x + i\sin xeix=cosx+isinx)

下面会运用到一系列量子态相关的运算和性质，这里将常用的符号表附上

第二大奥义：量子的测量

回到叠加态的限制条件(∣α∣2+∣β∣2=1)(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)(∣α∣2+∣β∣2=1)，我们可以把这个条件改写为向量内积的形式
(αβ)(αβ)=1(\alpha\quad\beta)\left( \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right)=1(αβ)(αβ)=1,这总内积为1的条件，也就是前面的归一化条件。
在量子力学中，把态矢量∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩和它自身的内积记为：⟨φ∣φ⟩\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}⟨φ∣φ⟩即左右矢相乘，那么归一化条件就可以记为⟨φ∣φ⟩=1\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=1⟨φ∣φ⟩=1。但是，因为量子力学中叠加态的系数是复数，所以我们在复数域重新定义内积。
为了让内积的结果是实数，我们将它的定义改写为叠加系数的模平方求和：
⟨φ∣φ⟩=∣α∣2+∣β∣2=α∗α+β∗β\mathinner{\langle\varphi|\varphi\rangle}=|\alpha|^2+|\beta|^2=\alpha^*\alpha+\beta^*\beta⟨φ∣φ⟩=∣α∣2+∣β∣2=α∗α+β∗β,这里∗*∗表示共轭转置。

定义：态矢量的内积——在态矢量空间中按照一定顺序选取任意两个态矢，总可以定义一种计算规则，得到一个数(实数或复数)与之对应
这一定义规则被称为内积，记做
c=⟨α∣β⟩=(∣α⟩,∣β⟩)=(∑iai∗⟨αi∣)(∑ibi∣βi⟩)=∑iai∗bi⟨αi∣βi⟩c=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=(\mathinner{|\alpha\rangle},\mathinner{|\beta\rangle})=(\sum\limits_i {a_i^*\mathinner{\langle \alpha_i|}})(\sum\limits_i {b_i\mathinner{|\beta_i\rangle}})=\sum\limits_i {a_i^*{b_i}}\mathinner{\langle\alpha_i|\beta_i\rangle}c=⟨α∣β⟩=(∣α⟩,∣β⟩)=(i∑ai∗⟨αi∣)(i∑bi∣βi⟩)=i∑ai∗bi⟨αi∣βi⟩
态矢量有如下性质：
∙\bullet∙反对称性：⟨α∣β⟩=⟨β∣α⟩∗\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\beta|\alpha\rangle}^*⟨α∣β⟩=⟨β∣α⟩∗
∙\bullet∙线性性：⟨α∣β+γ⟩=⟨α∣β⟩+⟨α∣γ⟩\mathinner{\langle\alpha|\beta+\gamma\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}+\mathinner{\langle\alpha|\gamma\rangle}⟨α∣β+γ⟩=⟨α∣β⟩+⟨α∣γ⟩
∙\bullet∙数乘性：⟨α∣bβ⟩=b⟨α∣β⟩=⟨α∣β⟩b\mathinner{\langle\alpha|b\beta\rangle}=b\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}=\mathinner{\langle\alpha|\beta\rangle}b⟨α∣bβ⟩=b⟨α∣β⟩=⟨α∣β⟩b
∙\bullet∙半正定性：⟨α∣α⟩≥0\mathinner{\langle\alpha|\alpha\rangle}\ge0⟨α∣α⟩≥0
满足加法和数乘两种运算性质的集合，被称为矢量空间或线性空间.满足加法、数乘和内积三种运算的空间被称为内积空间.完备的内积空间则称为希尔伯特空间.

接下来，我们了解一下本征态的概念

定义: 本征态——经历了矩阵乘法之后，方向保持不变(可以反向)的矢量
这就意味着M∣i⟩=mi∣i⟩M\mathinner{|i\rangle}=m_i\mathinner{|i\rangle}M∣i⟩=mi∣i⟩，其中∣i⟩\mathinner{|i\rangle}∣i⟩是本征态，mim_imi则是相应的本征值。以此我们可以联想到线性代数的特征方程，本征态对应特征向量，本征值对应特征值。

现在，我们终于可以开始讲量子比特的测量了
我们可以把一个量子比特的状态以概率幅的方式变换成比特信息，也就是说，量子比特∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩以概率∣⟨↑∣φ⟩∣2|\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}|^2∣⟨↑∣φ⟩∣2变换成比特000，以概率∣⟨↓∣φ⟩∣2|\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}|^2∣⟨↓∣φ⟩∣2变换成比特111，由于内积是线性演算，且∣↑⟩\mathinner{|\uparrow\rangle}∣↑⟩和∣↓⟩\mathinner{|\downarrow\rangle}∣↓⟩是正交基底，那么前面两式内积的结果为：
⟨↑∣φ⟩=⟨↑∣(α∣↑⟩+β∣↓⟩=α\mathinner{\langle\uparrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\uparrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\alpha⟨↑∣φ⟩=⟨↑∣(α∣↑⟩+β∣↓⟩=α
⟨↓∣φ⟩=⟨↓∣(α∣↑⟩+β∣↓⟩=β\mathinner{\langle\downarrow|\varphi\rangle}=\mathinner{\langle\downarrow|(\alpha\mathinner{|\uparrow\rangle}}+\beta\mathinner{|\downarrow\rangle}=\beta⟨↓∣φ⟩=⟨↓∣(α∣↑⟩+β∣↓⟩=β
即∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩以概率∣α∣2|\alpha|^2∣α∣2变换成比特000，以概率∣β∣2|\beta|^2∣β∣2变换成比特111
在量子力学中，测量值就是本征值也就是特征值。那么，联系线性代数，我们可以知道，特征值就是可观测量MMM在某个地方出现的概率。
测量可以给出任何一个本征值mim_imi，且每一个都有一定的概率。现在用MMM的本征矢量为基来扩展任意态∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩:∣φ⟩=∑iαi∣i⟩\mathinner{|\varphi\rangle}=\sum\limits_i {{\alpha_i}}\mathinner{|i\rangle}∣φ⟩=i∑αi∣i⟩,其中，αi\alpha_iαi是复常数。

根据量子力学的知识，在进行测量后，态矢量会发生坍缩，也就是如果本征态mim_imi被测量，那么测量后的系统的态矢对应的本征矢量∣i⟩\mathinner{|i\rangle}∣i⟩，当前的量子系统就会确定到这个本征态上。
∣φ⟩⟶mi∣i⟩\mathinner{|\varphi\rangle}\stackrel{m_i}{\longrightarrow}\mathinner{|i\rangle}∣φ⟩⟶mi∣i⟩
注：测量是量子态上唯一不可逆的操作，其他操作都是可逆的
(此部分可以去看看薛定谔的猫加深理解)

第三大奥义：量子的纠缠态

根据纠缠的定义，肯定不是单一的系统能观测到的。所以，现在我们需要将视线放到不同的系统之间的结合。
我们首先来学习下张量积
定义：张量积——对每一对矢量∣φ1⟩∈H1，∣φ2⟩∈H2\mathinner{|\varphi_1\rangle}\in H_1，\mathinner{|\varphi_2\rangle}\in H_2∣φ1⟩∈H1，∣φ2⟩∈H2，Hilbert空间HHH都有一个矢量∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩与他们联系，∣φ⟩\mathinner{|\varphi\rangle}∣φ⟩被称为∣φ1⟩,∣φ2⟩\mathinner{|\varphi_1\rangle},\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1⟩,∣φ2⟩的张量积，记为∣φ⟩=∣φ1⟩⊗∣φ2⟩\mathinner{|\varphi_\rangle}=\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ⟩=∣φ1⟩⊗∣φ2⟩,常记为∣φ1⟩∣φ2⟩\mathinner{|\varphi_1\rangle}\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1⟩∣φ2⟩或∣φ1φ2⟩\mathinner{|\varphi_1\varphi_2\rangle}∣φ1φ2⟩,HHH中的矢量是∣φ1⟩⊗∣φ2⟩\mathinner{|\varphi_1\rangle}\otimes\mathinner{|\varphi_2\rangle}∣φ1⟩⊗∣φ2⟩的线性叠加。
例如，A,BA,BA,B分别是m×mm\times mm×m和n×nn\times nn×n的方阵，则：

好，下面可以开始讲量子纠缠态了
定义：量子纠缠态——当量子比特的叠加状态无法用各量子比特的张量积乘积表示时，这种叠加态就称为量子纠缠态
现在，给定两个电子，AAA处于向上的态∣↑⟩A\mathinner{|\uparrow\rangle}_A∣↑⟩A,BBB处于向下的态∣↓⟩B\mathinner{|\downarrow\rangle}_B∣↓⟩B，根据排列组合，总共有四种结合态∣↑↑⟩、∣↑↓⟩、∣↓↑⟩、∣↓↓⟩\mathinner{|\uparrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}、\mathinner{|\downarrow\downarrow\rangle}∣↑↑⟩、∣↑↓⟩、∣↓↑⟩、∣↓↓⟩.态矢量∣ψ⟩\mathinner{|\psi\rangle}∣ψ⟩可以是这四种态的叠加。如果，一个系统的态为：∣ψ⟩=12∣↑↓⟩+12∣↓↑⟩\mathinner{|\psi\rangle}=\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\uparrow\downarrow\rangle}+\frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathinner{|\downarrow\uparrow\rangle}∣ψ⟩=21∣↑↓⟩+21∣↓↑⟩，由于它不能被分厘为单个电子的态的乘积，所以这个系统的态被称为纠缠态。
现在例举一个不是纠缠态的例子，我们看看和纠缠态的区别

我们可以发现，不是纠缠态的，有个类似于提取公因式的操作，而上面的纠缠态式子明显无法完成这个操作。这种能提取“公因式” 式子又被叫做直积态，即能够直接写成张量积的态。

直观的说，纠缠态的量子是会相互影响的，而非纠缠态的量子不会。

好了，这部分内容到一段落，希望感兴趣的朋友能关注收藏。

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