量子概率体系

我们将经典的实数概率扩展到复数概率，从而论述了一整套新的概率体系，我们将其称为量子概率。现在，我们从较粗糙的公理化角度显现地论述整个量子概率公理体系。

事件

在经典概率论中，我们用集合表示事件，用交、并、补等运算来组合出更多的事件。同时定义了两个特殊的事件，一个是不可能事件对应集合空集，另一个是必然事件对应全集。
在量子概率中，我们用复线性空间(希尔伯特空间)HHH作为基本事件的集合。任意一个事件都是该线性空间中的一个子空间(直线、平面或者超平面)。在量子概率中，不可能事件对应000向量，即000维的线性空间。必然事件对应整个线性空间HHH。同时，量子概率中也有基本的三种运算。
定义：否运算——设事件AAA对应的子空间为LAL_ALA，那么Aˉ\bar{A}Aˉ事件则对应着垂直于LAL_ALA的子空间记做LA⊥L_A^ \botLA⊥
例如，事件AAA对应的子空间LAL_ALA为三维空间中的一条直线lll，那么非AAA这个事件对应的子空间就是垂直于lll的整个平面。

定义：与运算——设事件AAA对应的子空间为LAL_ALA，事件BBB对应的子空间为LBL_BLB，那么事件AAA且BBB对应的子空间就是这两个线性子空间的交集，即：LA∩B=LA∧LBL_{A\cap B}=L_A\land L_BLA∩B=LA∧LB
例如LAL_ALA和LBL_BLB都是三维空间中的两张平面，那么LA∩BL_{A\cap B}LA∩B就是这两张平面的交线。如果LAL_ALA和LBL_BLB都是三维空间中的直线，则它们的交LA∩BL_{A\cap B}LA∩B必然是一个点，这个点就是000维线性空间。

定义：或运算——设事件AAA对应的子空间为LAL_ALA，事件BBB对应的子空间为LBL_BLB，那么事件AAA或BBB对应的子空间就是由着两个空间所张成的更大的空间，即：LA∪B=Span(LA,LB)L_{A\cup B}=Span(L_A,L_B)LA∪B=Span(LA,LB)
注意：量子概率中的或运算与经典概率中事件或运算的本质是不同的，它不是两个子空间的并集，而是线性扩展SpanSpanSpan。例如设LAL_ALA和LBL_BLB分别是两条相交于一点的直线，那么LA∪BL_{A\cup B}LA∪B就是这两条直线所张成的平面。

量子概率的运算性质虽然大多与经典事件的运算性质相同，但是有一个本质的区别，就是量子概率中的事件的运算不一定满足分配律，即：
LA∧(LB∨LC)≠(LA∧LB)∨(LA∧LC)L_A\land(L_B\vee L_C)\neq(L_A\land L_B)\vee(L_A\land LC)LA∧(LB∨LC)=(LA∧LB)∨(LA∧LC)
例如，在如图所示的空间中，有三条同在一个平面内的直线LA,LB,LCL_A,L_B,L_CLA,LB,LC，分别对应事件A,B,CA,B,CA,B,C，则LB∨LCL_B\vee L_CLB∨LC就是整个平面，而LA(LB∨LC)L_A(L_B\vee L_C)LA(LB∨LC)就是LAL_ALA这根直线。但反过来，由于LA∧LBL_A\land L_BLA∧LB和LA∧LCL_A\land L_CLA∧LC都是点，所以(LA∧LB)∨(LA∧LC)(L_A\land L_B)\vee(L_A\land L_C)(LA∧LB)∨(LA∧LC)还是点。所以量子事件不一定满足分配律。

互斥事件

在传统概率论中，一枚硬币要么朝上，要么朝下，不可能同时发生，每抛一次必然有一个发生，那么这两个事件构成了互斥事件。
定义：互斥事件——给定一组事件A1,A2,⋯,AnA_1,A_2,\cdots,A_nA1,A2,⋯,An，它们分别对应子空间L1,L2,⋯,LnL_1,L_2,\cdots,L_nL1,L2,⋯,Ln，则这些子空间满足：
Li∧Lj=OL_i\land L_j=OLi∧Lj=O，andandand Li⊥Lj,for∀i,jL_i\bot L_j,for \forall i,jLi⊥Lj,for∀i,j
并且：
Span(L1,L2,⋯,Ln)=HSpan(L_1,L_2,\cdots,L_n)=HSpan(L1,L2,⋯,Ln)=H
那么，我们称这组事件互斥。
在经典概率论中，互斥事件往往表现为一条线上的不同点对应的不同取值。但是，在量子概率中，每一个属性值都对应着一条直线，这样，nnn组属性值就对应着nnn条直线，并且这些属性值都是两两互斥的，即这些直线两两垂直，所有这些可能的直线张成了一个nnn维希尔伯特空间。

概率与测量

在量子概率中，我们可以采用三个步骤来计算任意一个事件的概率。首先，确定一个状态来表示系统所处的环境和条件，我们用∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩来表示该状态，它是希尔伯特空间HHH中的一个向量，并且这个向量的长度必须是111，即：⟨z∣z⟩=1\mathinner{\langle z|z\rangle}=1⟨z∣z⟩=1。这里，⟨z∣\mathinner{\langle z|}⟨z∣表示向量∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩的共轭，而⟨z∣z⟩\mathinner{\langle z|z\rangle}⟨z∣z⟩则表示向量⟨z∣\mathinner{\langle z|}⟨z∣和∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩的内积。

其次，我们需要定义投影算子的概念。
定义：投影算子——每个事件AAA都对应了一个投影算子PAP_APA，我们可以把状态向量∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩通过PAP_APA的作用投影到事件AAA对应的子空间LAL_ALA上，因此，投影算子表示为：PA:H→LAP_A:H\to L_APA:H→LA
在几何上，投影算子就是求向量∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩到子空间LAL_ALA上的投影向量，因此，这个投影就构成了一个向量：PA∣z⟩P_A\mathinner{|z\rangle}PA∣z⟩，这个概念可以用下图清晰地表达。

在图中，原向量为∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩，投影空间LAL_ALA为一个平面，则∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩在其上的投影为红色向量。
最后，我们计算该投影向量的模平方即为事件AAA的发生概率：
Pr(A)=∣PA∣z⟩∣2=⟨z∣PA∣z⟩Pr(A)=\mathinner{|P_A|z\rangle|}^2=\mathinner{\langle z|P_A|z\rangle}Pr(A)=∣PA∣z⟩∣2=⟨z∣PA∣z⟩(注：Pr(A)Pr(A)Pr(A)表达AAA事件发生的概率)
在量子概率中，测量是一个十分重要的过程，它不仅决定了一个事件发生的概率，而且也改变了系统的状态。也就是说，如果我们测量过状态是zzz的量子系统，并且得到了事件AAA发生的结果，那么该量子系统的状态将变成：z′=PAz∣PAz∣z^{'}=\frac{P_Az}{|P_Az|}z′=∣PAz∣PAz
也就是说，我们将用AAA事件的概率∣PAz∣|P_Az|∣PAz∣去重新归一化向量∣PAz∣|P_Az|∣PAz∣，这样测量之后的状态∣z′∣|z^{'}|∣z′∣又是一个长度为111的单位向量了。加入我们对状态z′z^{'}z′再进行一次完全相同的测量，就会得到：Pr(A)=∣PAz′∣2=∣PAPAz∣PAz∣∣2=∣PAPAz∣2∣PAz∣2=∣PAz∣2∣PAz∣2=1Pr(A)=|P_Az^{'}|^2=|P_A\frac{P_Az}{|P_Az|}|^2=\frac{|P_AP_Az|^2}{|P_Az|^2}=\frac{|P_Az|^2}{|P_Az|^2}=1Pr(A)=∣PAz′∣2=∣PA∣PAz∣PAz∣2=∣PAz∣2∣PAPAz∣2=∣PAz∣2∣PAz∣2=1
所以一旦测量PAP_APA，得到AAA发生的概率之后，系统将会一直呈现出AAA事件的状态保持不变。
在量子概率中，一次测量就是将某一个投影算子作用到一个状态向量上，测量的结果是让观察者得到一个确定的事件，同时也会让被测向量完成一次投影，形成一个新向量。

不相容属性对

量子概率和经典概率最大的不同就是存在着不相容的属性对，也就是不能同时进行两个属性的测量。
定义：不相容属性对——假设属性MMM有mmm个不同属性值{M1,M2,⋯,Mm}\{M_1,M_2,\cdots,M_m\}{M1,M2,⋯,Mm}，这些属性值张成了mmm维线性空间HHH，并且每两个属性对所对应的子空间彼此垂直。另有一个属性NNN，它也有mmm个属性值{N1,N2,⋯,Nm}\{N_1,N_2,\cdots,N_m\}{N1,N2,⋯,Nm}，这些属性值的子空间也张成一个mmm维的线性空间H′H^{'}H′，如果H=H′H=H^{'}H=H′，则称MMM和NNN着两个属性不相容
例如：假设m=2m=2m=2，这样MMM属性的两个属性值就张成了一个平面HHH。若MMM与NNN是不相容属性对，那么NNN属性的两个属性值张成的二维空间H′H^{'}H′也是HHH，这就意味着，NNN对应的是HHH中的另外一个坐标系；如下图所示，黑色的坐标系就表示MMM属性，蓝色的坐标系表示NNN属性。

下面考虑两组不同的测量。第一组是先测量事件M1M_1M1是否发生，在测量事件N1N_1N1是否发生；第二组先测量N1N_1N1再测量M1M_1M1。按照前面定义的测量规则，第一组测量相当于先把向量∣z⟩\mathinner{|z\rangle}∣z⟩投影到M1M_1M1直线上，然后将M1M_1M1上的单位向量投影到x′x^{'}x′上。这两种结果最终得到的系统状态是完全不同的。第一组测量最终得到的是∣N1⟩\mathinner{|N_1\rangle}∣N1⟩上的单位向量，而第二组测量将得到∣M1⟩\mathinner{|M_1\rangle}∣M1⟩上的单位向量。不同的测量顺序所导致不同的结果也会体现在投影算符上，即存在不等式：PNiPMj≠PMjPNiP_{Ni}P_{Mj}\neq P_{Mj}P_{Ni}PNiPMj=PMjPNi
不同的测量顺序会导致不同的测量结果，这正是量子概率不兼容属性的一种特别的性质之一。

相容属性对

如果两个属性MMM和NNN可以被同时测量，则它们就构成了相容的属性对。在数学上，相容的属性对可以用复合系统来表示。
定义：相容属性对——假设属性MMM有mmm个不同属性值{M1,M2,⋯,Mm}\{M_1,M_2,\cdots,M_m\}{M1,M2,⋯,Mm}，另有一个属性NNN，它有nnn个属性值{N1,N2,⋯,Nn}\{N_1,N_2,\cdots,N_n\}{N1,N2,⋯,Nn}，那么如果这两组属性值可以张成m×nm\times nm×n维空间HHH，并且每两个属性对的复合，即：Mi⊗Nj∀i,jM_i\otimes N_j\forall i,jMi⊗Nj∀i,j都构成m×nm\times nm×n维空间HHH中的一组基，那么这两个属性值就是相互兼容的。
所以，这m×nm\times nm×n位的希尔伯特空间就可以写成：
H=Span(⋯,Mi⊗Nj,⋯),∀i<m,j<nH=Span(\cdots,M_i\otimes N_j,\cdots),\forall i<m,j<nH=Span(⋯,Mi⊗Nj,⋯),∀i<m,j<n

下面，我们对相容属性对进行测量。
假设有两个相容属性对，每个属性对都具有222个可能的属性值(我们都用000和111来表示)。因此，全空间HHH就可以写成这两个属性对中任意两个属性值的组合张成的空间。
H=Span(∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩)H=Span(\mathinner{|00\rangle},\mathinner{|01\rangle},\mathinner{|10\rangle},\mathinner{|11\rangle})H=Span(∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩)

在这些基中，写在左侧的表示第一个属性值。下面对第一个属性值等于000进行测量：当第一个属性值等于000，第二个属性还有000和111两种可能，因此二者结合就张成了一个二维的线性空间，并且∣00⟩\mathinner{|00\rangle}∣00⟩和∣01⟩\mathinner{|01\rangle}∣01⟩构成了这个二维子空间的基向量。所以，对第一个属性值测量就相当于把一个思维空间投影到二维的平面上面。所以，对第一个属性值测量就相当于把一个思维空间中的向量投影到二维的平面上。

相容属性对的测量是不区分顺序的。如果先对第一个属性值000进行测量，就会把444维投影到∣00⟩\mathinner{|00\rangle}∣00⟩和∣01⟩\mathinner{|01\rangle}∣01⟩构成的二维平面上，然后再对第二个属性值是否为000经行测量，相当于把向量投影到∣00⟩\mathinner{|00\rangle}∣00⟩这个向量上面。反过来，如果先对第二个属性是否为000进行测量，最终也会把向量投影到∣00⟩\mathinner{|00\rangle}∣00⟩这个向量上面。所以，这两种不同顺序的测量是完全相同的。

实际上，对相容属性对的测量就是一个将为的过程，系统中的向量会被逐渐压缩到一条直线上。但是，对不相容属性的测量不会产生降维的现象。

量子概率与经典概率的区别

	性质	经典概率运算	不兼容属性下事件A和B的量子概率运算
联合概率	Pr(A∧B)Pr(A\land B)Pr(A∧B)	Pr(A∧B)=Pr(B∧A)Pr(A\land B)=Pr(B\land A)Pr(A∧B)=Pr(B∧A)	无定义
条件概率	Pr(A∣B)Pr(A\mid B)Pr(A∣B)	Pr(A∣B)=Pr(A∧B)P(B)Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\land B)}{P(B)}Pr(A∣B)=P(B)Pr(A∧B)	∣PAPB∣z⟩∣2∣PB∣z⟩∣2\frac{\mid P_AP_B\mathinner{\mid z\rangle}\mid ^2}{\mid P_B\mathinner{\mid z\rangle}\mid ^2}∣PB∣z⟩∣2∣PAPB∣z⟩∣2
条件概率	Pr(B∣A)Pr(B\mid A)Pr(B∣A)	Pr(B∣A)=Pr(A∧B)P(A)Pr(B\mid A)=\frac{Pr(A\land B)}{P(A)}Pr(B∣A)=P(A)Pr(A∧B)	∣PBPA∣z⟩∣2∣PA∣z⟩∣2\frac{\mid P_BP_A\mathinner{\mid z\rangle}\mid ^2}{\mid P_A\mathinner{\mid z\rangle}\mid ^2}∣PA∣z⟩∣2∣PBPA∣z⟩∣2
全概率公式	无	Pr(A)=∑iPr(A∣Bi)Pr(Bi)Pr(A)=\sum\limits_{i}Pr(A\mid B_i)Pr(B_i)Pr(A)=i∑Pr(A∣Bi)Pr(Bi)	不成立
条件概率互易性	Pr(A∣B)=Pr(B∣A)Pr(A\mid B)=Pr(B\mid A)Pr(A∣B)=Pr(B∣A)	不满足	满足
双向随机性	∑iPr(Ai∣Bj)=∑jPr(Ai∣Bj)\sum\limits_{i}Pr(A_i\mid B_j)=\sum\limits_{j}Pr(A_i\mid B_j)i∑Pr(Ai∣Bj)=j∑Pr(Ai∣Bj)	不满足	满足

虽然经典概率系统的性质都可以在量子概率的兼容属性测量中找到对应，但是反过来，量子概率中的不兼容属性对具备的性质则具有特殊性，所以说量子概率是比经典概率蕴含了更多东西的概率运算系统。

量子测量

对于一个由状态∣ψ⟩\mathinner{|\psi\rangle}∣ψ⟩描述的量子系统，可以由一组测量算符{Mm}\{M_m\}{Mm}描述，这里的算符本质都是一些比较特殊的矩阵，当他们作用在被测量系统的态空间上，可能的测量结果之一mmm发生的可能性为：
p(m)=⟨∣Mm†Mm∣⟩p(m)=\mathinner{\langle|M_m^{\dagger}M_m|\rangle} p(m)=⟨∣Mm†Mm∣⟩
测量后系统的状态为：
Mm∣ψ⟩⟨∣Mm†Mm∣⟩\frac{M_m\mathinner{|\psi\rangle}}{\sqrt{\mathinner{\langle|M_m^{\dagger}M_m|\rangle}}} ⟨∣Mm†Mm∣⟩Mm∣ψ⟩
测量算子需要满足完备性方程∑mMm†Mm=1\sum\limits_{m}M_m^{\dagger}M_m=1m∑Mm†Mm=1，即：
∑mp(m)=∑m⟨ψ∣Mm†Mm∣ψ⟩\sum\limits_{m}p(m)=\sum\limits_{m}\mathinner{\langle\psi|M_m^{\dagger}M_m|\psi\rangle} m∑p(m)=m∑⟨ψ∣Mm†Mm∣ψ⟩
这几个式子非常的复杂，也难懂，希望我们能通过下面的例题理解到它的原理。

例111 用{∣0⟩,∣1⟩}\{\mathinner{|0\rangle},\mathinner{|1\rangle}\}{∣0⟩,∣1⟩}测量量子态∣φ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩(∣α∣2+∣β∣2=1)\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\mathinner{|0\rangle}+\beta\mathinner{|1\rangle}(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)∣φ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩(∣α∣2+∣β∣2=1)
解：M0=∣0⟩⟨0∣=[1000],M1=∣1⟩⟨1∣=[0001]M_0=\mathinner{|0\rangle}\mathinner{\langle0|}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},M_1=\mathinner{|1\rangle}\mathinner{\langle1|}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}M0=∣0⟩⟨0∣=[1000],M1=∣1⟩⟨1∣=[0001]，显然M02=M0,M12=M1M_0^2=M_0,M_1^2=M_1M02=M0,M12=M1，所以根据归一化原理可得：I=M0†M0+M1†M1I=M_0^{\dagger}M_0+M_1^{\dagger}M_1I=M0†M0+M1†M1。且∣φ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩\mathinner{|\varphi\rangle}=\alpha\mathinner{|0\rangle}+\beta\mathinner{|1\rangle}∣φ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩，故有
p(0)=⟨ψ∣M0†M0∣ψ⟩=⟨ψ∣M0∣ψ⟩=∣α∣2,p(1)=⟨ψ∣M1†M1∣ψ⟩=⟨ψ∣M1∣ψ⟩=∣β∣2p(0)=\mathinner{\langle\psi|M_0^{\dagger}M_0|\psi\rangle}=\mathinner{\langle\psi|M_0|\psi\rangle}=|\alpha|^2,p(1)=\mathinner{\langle\psi|M_1^{\dagger}M_1|\psi\rangle}=\mathinner{\langle\psi|M_1|\psi\rangle}=|\beta|^2p(0)=⟨ψ∣M0†M0∣ψ⟩=⟨ψ∣M0∣ψ⟩=∣α∣2,p(1)=⟨ψ∣M1†M1∣ψ⟩=⟨ψ∣M1∣ψ⟩=∣β∣2。即以∣α∣2|\alpha|^2∣α∣2的概率得到∣0⟩\mathinner{|0\rangle}∣0⟩，以∣β∣2|\beta|^2∣β∣2的概率得到∣1⟩\mathinner{|1\rangle}∣1⟩。

例222 用{∣+⟩,∣−⟩}\{\mathinner{|+\rangle},\mathinner{|-\rangle}\}{∣+⟩,∣−⟩}测量上述态时，可先变形为
∣φ⟩=α2(∣+⟩+∣−⟩)+β2(∣+⟩−∣−⟩)=α+β2∣+⟩+α−β2∣−⟩\mathinner{|\varphi\rangle}=\frac{\alpha}{\sqrt{2}}(\mathinner{|+\rangle}+\mathinner{|-\rangle})+\frac{\beta}{\sqrt{2}}(\mathinner{|+\rangle}-\mathinner{|-\rangle})=\frac{\alpha+\beta}{\sqrt{2}}\mathinner{|+\rangle}+\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\mathinner{|-\rangle}∣φ⟩=2α(∣+⟩+∣−⟩)+2β(∣+⟩−∣−⟩)=2α+β∣+⟩+2α−β∣−⟩
将以∣(α+β)2∣2|\frac{(\alpha+\beta)}{\sqrt{2}}|^2∣2(α+β)∣2的概率得到∣+⟩\mathinner{|+\rangle}∣+⟩，以∣(α−β)2∣2|\frac{(\alpha-\beta)}{\sqrt{2}}|^2∣2(α−β)∣2的概率得到∣−⟩\mathinner{|-\rangle}∣−⟩

这周就学到这里了。

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